六年级学生数学学习能力调查——学数学必须懂数学，本文主要内容关键词为：数学论文,能力论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言和研究问题
近年来，数学教育界都在倡导数学的教与学应当致力于这样的目标：学生学数学必须懂数学，以此提高学生的数学能力和创造性[1～5]。然而对什么是懂数学以及如何提高学生的数学能力和创造性的相关研究报告却有不同的探讨。根据NRC(2001)和Rand[6](2003)数学教育分析研究，学生的数学能力应体现在以下5个方面：懂得数学概念，计算熟练，能将所学加以应用，逻辑推理及证明能力和对数学学习价值的认识。
本研究在NRC和Rand对学生数学能力阐述的基础上，用“懂得数学概念，计算熟练和能将所学加以应用”作为此项研究的基础来分析中国六年级学生的数学学习状况，并用以阐述他们的数学能力。由于对六年级学生而言，逻辑推理和证明能力开始贯穿于懂得数学概念，计算熟练和应用之中。对数学价值的认识是通过理解数学概念并能够将所学数学和实际应用联系起来后实现的。因此，本文以懂得数学概念，计算和应用作为测量数学能力的3个方面作为研究框架来阐述中国六年级学生数学能力。由于篇幅有限，本文省略了当前数学教育界有关懂数学重要性的理论阐述，把重点放在研究结果上，借以启发教育工作者对懂得数学及数学能力的培养的关注和研究。本文的研究问题是：解题熟练等于懂得数学吗？
二、研究方法和研究对象
1.研究对象
研究对象包括从中国东南地区两个城市491名2004～2005年小学六年级学生。这些学生所使用的课本是传统教材（当时他们还未用新教材）。因为这些学生即将步入中学学习，因此测试这些学生的数学能力，特别是他们真正懂得数学的水平，来观察他们是否已经准备好学习中学数学是很有必要的。
2004年冬季，本人在两个城市地方教研室协助下，由他们将一份试卷，其中包含7道分数和小数计算题的测试题目，分别由6所学校的老师让这491名六年级学生进行笔试，然后由这些教师将考卷收集上来。6所学校分布在两个城市，每个城市3所。为了达到测试学生数学平均能力的目的，每个城市的3所学校是以当地的好中差来搭配的。
2.研究测试工具
7道分数和小数计算题是依据懂得数学和数学能力的有关研究设计的[7～8]。这些题目分别是：
题目的要求是：计算这些题；在理解的基础上，建立自己的模型图来解题；用所给题目创造一个现实生活的情景。这些题目主要是测试学生用解题步骤解题的熟练程度，理解数学的意义，及实际应用。
3.分析方法
此研究使用质量分析方法来分析学生的数学能力。由于这个研究的目的是测试学生的解题，懂得数学和应用的程度，因此测量方法如下：
如果学生能够用合理的步骤解出题目的正确答案，学生就被认为有很好的解题熟练程度，并且这个熟练程度是由模仿课堂解题步骤和练习而得到的。
如果学生能够在对数学的正确理解的基础上来建立自己合理的数学模型图并从这个数学模型图得出正确的数学答案，学生就被认为懂得数学概念。
如果学生能够很好地理解数学的意义，结合题目合理地创造现实生活中的情景（创造应用题），学生就被认为能够把所学数学与实际相联系并加以应用。
满足以上3点，学生就被认为懂得数学，并具有较强的数学能力，这样学数学对学生来说是有意义的。
三、结果和讨论
表1～3总结了这个研究的结果。表1展示了学生用合理的步骤解出题目正确答案的百分比。表2展示了学生能够在对数学的正确理解的基础上来建立自己合理的数学模型图并从这个数学模型图得出正确的数学答案的百分比。表3展示了学生能够很好地理解分数和小数的加、减、乘、除法意义，结合题目合理地创造现实生活中的情景（创造应用题）的正确百分比。
表1 用合理的步骤解出题目正确答案的学生比例
题号 解答正确的人数
百分比(%)
(1)468
95
(2)447
91
(3)480
