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中图分类号：O11 文献标识码：A 文章编号：1673-8462(2008)04-0009-05
数学是中国古代最为发达的基础科学学科之一，自公元前3世纪到14世纪初一直领先于世界先进水平。在这里，拟就中国数学史的分期，如何概括中国古代数学著作亦即中国古代是不是存在数学家的数学，中国古代数学有没有数学证明和数学理论或者更进一步中国古代有没有纯数学研究，中国传统数学属不属于世界数学发展的主流，以及在研究中尊重原始文献等问题谈一些粗浅的看法，以就教于同好。
1 中国数学史的分期
关于中国数学史的分期，学术界有不同的看法。这些不同主要表现在自先秦至元中叶数学的分期上，因为对元中叶至明末数学的衰落，明末至清末的中西数学会通，在学术界是没有争议的。关于先秦至元中叶数学的分期大体有以下几种：
李俨将其分成三个时期：将先秦的数学称为上古期，两汉魏晋南北朝称为中古期，隋唐宋元称为近古期。[1]后来又将隋列入中古期。[2]
日本薮内清也将其分成三个时期：古代的数学（先秦），《九章》的世界（两汉至魏），六朝至唐宋元的数学。[3]
钱宝琮考虑数学的发展与当时的社会背景的关系，他打破了按王朝的革鼎分期的方法，分成秦统一以前、秦统一以后到唐代中期、唐代中期到明末时期几个阶段。[4]
李迪的分期相当细致，将其分成两个时期六个阶段，这就是：中国传统数学的形成期（自远古至西汉末期），这一时期又分成三个阶段：约公元前2000年以前为中国数学的“史前期”，约公元前2000年至公元前220年为中国数学的“积累期”，从秦汉之际至西汉末期为中国数学发展史上的第一个高峰。中国传统数学的发展期（自东汉初期至元朝前期），这一时期也分成三个阶段：约从公元1世纪初期至公元8世纪初亦即东汉初至唐中叶为中国数学的“理论期”，从公元8世纪初至11世纪初即唐中叶至北宋初期为中国数学的“滞缓期”，从11世纪初至14世纪初为中国数学的高峰期。[5]
还有一些别的分期方法。
我们认为，钱宝琮的分期思想是可取的。数学史的分期应以数学内部的发展为主要依据，同时考虑相应时期的社会经济、政治的变革和思想、文化背景。我们根据钱宝琮的思想，结合近三十年中国数学史的研究成果，对中国数学史的分期提出以下看法：
夏、商、周三代没有任何数学著作流传。不过，完成当时世界上最方便的记数制度——十进地位制记数法，创造当时世界上最先进的计算工具——算筹，是两项具有世界意义的成就。《周髀算经》[6]所载商高苔周公问，说明当时的数学知识已经达到相当的水平。
《九章算术》在西汉先后由张苍、耿寿昌删补成书，它奠定了中国传统数学的基本框架，在分数四则、比例和比例分配、盈不足算法、开方法、线性方程组解法、正负数加减法则、解勾股形和勾股数组等方面走在了世界的前面，有的超前其他文化传统数百年，甚至上千年。《九章算术》当然不可能是突然冒出来的。根据刘徽《九章算术注序》的提示和《九章算术》体例、结构和物价的分析，《九章算术》的主体部分及主要成就在春秋战国时期已经完成了。因此，中国传统数学的第一个高潮出现在春秋战国，西汉完成《九章算术》、《周髀算经》等著作的编纂，只是这个高潮的总结。[7]20世纪80年代出土的竹简《算数书》虽然不是《九章算术》的前身[8]，却为上述看法提供了佐证。
因此，春秋战国的数学与夏、商、西周应该是两个阶段。从远古到夏、商、西周数学在某种意义上说已经形成一个学科。而春秋战国秦汉是以《九章算术》为代表的第二个阶段。
东汉末年到唐中叶，中国数学最主要的成就体现在刘徽《九章算术注》中。刘徽“析理以辞，解体用图”，[9]以演绎逻辑为主要方法全面证明了《九章算术》的算法，奠定了中国传统数学的理论基础。他对圆面积公式和刘徽原理的证明在世界数学史上首次将极限思想和无穷小分割方法引入数学证明，刘徽的贡献主要是数学理论方面的。刘徽《九章算术注》无论从数学的研究方向，还是理论高度，逻辑方法，都与《九章算术》时代有明显的不同，应该属于另一个阶段。祖冲之父子的数学水平不会低于刘徽，可惜其《缀术》因隋唐算学馆的学官“莫能究其深奥”而失传，我们只知其只鳞片爪。此外，徐岳《数术记遗》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《缉古算经》等在计算工具的改进，不定方程解法，三次方程上有贡献。
