数学建模在数学解题中的应用，本文主要内容关键词为：数学论文,建模论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
《数学课程标准》指出：数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.这里的“数学模型”是针对某种事物系统的主要特征或主要数量关系，采用形式化语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构形式.把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象成数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答方法来解释现实问题，这一数学知识的应用过程称为数学建模.
在初中阶段，教材为我们提供了丰富的数学材料，对它们建模有助于培养学生的建模意识，提高学生的建模能力，培养学生的应用数学意识和创新意识.同时，基于初中学生的认知特点，建模教学主要是树立他们建模的意识和体会数学建模在解题中的应用价值.
一、对数学建模的多维度诠释
1.从思想方法的角度看，数学建模是一种化归思想的实现形式
在模型假设的时候，我们是把一个陌生的知识化归为熟悉的知识.一旦模型建立，也就把提供的问题化归为模型并加以应用.所以说，数学建模是一种化归思想的实现形式.
2.从解决问题的角度看，数学建模是一种思维定势的迁移方式
学习的迁移理论告诉我们，已有的知识和经验对于新问题的解决总会产生各种影响.新旧问题之间总存在着一定的联系.问题解决的成败与否和效率的高低，在某种程度上取决于在解题中能够发生迁移作用的知识.良好的思维定势能有效地促进知识和经验的正迁移，它使解决问题者将若干问题求解的成果推广到众多的同类问题上.从这个意义上说，模型如何假设以及建模的成败就是思维定势的迁移的正与负的问题.
在初中阶段，通常建立如下的几何图形模型、方程或不等式模型、三角函数模型、函数模型等数学模型来解决实际问题.
二、数学建模用模的基本元素
初中数学建模素材主要来源是课本的总结归纳，它包括：
1.基本公式
例如：求梯形的面积，通常转化为求“上底、下底和高”的模型或求“中位线和高”的模型或求“两个三角形面积的差”的模型.
再如：求利润，通常建立售价、成本、销售量、利润率这些量间的数学模型.
2.基本图形
复杂图形由几个简单图形组合而成，建立基本图形的解题模型，有利于我们从复杂图形中提炼出基本图形，从而达到化繁为简的目的.
如学了“相似三角形”之后，笔者和学生一起建立了以下五类模型.一般地，与相似三角形或线段比有关的问题都可以转化为这几个模型.
第一类：“A字型”或“X型”，如下页图1.第二类：“子母三角形”，如下页图2.第三类：“站着一个，睡着一个”，如下页图3.第四类：“八字型”或“蝴蝶型”如下页图4.第五类：旋转类相似（经常与四点共圆有关）如下页图5.
三、数学建模用模的基本途径
课本例题和习题提供了很多基本的解题方法，其中一些典型方法通过数学建模，为分析类似问题提供了思路.在教学中，应抓住这些建模材料，让学生合作探究.一旦模型建立，学生能够很轻松地掌握.
1.数学问题生活化
例1 已知直线a及同侧两点A，B，在a上找一点P，使PA+PB最小（如图6）.
【实例】一条河流同旁有两村庄，欲在河边建一水站，分别向两村庄送水，且使管道最短，考虑一村庄的对称点.
点评这是学生对应例1创设的实例，或许语言还不严密，但学生通过对模型的验证，对模型有深刻的认识，遇到求两线段长度和或差的最值，就会优先考虑该模型，并对其变式也应用自如.
变式1 在a上找一点Q，使AQ-BQ最大.
变式2 已知在平面直角坐标系中有两点A（2，-3），B（4，-1），又C（a，0），D（a+3，0）是x轴上的两动点，当四边形ABDC周长最小时，求a的值.
变式3 台球桌上的母球击打目标球问题.
2.生活问题数学化
例2 E，F，G，H分别是四边形稻田ABCD各边的中点，且AC⊥BD，试判断稻田四边形EFGH的形状，并说明理由.
【建模】顺次连接四边形各边中点能得到特殊平行四边形，欲使新得到的四边形特殊，倒不是因为原四边形的形状特殊，而是原四边形对角线的大小或位置特殊，当原四边形的对角线相等时，新四边形是菱形；当原四边形的对角线互相垂直时，新四边形是矩形.