98
(4)444
90
(5)420
86
(6)305
62
(7)298
61
表2 通过建模型图得出正确答案的学生比例
题号 解答正确的人数
百分比(%)
(1)113
23
(2)120
24
(3)9018
(4)304
62
(5)275
56
(6)7014
(7)8517
表3 通过创造应用题并得出正确答案的学生比例
题号解答正确的人数百分比(%)
(1) 342
70
(2) 352
72
(3) 247
50
(4) 408
83
(5) 414
84
(6) 237
48
(7) 221
45
1.对用合理的步骤解出题目的正确答案的讨论
从表1可以看出，学生用合理的步骤解出题目正确答案的百分比是很高的。对异分母分数的加法，学生能用通分的方法找出公分母来得出答案。但对异分母分数的减法，一些学生对整数和分数混合运算造成一些混乱，因此，正确的比率相应低一些。对异分母的分数乘法，学生大都知道运算法则是分子乘以分子和分母乘以分母，因此，正确答案的比例最高达98%。对小数的加减法，学生通常使用小数点对齐的方法然后施行加减运算。但由于所给的小数较为复杂，因此学生的运算中出现的错误较多。对小数的乘法，由于数位较多，因此出现很多粗心的运算错误。对小数的除法，学生通常使用长除法运算，但这种运算一遇复杂的数字，就易造成错误。表1中的百分比证实了学生在小数乘除上的困难。另外，由于缺乏应有的数感，有相当数量的学生在计算24.275÷1.25时，得出的答案是194.2，0.1942和1.942。
2.对建立数学模型图的讨论
从表2可以看出，学生在对数学的正确理解的基础上来建立自己合理的数学模型图并从这个数学模型图得出正确答案的百分比是相对较低的。应该指出，本研究在分析数据时，只要学生有正确的数学思想，显示了较好的数学理解能力（如有较好的解释），尽管所建数学模型图不完全完整，也把它们作为正确答案。
分析结果显示分数加、减法，学生的正确率小于25%；小数的乘、除法和分数乘法，学生的正确率小于20%。只有小数、减法的正确率稍高些。
对异分母的分数加减法，重要的数学概念是：两个分数单位不同的分数相加时，其单位“1”是相同的；用分数等同概念把两个分数化成分数单位相同的分数，然后施行加减。
虽然有极少部分学生用其它方法如正方形、长方形和圆来建立模型图，但大多数学生都试图用数轴来建模型图。学生们在建立模型图的主要错误如图1～4：
图1显示两个分数单位不同的分数相加、减时，其单位“1”是不相同的。
图1 错误的模型图（一）
图2显示虽然单位“1”相同，但没有把两个分数化成分数单位相同的分数。
图2 错误的模型图（二）
图3显示学生用整数的概念来做分数的加减法。
图3 错误的模型图（三）
图4显示学生用不同图形代表两个分数。
图4 错误的模型图（四）
显而易见，由这些错误所建立的模型是无法得到正确答案的。这些错误还导致了学生在与此相关应用上的错误。需要指出的是，大部分学生在建模时，用法单一，局限于数轴，只有少部分使用其它图形。即便如此，正如以上所叙述的错误一样，大多数所建立的模型没有转化成分数单位相同的分数或者单位“1”不同，因此也得不出正确的答案。值得指出的是，在做分数加法时，有相当一部分学生的图形显示
的单位“1”比
的单位“1”大，这显然是一个概念错误。
表2结果显示学生们对于“乘法”的概念理解不深刻。首先对异分母的分数乘法，正确理解“乘”的概念，单位“1”和分数等同概念很重要，尤其用面积概念来建立模型图十分重要。另外，学生对分数乘法作为连续加法和倍数的理解不透，或者说他们只限于对整数乘法（连续加法）和倍数的理解。例如，学生们可能容易理解
×2，因为这是两个的连加，或者说，是的两倍。但对
，学生的理解发生了困难，因为他们不理解如何用图形获得
