自回归条件异方差的持续性研究，本文主要内容关键词为：方差论文,持续性论文,条件论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中国分类号：O212.1
1.长记忆与持续性简介
长记忆性和持续性是经济时间序列中存在的一种普遍现象，长记忆性反映了时间序列一阶矩的某种长期特性，持续性则反映了时间序列二阶矩存在的某种长期性质。国外对经济时间序列的长记忆研究源自于60年代末70年代初，并已有大量研究成果见诸于文献[1]， 国内张世英等人[ 2] 也对此进行过研究。 方差持续性的研究最初源自于Engle 和Bollerslev对IGARCH模型的研究[3]， 该研究领域目前在西方经济计量学界正方兴未艾，而国内似未见相关文献发表。
自回归条件异方差（ARCH）模型的持续性研究是由对条件均值的长记忆性研究引申而来的。方差持续性反映了当前方差的波动性对未来方差预测的影响程度。在经济时间序列当中，所谓条件均值的长记忆性是指时间序列的自相关函数以比负指数衰减更慢的速率衰减。考虑ARMA过程｛γ[,t]｝，由于γ[,t]与γ[,t+k]的自协方差函数γ[,k]随k →∞而依负指数下降，即：
γ[,k]│≤cρ[-k]（1）
k＝0，1，2，…，（ρ＞1，c＞0为常数）通常称此ARMA 过程为短记忆的，但如果｛γ[,t]｝的自协方差函数γ[,k]依负幂指数下降，但下降的速度较慢，
γ[,k]～ck[2d-1]，k→∞（2）
其中d＜0.5，则称｛y[,t]｝为长记忆过程。 长记忆过程有几种不同的定义，但对长记忆的最早研究是从时间序列的自相关函数的持续性开始的。由于这种持续性显示了与平衡和一阶差分即I（0）和I（1）过程完全不同的性质，人们开始关注分数单整过程。对这一过程的最早描述见Grange和Joyeux[4]及Hosking[5]等人提出的ARFIMA[,(p.d.q)] 模型：
其自相关函数
ρ[,k]≈ck[2d-1]，c＞0
在对一类具有时变方差的时间序列的研究中，Engle 提出了自回归条件异方差（ARCH）模型[6]， Bollerslev 提出了它的广义形式，即GARCH模型[7]。在以后的研究中，人们发现许多建立的条件方差过程存在明显的持续性，即当前方差的扰动持续地影响所有各期的条件方差的预测。针对这一现象，Engle和Bollerslev 提出了单整 GARCH 模型即IGARCH模型[3]。在IGARCH 模型中条件方差的扰动可以对各个时期的方差预测产生明显的影响。从预测角度看，GARCH和IGARCH 模型分别类似于关于条件均值的I（0）和I（1） 过程。
正如 ARIMA 模型扩展到ARFIMA模型一样，IGARCH模型可以很自然扩展到分数单整GARCH 模型即FICARCH 模型 [8]。 根据 Baillie等人指出的， FIGARCH 模型条件方差的扰动对未来各个时期条件方差的预测的影响呈缓慢的双曲率衰减。Bollerslev和Millelsen[9]指出，分数单整的时间序列滤波形式通过对d值的选择可以更好地描述金融市场波动性的长期特征。
2.IGARCH和FIGARCH模型以及持续性
考虑如下GARCH（p，q）过程：
其中ω为常数，α（L）和β（L）分别为q阶和p阶滞后算子。ε[,t]～（0，σ[2][,t]）。上式可进一步表示为：
[1－α（L）－β（L）]ε[2][,t]＝ω+[1－β（L）]v[,t]（5）
其中，v[,t]＝ε[2][,t]－σ[2][,t]，E[,t-1]（v[,t]）＝0.
这个GARCH（p.q）过程可以理解为关于ε[2][,t]的ARMA（max ｛p，q｝，p）过程。在GARCH（p，q）模型中，如果多项式[1－α（L ）－β（L）]＝0有一个单位根，那么模型就变为IGARCH模型，此时模型的协方差是非平衡的。注意到模型在存在一个单位根条件下，多项式可以表示为[1－α（L）－β（L）]＝（1－L）Φ（L），IGARCH过程可以表示为
(1－L）Φ（L）ε[2][,t]＝ω+[1－β（L）]v[,t] （6）
形式。其中Φ（z）＝0的所有根在单位圆外。类似于ARFIMA模型，IGARCH模型可以很自然扩展到FIGARCH模型。
（1－L）[d]Φ（L）ε[2][,t]＝ω+[1－β（L）]v[,t]（7）
其中0＜d＜1，Φ（z）＝0和[1－β（L）] 的所有根都在单位圆外。分数差分算子可以通过Maclaurin展开式得到。
其中，Г（k－d）＝｛（k－d－1）（k－d－2）…（2－d）（1－d）（－d）｝Г（－d）。当d＝0时，FIGARCH（p，d， q ）模型就变为GARCH （p，q）模型；当d＝1 时， FIGARCH（p，d，q ） 模型就称为IGARCH（p，1，q）模型。根据FIGARCH）的定义，该过程可以进一步表示为
[1－β（L）]σ[2][,t]＝ω+[1－β（L）－Φ（L）（1－L）[d]]ε[2][,t]
（9）
从而ε[,t]的方差可以表示为
其中v[,t] 可以从下列多项式中得到