点评 通过特色性语言帮助记忆模型，学生印象深刻，一见到相关题目，模型就跃入眼前.
3.典型问题格式化
例3 垂径定理及其推论
【建模】在圆的半径，半弦长，弓形高和弦心距这四个量中，任意已知两个量，可运用勾股定理或垂径定理求另两个量.
点评 很多圆的计算问题都可以化归为这一模型.
四、例析数学建模在中考中的应用
例4一道与抛物线有关的三角形面积问题
如下页图8，抛物线y=
-2x-4与直线y=x交于A，B两点，M是抛物线上一个动点，且在直线AB的下方.
（1）当点M为抛物线的顶点时，求△OBM的面积；
（2）（2005年武汉市中考题改编）当点M在抛物线对称轴的右侧，且△OBM的面积为10时，求点M的坐标；
（3）（2009年深圳市中考题改编）当点M在抛物线对称轴的右侧时，点M运动到何处，△OBM的面积最大；
（4）（2010年安徽省中考题改编）若以M为圆心，
为半径作⊙M，当⊙M与直线AB相切时，求点M的坐标.
首先来看第（3）问.
方法1 建立方程模型
如图9，过点M作MN//AB，交x轴于N点，设MN的解析式为y=x+b，由前面的解法可联想到MN与抛物线相切时，△OBM的面积最大.
点评 问题（3）是将问题（2）一般化后，在一般情形下研究动点的最值问题.
方法2 建立函数模型
设△OBM的面积为S，M点坐标为（x，y），由前面的解法可建立函数关系式如下：
再看第（4）问
如图10，过点M作MQ⊥AB，垂足为点Q，连接OM，BM，因为MQ=，OB的长为定值，则此时问题可以转化为问题（2）“已知△OBM的面积，求点M的坐标”，可用平移法解决问题.
过点M作MN//AB，交x轴于N点.
设MN的解析式为y=x+b，由MQ=，∠BON=45°，求得ON=2，所以N（2，0），从而推出MN的解析式为y=x-2.
点评 问题（4）改变了问题呈现方式，学生自觉地转化为已经解决的问题.
五、数学建模中应注意的问题
1.忌过于抽象
从学生身边的事物中发现数学，创造数学，运用数学，无疑对提高学生学习兴趣和解决实际问题的自信心有非常大的作用.但初中生毕竟不是大学生，对现象本质的认识能力有限，作为教师应精心准备，创设情境，避免出现让学生摸不着头脑的建模问题.
如某老师的课上出现这样一个问题：下表列出两套符合条件的课桌椅的高度
现有一把高42cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？通过计算说明.
点评 由两组数据判断课桌椅符合一次函数关系似欠科学，也难怪学生摸不着头脑，感觉无从下手.
对于学生陌生的生活背景问题，教师应引导学生用讨论法审题，分析数学模型建立的原理、过程，数学知识、方法的转化、应用，以利于学生建模.
2.忌过于僵化
由于学生的认识能力不同，看问题的角度不同，采用的方法不同，即使对于同一生活背景，不同的学生建立的模型也会不同，作为教师不应要求他们按同一方法建模，应鼓励他们主动参与成功建模.
例5 完成一项工程，甲单独干需要2天，乙单独干需要3天，甲、乙一同完成需要几天？
事实上，该题既可建立方程模型，也可建立函数模型.
数学建模的教学应提倡学生主动参与，亲身经历建模的过程并让学生讨论完善模型的表述形式.这样做能使学生兴趣浓、印象深，对于自己的劳动成果充满自豪感，而老师每每讲到与模型相关的习题时，学生往往不自觉地齐声诵读自己总结的表述语言，课堂气氛活跃，学生思维活跃，教学效果往往很好.
总之，培养学生解决实际问题的能力，也就是培养学生的建模能力，对提高学生学习兴趣，培养创新精神具有十分重要的意义，我们平时在数学教学中，要加以重视并采用正确的方法引导学生.