个的结果。与分数加减法一样，虽然大多数学生都企图用数轴来建模型图，但由于对乘法概念理解不透，从而造成了许多困难。学生们在建立模型图的主要错误如图5～6：
图5显示，学生可以分别用图形表达和，但不知如何得到积。
图5 错误的模型图（五）
图6显示，虽然学生知道应当用面积的模型来表示分数乘法，但没有从图形上推导出，显然结果是从计算得来的。
图6 错误的模型图（六）
对小数的加减法，大多数学生能够用货币来建模，这尤其对小数点后只有两位数的小数十分有用。但也有将近半数的学生没能正确回答这两个问题。
学生在小数乘法上建模的错误概念在于乘法和位数的概念不清楚。如果学生懂得263.6可以分解为200+60+3+0.6，或者用小数的十分图、百分图、千分图来分解建立模型，这个题是容易做的。学生的主要错误如图7～9：
图7显示学生用数轴来表达，但不知道答案是如何得来的。
图7 错误的模型图（七）
图8显示学生虽然能理解乘法的意义，但不知道如何分解263.6，因此如何得到答案十分混淆。
图8 错误的模型图（八）
图9是学生不理解乘法的意义，只是用图形把乘法的式子重复写出来。
图9 错误的模型图（九）
学生对除法的理解错误是导致他们在建模上错误的主要原因。学生只要能理解24.275÷1.25意思是要找出在24.275里有多少个1.25，那么他们在建模上是不会有太大困难的。因此大部分学生所犯的错误是未能正确地理解除法的意义。（如图10～12）
图10显示学生不知如何建模，只会把除法式子用图形重新表示。
图10 错误的模型图（十）
图11显示学生完全不理解除法的意义，把除法理解为减法。
图11 错误的模型图（十一）
图12显示学生理解除法的意义，但不知道如何建模。
图12 错误的模型（十二）
以上例子仅仅举出了学生在此研究中答题的常见错误。虽然个别题目比较复杂，但这类题的目的是检测学生有没有正确的数学思想。
3.对学生能合理地举出现实生活的例子的讨论
与数学建模相比，学生在数学应用上的正确率比较高，这尤其表现在分数、小数加减法上。然而，在数学应用上，虽然部分学生能正确地应用分数的加、减和乘法，但也有相当数量的学生不会应用所学的数学知识。他们在应用上的错误包括他们对数学概念的错误理解和他们的数学理解与实际脱离。比如，
(1)不同单位相加。
小枚举出了这样的例子：“有个苹果，有个梨子，要求苹果和梨一共多少个？”
晓彬举出了这样的例子：“妈妈烧菜时，用了一个萝卜的，用了一个大白菜的，问一共用了多少？”
(2)与实际脱离。
晓霞举出了这样的例子：“有一筐水果，第一次从中取出，然后再取出，问一共取出多少？”（显然一筐是不够的）。
小祺举出了这样的例子：“我有三张邮票，借出
张，再借出
张，还剩多少张？”显然，邮票是无法分成张和张的。
学生在分数乘法上的应用错误还表现在许多学生不能举出与之相关的现实生活中的情景，而用单纯的数学语言来表达数学应用。例如：
小平举出了这样的例子“一个数是，它的是多少？”
小花举出了这样的例子：“一筐苹果是千克，另一筐是千克，两筐相乘是多少千克？”
也有的学生所举的例子与实际生活不相符合。例如，槟槟举出了这样的例子：“红红去文具店买尺子，一把尺子很贵［要元］，但是要买个同样贵的尺子，共要用多少钱？”从数学意义上讲，这是可以理解的，但在实际生活中，很难买到个尺子。
对小数加减法的应用，除了个别的学生外，大多数学生都有很好的理解，这可能归功于学生们对在商店买东西都有切身的体会。但分别有17%和16%的学生未能很好地回答这两个问题，主要是所创造的情景与现实不符。比如，有的学生给出1.62只天鹅，21.25只白兔等例子。
对小数的乘法和除法的应用问题，就像分数的乘法一样，学生的主要问题是对乘法和除法的意义理解不深刻，不知道如何表达263.6×0.465和24.275÷1.25的意义和用单纯的数学语言来表示实际的应用问题。比如：
