抛物线对称轴上点的“相关弦”性质的变式探究，本文主要内容关键词为：对称轴论文,抛物线论文,性质论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
2008年高考数学湖南卷理科第20题是一道存在型探索性问题，先定义抛物线中的“相关弦”，再证明“相关弦”的性质并探索“相关弦”弦长是否存在最大值，主要考查推理论证能力和数学探究能力。该考题将抛物线知识、二次函数知识及坐标方法融会整合，着力于探究抛物线对称轴上点的“相关弦”的性质，立意新颖，探索创新，彰显课标理念，开辟了圆锥曲线命题的新途径。题目如下：
基于上述考题的一般化思考，不难提出如下问题：
(1)圆锥曲线对称轴上的点满足何种条件时，存在“相关弦”？有多少条“相关弦”？
(2)圆锥曲线对称轴上的点的“相关弦”有何性质？
二、变式探究
1.抛物线对称轴上点的“相关弦”性质的探究
首先，让我们来探究“相关弦”的存在性问题。
仿照上述考题，给出如下“相关弦”的定义：
(1)试问：点M(0，m)的所有“相关弦”的中点是否共线？请说明理由。
(2)若点M(0，m)的所有“相关弦”的弦长的最大值为6，求m的值。
解：(1)由性质3的变式2，知点M(0，m)的所有“相关弦”的中点共线（在直线y=m-2上）。
详尽理由可参考性质3的证明。
(2)由性质4可知，点M(0，m)的所有“相关弦”的弦长的最大值为2(m-1)，由2(m-1)=6，得m=4。（求最大值的过程与性质4类似。）