摘要：《二次函数》一章在初中数学中占有重要地位，同时也是高中数学继续学习函数的基础。二次函数是中考考点之一，考题具有难度较大，综合性强的特点。从实际其教学情况看，有许多学生对二次函数学不得法，以至于一见到二次函数的题目就直接放弃，影响了中考成绩，也影响了今后对函数的进一步学习。如何帮助学生更好地掌握二次函数？本文从对2018年中考试卷中二次函数题目的分析入手，提出学习以及复习二次函数知识的策略，除考查二次函数图象与性质、求解析式等常规题外，中考试卷中还出现了二次函数与有关的几何图形的综合，主要体现数学核心素养中的数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象。
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关键词：二次函数；图象与性质；图形面积
中图分类号：G657.36文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2019）12-172-01
一、考题精讲：
例1：（2018陕西10题3分）对于抛物线y＝ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当x＝1时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【考点应用】二次函数图象的顶点的特征
【分析】把x＝1代入解析式，根据y＞0，得出关于a的不等式，得出a的取值范围后，利用二次函数的性质解答即可.
【解答】解：把x＝1，y＞0代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0，
解得：a＞1，
所以可得：﹣ ， ，
所以这条抛物线的顶点一定在第三象限，故选：C.
【总结点评】此题考查抛物线与x轴的交点，关键是得出a的取值范围，利用二次函数的性质解答.
例2：（2018陕西副题10题3分）已知抛物线y＝x2+（m+1）x+m，当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（）
A.m＞﹣1B.m＜3C.﹣1＜m≤3D.3＜m≤4
【考点应用】二次函数的增减性
【分析】根据“当x＝1时，y＞0，且当x＜﹣2时，y的值随x值的增大而减小”列出不等式组并解答.
【解答】解：依题意得： 解得﹣1＜m≤3.故选：C.
【总结点评】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数的关系，解题时，需要熟悉抛物线的对称性和增减性.
例3：（2018陕西24题10分）已知抛物线L：y＝x2+x﹣6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C.
（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；
（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式.
【考点应用】二次函数与图形面积
【分析】（1）解方程x2+x﹣6＝0得A点和B点坐标，计算自变量为0的函数值得到C点坐标，然后利用三角形面积公式计算△ABC的面积；
（2）利用抛物线平移得到A′B′＝AB＝5，再利用△A'B′C′和△ABC的面积相等得到C′（0，﹣6）或（0，6），则设抛物线L′的解析式为y＝x2+bx﹣6或y＝x2+bx+6，当m+n＝﹣b，mn＝﹣6，然后利用|n﹣m|＝5得到b2﹣4×（﹣6）＝25，于是解出b得到抛物线L′的解析式；当m+n＝﹣b，mn＝6，利用同样方法可得到对应抛物线L′的解析式.
【解答】解：（1）当y＝0时，x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2，
∴A（﹣3，0），B（2，0），
当x＝0时，y＝x2+x﹣6＝﹣6，∴C（0，﹣6），
∴△ABC的面积＝ ?AB?OC＝ ×（2+3）×6＝15；
（2）∵抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，
∴A′B′＝AB＝5，
∵△A'B′C′和△ABC的面积相等，
∴OC′＝OC＝6，即C′（0，﹣6）或（0，6），
设抛物线L′的解析式为y＝x2+bx﹣6或y＝x2+bx+6
设A'（m，0）、B′（n，0），
当m、n为方程x2+bx﹣6＝0的两根，
∴m+n＝﹣b，mn＝﹣6，
∵|n﹣m|＝5，∴（n﹣m）2＝25，
∴（m+n）2﹣4mn＝25，
∴b2﹣4×（﹣6）＝25，解得b＝1或﹣1，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6.
当m、n为方程x2+bx+6＝0的两根，
∴m+n＝﹣b，mn＝6，∵|n﹣m|＝5，
∴（n﹣m）2＝25，
∴（m+n）2﹣4mn＝25，
∴b2﹣4×6＝25，解得b＝7或﹣7，
∴抛物线L′的解析式为y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6.
综上所述，抛物线L′的解析式为y＝x2﹣x﹣6或y＝x2+7x+6或y＝x2﹣7x+6.
【总结点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数图象与几何变换.
二次函数与图形面积问题解题思路如下：
1.观察图形,弄清楚所求与面积有关的图形形状；
2.确定所求图形存在的几种情况,根据函数关系式设出图形中未知点的坐标,画出所求面积为定值的图形；
3.作出与图形面积有关的辅助线,将所求面积转化为可以用面积公式进行求解的图形(一般转化为三角形的面积进行讨论求解),一般是作三角形的高或y轴、x轴的垂线,再利用面积公式或三角形相似列出线段长度或与面积有关的代数式,根据面积定值,列方程求解。
二、中考预测
2019陕西中考第10题继续考查二次函数的图象与性质，考查内容包含:①开口方向②对称轴③点坐标④增减性⑤图象与x轴交点个数及位置的判断⑥图象上点坐标的特征⑦判断二次函数的平移方法⑧求二次函数的平移距离。近三年都在考查基本功！点在函数图象上，定量计算和定性分析！
2019陕西中考第24题继续考查二次函数与几何图形的综合应用，考查内容包含:①利用待定系数法求二次函数的解析式②二次函数图象的平移、对称③二次函数与特殊三角形的判定④二次函数与特殊四边形判定⑤二次函数与图形面积⑥二次函数与三角形相似⑦二次函数与线段最值。近三年都在考查数学思想！考查学生的数形结合、分类讨论、转化、方程函数等思想！
通过以上三道例题的分析，降低学生对二次函数题型的恐惧，从而提高学生对解答此类题型的信心，提升学生的数学能力和数学素养。
论文作者:王慧
论文发表刊物:《教学与研究》2019年12期
论文发表时间:2019/11/21
标签：函数论文; 抛物线论文; 面积论文; 图象论文; 角形论文; 图形论文; 象限论文; 《教学与研究》2019年12期论文;