根据Baillie，Bollerslev，Mikkelsen[8]和Baillie[1] 所指出的，当0＜d＜1时，GARCH（p，q）和FIGARCH（p，d，q）模型其条件方差的扰动在预测的意义上都是绝对衰减的。然而，当d＝0时，GARCH 模型是呈指数衰减的。而当0＜d＜1时，FIGARCH模型λ[,k]是呈双曲率衰减的。当d＝1时，累积脉冲响应系数将收敛到一个非零常数γ（1）＝ Φ（1）[-1][1－β（1）]，因此，从预测的角度看，扰动对IGARCH 模型的条件方差是无限持续的。
方差持续性的概念也可以借助于条件均值的长记忆概念来定义，即可以从自相关函数呈缓慢双曲衰减的特征来定义方差持续性。实际上方差持续性的概念正是Bollerslev和Engle[3]等人在研究IGARCH过程的基础上提出的，它揭示出方差持续性是指对条件方差的各个时期的预测都对初始值具有敏感依赖性这一特性。在对经济时间序列条件异方差的研究中，许多文献都发现实际所建立的GARCH模型的系数和非常接近于1，即具有IGARCH模型的特征[10]。在他们的研究中指出，IGARCH（1，1）模型的自相关函数为：
ρ[,k]＝1／3（1+2α）（1+2α[2]）[-k／2]，α≠0 （12）
显然，它是呈负指数衰减的，这意叶着从理论上讲IGARCH（1，1）过程表现出非持续性。Ding等人指出这种情况很可能是由于GARCH 过程的系数呈指数衰减而造成的。考虑IGARCH（1，1）模型
σ[2][,t]＝ω+αε[2][,t-1]+βα[2][,t-1] （13）
其中，ω为常数，α+β＝1。上式可以表示成为无穷阶MA形式，
从这个方程可以看出，当β＜1时，ε[2][,t-1]随k 增大而呈指数衰减。因此，用自相关函数的衰减程度来判断方差的持续性并不准确。Nelson[12]在他的研究中认为，一个随机过程是否持续主要取决于持续性的定义，考虑GARCH（1，1）过程，
σ[2][,t]＝ω+αε[2][,t-1]+βα[2][,t-1]ε[,t]＝σ[,t]ξ[,t]
其中ξ[,t]是一个均值为0、方差为1的独立同分布过程。考虑前向k 阶预测
σ[2][,t+k]＝ω+βσ[2][,t+k-1]+αε[2][,t+k-1]
对上式进行迭代，有
是关于方差持续的。
其中E[,t+k]（·）表示t+k时期的条件期望，Var[,t]（·）表示t时期的条件方差。这个定义说明对条件方差预测来说， 当前方差的扰动在概率的意义下不随着时间的推移而趋于零。
3.向量GARCH过程的持续性
设ε[,t]为一个N×1维向量随机过程，且有ε[,t]│Ω[,t-1] ～N（0，H[,t]），Ω[,t-1]表示从过去直到t－1时刻的所有信息集，H[,t]是N×N维矩阵，且是关于Ω[,t-1]可测的。定义h[,t]＝Vec（H[,t]），这里Vec（·）表示把矩阵H[,t]影射为（N×N）×1 维向量的向量算子。向量GARCH（p，q）过程（简称为VGARCH 过程）可以表示为下列形式
这里W是一个N[2]×1维向量，A[,i]和B[,i]为N[1]×N[2]矩阵，且A[,i]和B[,i]使H[,t]正定。我们给出VGARCH单整的定义， 并讨论单整VGARCH过程的持续性。
定义：ε[,t]是关于方差一阶单整的，如果det[1－A（λ[-1]）]－B（λ[-1]）]＝0存在一个单位根。其中det[·]表示行列式， λ表示矩阵的特征根。
根据Bollerslev和Engle[13]的有关定理，当det[1－A（λ[-1]）－B（λ[-1]）]＝0的所有根都在单位圆内时，VGARCH过程是协方差平衡的。下面的定理给出VGARCH过程持续的充分条件。
定理：（充分条件）如果VGARCH（p，q）过程是单整的，那么它也是关于方差持续的。
证明：根据前面的定义，VGARCH（p，q）过程可以表示为：
由det[λI－C[,n]]＝0可以将C[,n]进行Jordan分解，有C[,n]＝QГ[k-1]Q[-1]其中Г是n×n对角矩陈，令n个特征值│λ[,1]│＝ 1＞│λ[,2]│＞…＞│λ[,n]│，则Γ各对角元素为各特征值对应的范数，其余皆为零。Q是由各对应的特征向量组成的矩阵（当有重根时， 对应的对角元素变为Jordan块）。当│λ│＜1时，Γ[k-1]随k 趋于无穷各元素将收敛到零。但由VGARCH过程的单整性可知：det[λI－C[,n]]＝0有一个单位根，即│λ│＝1有
根据持续性的定义，可知该VGARCH过程持续（多单位根情况与之相同）。 证毕。
4.小结
条件异方差的持续性现象是人们在研究经济和金融时间序列中发现的一种普遍现象，由于这一类现象与关于时间序列条件均值的长记忆现象在结构上具有相似性，因此有关长记忆研究的方法很自然地被应用到条件异方差持续性的研究当中。但正如本文所指出的，目前有关条件异方差特续性研究的文献尽管较多，但并没有提出一个简单明确的关于方差持续性的定义。另外，关于多变量广义自回归条件异方差的持续性研究则鲜有文献涉及。值得指出的是，多变量自回归条件方差的持续性研究可以在组合证券投资理论的应用中提供一种有效的建模方法。类似于协整建模理论，Bollerslev和Engle[13]提出的协同持续的思想， 为在一类具有长期线性关系且方差持续的组合证券投资研究中提供了一种新的建模工具。