自唐中叶起，人们简化乘除运算，创造各种口诀，导致珠算最迟在南宋诞生。北宋贾宪、刘益、南宋秦九韶、杨辉、金元李冶、朱世杰等在高次方程、高次方程组解法、一次同余方程组解法、垛积术和招差术等高深数学的许多分支取得了超前其他文化传统几个世纪的成果。这就是人们常说的宋元数学高潮。
数学的发展，既有数学内部的自身因素，也必然受社会经济、政治、思想和文化背景的制约。人类进入文明社会以来，世界数学研究的重心发生了几次大的变化。[10]其重心都发生在某一种社会形态最完备，其经济、政治和思想文化最发达的地区。值得注意地是，中国传统数学发展的几个不同阶段，与当时社会经济、政治、思想和文化的变革，亦即与中国古代社会不同的发展阶段有某种对应关系。中国历史学界对中国古代历史的分期不管持什么观点，都认为，中国在春秋战国时期发生了领主制崩溃，并向地主制过渡的激烈社会变革，思想界出现诸子林立，百家争鸣的活跃局面；在东汉末至魏晋，庄园农奴制占据经济政治舞台的中心，思想界以谈“三玄”为主的辩难之风取代了两汉经学，中国社会进入一个新的阶段；在唐中叶至宋初，庄园制逐步解体，土地可以自由买卖，地主阶级由按等级占田变成靠购买扩大土地占有，思想界也还比较宽松；元中叶之后，宗法地主制度走向没落，理学占据思想界的统治地位，思想禁锢严酷。两相对照，就会发现，在中国社会发生某种变革的初期，都给数学的发展带来新的活力，从而带来数学发展的高潮。而在某一个社会发展阶段的后期，数学不仅发展缓慢，甚至低于其前期。东汉、隋唐、元末至明末的数学就是这种情形。我们认为，元中叶以前的数学发展分成以下几个阶段比较适宜：
中国数学的兴起——原始社会到西周时期；
中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期；
中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶；
中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶。
显然，这种分期方法是在钱宝琮基础上的发展。
2 中国古代是否存在数学家的数学
中国古代传统数学重视实际应用，以解决人们生产生活中产生的数学问题为主要目的，以数学理论密切联系实际为其特点。许多中国数学史著述进而将中国古代数学著作统统概括为“应用问题集”，特别将《九章算术》概括为“应用问题集”。实际上，这种概括不符合实际，不恰当，并且造成了许多误解，比如使许多对《九章算术》不求甚解的人，误以为《九章算术》都是“一题、一答、一术”，其术文都是应用问题的具体解法，而无视《九章算术》中许多术文是几道题目的总术，大部分术文是非常抽象的具有普适性的算法。
实际上，中国传统数学著作之间的差别相当大。
首先是体例不同。《九章算术》的主体部分是以术文为中心的，即算法统率例题的形式。在这里，术文是一类数学问题的普适性抽象性的算法，含有一个、几个、十几个甚至几十个例题。而《孙子算经》等著作不仅是一题一答一术，而且术文都是问题的具体解法。
其次是内容高深程度不同。《九章算术》、《黄帝九章算经细草》、《数书九章》、《测圆还镜》、《四元玉鉴》等是具有高深内容的著作，《孙子算经》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《算法统宗》等是浅显的或普及性的著作。
第三是抽象程度不同。《九章算术》及其刘徽注、贾宪《黄帝九章算法细草》等大都是抽象性非常高的公式、算法。《测圆海镜》卷一展示了全书所需的基本理论，其“识别杂记”提出六百余条抽象命题，集中国勾股容圆知识大成。许多著作中也都有不同程度的抽象命题。而《九章算术》的一少部分，以及《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《九章算法比类大全》等的术文大都是具体问题的演算细草。
第四是严谨性不同。《九章算术》、《四元玉鉴》等大部分古代数学著作都很严谨，而《五曹算经》、《九章算法比类大全》等的错误比较多，甚至重复某些已被前人纠正了的错误。
第五，在是不是有数学推理和证明上，当然更是不同的。