对于263.6×0.465，小茜举出了这样的例子：“水果店运进水果，苹果263.6千克，梨比苹果多0.465千克，问梨有多少千克？”显然，这不是乘法题。
对于24.275÷1.25，小敏举出了这样的例子：“有24.275千克油菜籽，榨了1.25千克［油］，问一吨油［油菜］榨了多少千克？”很明显，这不是题中要求的除法。
此外，用单纯的数学语言来表达小数的乘法和除法的应用问题上也占了一定的比例。比如，有的学生写“求263.6的0.465的数。”和“24.275是1.25的多少倍？”这些并不是实际的应用问题。
必须指出，小数的乘除法应用问题正确率不高的原因之一是许多学生没有回答这些问题。这证明他们可能不知道如何回答。
综上所述，参与此研究的学生计算能力明显高于他们的数学概念理解和在实际生活中的应用。然而，值得注意的是，此研究中，大部分学生习惯于用数轴来建立模型图。这种单一化的表达方式影响和局限了他们对数学的理解[9]。另外，数学与实际脱离的例子也反映了在学习上注重解题和练习对懂得数学和数学能力培养带来的误导。这种把数学和实际意义分割的例子显示了学生们不懂得数学的实际意义，只会把数学当作纯粹的数字来操纵，更谈不上实际应用。这种学生即使有快速的解题能力，其数学能力也是不强的。长此以往，在这种只提供解题能力的培训下，学生的创造力将被完全扼杀。
虽然从这些数据上我们还要进一步确定数学概念理解，计算和应用的数量关系的内在联系及相互影响。但国际上多项研究认为数学概念理解的提高，即真正懂得数学无疑将会帮助学生加强数学的意识及应用，并且提高数学能力[2～6]。单纯依靠做题和练习只能帮助学生更加熟练地操纵数字，在考试中得高分，但对学生懂得数学，建立自己的数学模型图及与实际的联系和应用是有限的，更谈不上学生花费在练习上的机会成本了(Opportunity Cost)。此研究的结果显示：被调查的学生中，至少半数以上仍然缺乏应有的数学能力：即懂得(Understanding)、计算(Computation)和应用(Application)，这将给他们今后的数学学习带来困难，尤其对他们的数学能力和创新性培养产生障碍。
四、研究的意义
对标准的信度和效率来说，虽然这项研究测试的范围可能还不算足够大，只包含了两个地区，也许不能反映全国学生的数学能力，但这项研究在一定程度上足以反映我国在数学教和学方面存在一些问题。此项研究的目的是基于学数学必须懂数学，理解数学的实际意义和应用，以此提高学生的数学能力和创造性为出发点[10～12]。因此，此研究的结果是希望教育工作者对学数学必须懂数学和提高学生创造性的数学学习方法给予关注。因为如果我们的学生只会解题，而不懂得数学及其实际意义和应用，就像此研究中六年级学生在他们的答卷中所反映的结果一样，学生只会机械性地模仿老师教的解题方法，不懂得数学的意义及数学和实际的联系，那么，我们的社会将无法培养出我们所期望的创造性的人才。
本研究表明，在数学教学中，强调解题熟练能力固然能帮助学生在考试中取得好分数，但这只是短暂的效果。然而懂得数学及数学能力的培养，虽然在教学中要多用一些时间，但结果却对学生的终生教育受益，因为它不但培养了学生对数学意义的真正理解，而且还帮助学生把数学和他们的实际生活联系起来，从而真正认识数学的价值，这是长期的效果。本研究建议，教育工作者首先要意识到我们在教学中学生理解数学和实际生活中应用的弱点，然后把改善这个弱点作为重点贯穿到教学之中去。虽然从根本上改变这种状况是需要有一个系统的从教学大纲以及教材上的改革，但就教学而言，我们的教育工作者是有改善的空间和机会的。尽管本研究结果倡导“在教学之中贯穿解题过程熟练，真正懂得数学概念和数学在实际生活中的应用”是培养学生数学能力及创造力的有效方法，但如何实施这个方法，并且将此与数学课标和考试有效地结合起来，由此而产生的新的教学方法无疑对我们的数学教与学是一个新的挑战。