因此，起码从以上几个方面看，中国古代数学实际上存在着民间数学和数学家的数学的分野。
中国古代某些数学家在实际上也发现了这一区别。刘徽在阐发了自己求弧田密率的方法后说：“然于算数差繁，必欲有所寻究也。若但度田，取其大数，旧术为约耳。”寻究弧田密率，是数学家的数学；用来度田的，是民间的应用。针对当时高度发展的筹算乘除捷算法，南宋的荣棨批评是“或隐问答以欺众，或添歌彖以衒己。乖万世益人之心，为一时射利之具”，[11]金元大数学家李冶指责某些数学著作“以浅近粗俗无足观者，致使轩辕隶首之术，三五错综之妙，尽堕于市井沾沾之儿，及夫荒邨下里蚩蚩之民，殊可悯悼。”[12]抛开荣棨、李冶等鄙视筹算乘除捷算法的错误态度不谈，那么显然在他们的头脑中，民间数学和数学家的数学是泾渭分明的。
3 中国古代是否存在纯数学研究
与“中国古代数学著作都是应用问题集”这一不恰当的概括相联系，国内外数学界和学术界，包括对中国古代数学成就十分推崇的学者在内，也多认为“在古代中国的数学思想中，最大的缺点是缺少严格求证的思想”，中国古代数学中没有形式逻辑，尤其没有演绎逻辑。“在从实践到纯知识领域的飞跃中，中国数学是未曾参与过的”，[13]所谓成就都是经验的积累，没有理论，更没有推理和证明的看法。这种看法也是不符合实际情况的。《九章算术》等著作中有大量关于一类数学问题的具有正确性、普适性和抽象性的术文，这本身就是数学理论。许多学者没有认真考察数学著作本身，而从“应用问题集”的概括造成的错觉出发，“顺理成章”地得出“中国古代数学没有理论”的错误看法。更何况刘徽的《九章算术注》、贾宪的《黄帝九章算经细草》、李冶的《测圆海镜》、《益古演断》、杨辉的《详解九章算法》和《杨辉算法》、王文素的《算学宝鉴》等都有不同程度的定义、推理和论证。
实际上，形式逻辑中关于演绎推理的几种主要形式，刘徽都娴熟地使用过，而且没有任何循环推理，他的数学证明是相当严谨的。[14]说中国古代数学没有演绎逻辑，大约是没有读或者没有读懂刘徽的《九章算术注》。西方有远见的学者，比如以研究古希腊数学著称的英国罗界(G.Lloyd)爵士多次与我讨论刘徽的证明问题，他对刘徽的评价极高。[15]法国伦理与政治科学院院长E.Poulle教授等认为刘徽在数学证明及其意义的概念上有新的突破，刘徽有关算理的证明提出了一个新课题：证明算理的正确性在世界证明史上起到什么作用?[16]
我们认为，刘徽等数学家的数学证明表明，中国古代存在着纯数学研究，也就是为数学而数学的活动。就实际应用而言，《九章算术》的公式、算法，只要能够无数次的应用，并且在应用中表明它们正确就够了，根本用不到证明。刘徽的《九章算术注》对《九章算术》的公式、算法进行了全面而且基本上是严谨的证明，并在证明中追求逻辑的正确，推理的明晰，这显然是纯数学的活动。
此外，对计算中精确度的追求，也是纯数学的工作。比如，对开方不尽的情况，刘徽之前人们或
用表示平方根的近似值。在实际应用中，一般说来这已经足够了。刘徽认为这不精确，提出“求其微数”的思想，以十进分数逼近无理根。然而这在实际应用上意义不大。刘徽、祖冲之将“求微数”的思想用于求圆周率，祖冲之将其精确到8位有效数字，更不是实际应用所需要的。实际上，祖冲之后一千多年间，在工艺技术和历法的计算中，人们还大多使用“周三径一”。显然，追求圆周率的精确值，不是人们日常生产、生活的需要，而是纯数学活动。
4 中国传统数学是否属世界数学发展主流
20世纪70年代以前，中国数学史界一般将中国古代数学的特征概括为强烈的地位制，以计算为中心与数学理论密切联系社会实际等。这无疑是正确的。然而，进一步问，中国古代数学的算法有什么特点?提出并解决这个问题的是吴文俊。他说：“我国古代数学，总的说来就是这样一种数学，构造性与机械化，是其两大特色。”[17]
中国古代的方程术即线性方程组解法、刘徽求圆周率的程序、开方术和求高次方程正根的增乘开方法、大衍总数术即一次同余方程组解法等成就都是典型的构造性方法。
《九章算术》中的分数四则运算法则，开方程序，线性方程组解法等，刘徽的求圆周率的程序和方程新术，以及由《九章算术》的开方术发展起来的贾宪、秦九韶的增乘开方法，秦九韶的求解一次同余方程组的大衍总数术，宋元数学家的设未知数列方程的天元术，元朝朱世杰等求解多元高次方程组的四元术，等等，都具有规格化的程序，是典型的机械化方法。
吴文俊从中国传统数学的构造性和机械化特征得到启发，开创了数学机械化理论。
同时吴文俊关于中国传统数学特征的论述，为从理论上回答什么是世界数学发展的主流，彻底解决中国传统数学是不是数学发展的主流的问题开辟了道路。西方人一般鄙视中国古代数学。当他们知道了中国古代数学的许多成就时，又不顾起码的编年史，也不要任何证据，就说中国数学是从巴比伦、希腊、印度等地传入的。他们编著的数学史著作，大都根本不提中国古代数学，说中国“对于数学思想的主流没有重大的影响”而略而不论。[18]英国科学史家李约瑟(1900～1995)根据自己以及李俨、钱宝琮、严敦杰等学者的中国数学史的研究成果，指出在数学上，“在公元前250年到公元1250年之间，从中国传出去的东西比传入中国的东西要多得多”，[18]批驳了中国古代数学源于古巴比伦、古希腊和印度的谬说。
吴文俊指出：“世界数学有两条发展路线”：“一条是从希腊欧几里得系统下来的，另一条是发源于中国，影响到印度，然后影响到世界的数学。”[20]不久，他更明确地指出了数学发展的主流问题：“在历史长河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长交替成为数学发展中的主流。”[21]这就从理论上回答了什么是世界数学发展的主流的问题。而“中国古代数学，乃是机械化体系的代表”，从而彻底解决了中国传统数学属于世界数学发展的主流，并且是主流的两个主要倾向之一的问题。这就是说，在吴文俊看来，数学发展的主流并不像以往有些西方数学史家所描述的那样只有单一的希腊演绎模式，还有与之平行的中国式数学，而就近代数学的产生而言，后者甚至更具有决定性的（或者说是主流的）意义。[22]正是以中国数学为其源头和重要组成部分的东方数学，包括数学方法和用数学解决实际问题的传统，传到欧洲，与发掘出来的古希腊数学相结合，导致数学模式和数学家的数学观的改变，重视数学计算，走向几何问题的代数化，从而开辟了文艺复兴后欧洲数学的繁荣，并开辟了通向解析几何和微积分的道路。
古希腊数学与中国传统数学各有所长，厚此薄彼，褒一贬一，不是恰当的态度。正确的态度是取两者之长，兼收并蓄。如果现代数学家既能施用古希腊的抽象方法又长于中国式的算法，便可以同时进行深入的证明和准确的计算，对当今数学的发展来说可能会起到现在无法预料的作用。这是中西数学思想的一种新的融会贯通，可以说是较明末清末更高的完全不同的一种融会贯通。
5 数学史研究与原始文献
数学史是历史学的一部分。它要求研究者站在现代数学的高度，用历史学的方法，整理此前产生的数学遗产。不言而喻，反映这些遗产的载体——原始文献，是我们研究的主要对象，是数学史研究的出发点。因此，尊重并认真研读原始文献，是对数学史工作者的起码要求。这不是杞人忧天。事实上，不认真研究原始文献，以自己现有的知识理解甚至取代古文；对原始文献弃而不用，只靠自己的臆测得出某些结论；读不懂古文，便对古文乱加改窜；因原始文献的记载与自己的观点相左，便对古文进行曲解，甚至随意删节，强古人以就我的态度，等等，在数学史研究中并不鲜见。中国数学史研究中经常发生一些争论，原因当然各异。然而，不尊重原始文献，甚至有意无意地篡改古文，是一个重要原因。关于清中叶以来学术界对中国古代数学的某些重大问题认识上的偏颇，比如戴震等人轻率地否定刘徽对《九章算术》编纂的论述，没有认识刘徽割圆术的主旨是证明《九章算术》的圆面积公式，从而对求圆周率的程序的描述背离了刘徽注，以秦九韶大衍总数术的一部分“大衍求一术”取代整个术文指称秦九韶求解一次同余方程组的方法，无视李冶是为阐发“测圆”问题而作《测圆海镜》的自述，将其看成阐发天元术的著作，在天元术的论述中混淆天元式和开方式等等，笔者已撰《尊重原始文献，避免以讹传讹》澄清，[23]不赘。
由于李俨、钱宝琮等中国数学史学科奠基者和历代数学史工作者的努力，中国数学史研究有相当深厚的基础和成就。在这种情况下，更应该力求准确地表述这些成就，既不夸大，也不缩小。为此，除了尊重原始文献之外，别无他途。
收稿日期：2008-10-08.
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