破产理论研究的历史和现状①，本文主要内容关键词为：理论研究论文,现状论文,历史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O211.6 文献标识码：A
在随机决策理论中，决策的结果可分为确定性的和不确定性的2类。风险是对(不希望发生的事件的)不确定性的度量。导致风险的客观和外在原因是自然状态的不确定性，主观和内在原因则是人们的社会活动。客观世界是由确定性规律和随机性规律支配的统一体，确定性只不过是随机性的极端情形。由于客观世界的复杂性，存在着大量的随机现象。作为人们认识对象的随机现象，一部分是随机性规律的外在表现，另一部分则是由于人们还没有认识到或准确地把握其确定性规律、或确定性规律过于复杂，为了方便处理而将其视为随机现象的。对于随机现象，可用随机分析方法对其进行分析和处理。在风险理论中，在对证券进行分析时，经常将它的价格看成是纯粹的随机性结果而忽略确定性因素对它的影响。
风险理论是对风险进行定量分析和预测，进行决策、控制和管理的一般理论。其研究过程大致可分为风险识别、建立风险模型、风险分析、风险决策、风险控制等。
破产理论(ruin theory)是风险理论(risk theory)的核心内容。它在忽略投资回报、利率和通货膨胀等因素影响的前提下，从理赔的角度研究风险对保险人偿付能力的影响。而偿付能力是一个受到多种不确定性因素影响的变量。在风险理论中，偿付能力被看作是一个随机过程。
破产理论的研究可以上溯至瑞典精算师F.Lundberg于1903年发表的博士论文[1]，至今已有百余年的历史。对破产理论的研究既有实际的应用背景，也有其概率论上的兴趣。事实上，一类最重要的随机过程，Poisson过程，正是Lundberg首次在这篇论文中提出来的。不过，Lundberg的工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以H.Cramer为首的瑞典Stockholm学派完成的。Cramer将Lundberg的工作重新建立在坚实的数学基础之上[2-5]。在这个过程中，Cramer发展了严格的随机过程理论。Lundberg与Cramer的工作被认为是经典破产理论的基本定理。
一、Lundberg-Cramer经典破产理论(1903-1955)
这里将对经典破产理论作一个较为细致的回顾，给出Lundberg-Cramer经典模型的确切表述、有关假定与主要结果。
(一)Lundberg-Cramer经典风险模型
设u为保险公司初始资本，c是单位时间征收的保险费，
表示第k次索赔额，N(t)表示至时刻t为止发生的索赔次数，则公司在时刻t的盈余(surplus)为
简称ψ(u)为破产概率(ruin probability)。显然，破产概率可作为评价保险公司偿付能力的一个重要数量指标。Lundberg-Cramer的结果可直观地表述为：当初始准备金u充分大，保险公司在经营“小额索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的。下述假设给出“小额索赔”的确切含义：
假设3(调节系数存在唯一性) 个体索赔额(individual claim)的矩母函数
至少在包含原点的某个邻域内存在，并且方程
(6)式称为Lundberg不等式，(7)称为Lundberg-Cramer逼近。从(5)式看到：Lundberg-Cramer经典模型中，当初始盈余为0时，破产概率仅依赖于相对安全负荷θ，而与个体索赔额分布无关。此外，(6)、(7)式表明：若初始盈余很大，保险公司在经营“小额索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的[5]。
(二)Stockholm学派的形成
Stockholm学派的领导人物是H.Cramer，他在完善Lundberg工作的过程中发挥了重要作用，正是从这一研究出发，他对概率论和数理统计的发展作出了重要的贡献。他在二战后发表的著作[3]]现在是公认的数理统计学经典。在1976年发表的回忆录中，Cramer解释了他首先对保险问题感兴趣的原因[7]：“当我年轻时，一位瑞典数学家若要获得一份足以支撑家庭的工作，很自然会到保险界求职，这是因为瑞典保险公司具有雇佣高素质数学家作为精算师的传统。”正是由于瑞典保险公司的提议，1929年秋，在Stockholm大学首次设立了“精算数学与数理统计”教授职位，Cramer被聘为这一职位的第1任教授。这便是Stockholm学派的肇始。由此可见，Cramer兴趣的形成和瑞典保险公司对精算学的重视与扶持有关。到了1955年，即Cramer的综述性文章[5]发表的时候，Stockholm学派已将风险理论置于一个坚实的数学基础之上，并为精算师处理绝大多数实际的保险问题提供了主要的分析工具。
二、研究方法的改进(Feller和Gerber)
之后破产理论研究中最令人瞩目的是方法的改进。Cramer的证明[5]虽然在数学上是严格的，但分析方法较为繁冗。Feller的更新论证和Gerber的鞅方法分别给了(5)至(7)式以简洁的证明[8-10]。由于这2种证明方法具有代表性，更新论证技巧和鞅方法证明技巧已成为研究经典破产理论的主要数学工具。近期大量文献所研究的模型虽较经典风险模型有不同程度的推广，但所使用的方法基本上不外乎以上2种，这2种方法业已成为当代研究破产理论的主要途径。
(一)更新方法
积分方程
三、Gerber及其合作者研究工作
继Cramer之后，Hans.U.Gerber成为当代风险理论研究领域的领军人物。Gerber不仅将鞅方法引入到破产理论的研究中，而且深化了经典破产理论的研究内容。他在20多年前写的一书[8，已成为这一领域的经典著作。正如J.Grandell在为他的专著[9]所写的序言中所指出的：“Anyone with a knowledge of risk theory corresponding to Gerber's book is here regurded as an actuary.”
下面简要介绍Gerber及其合作者近期在破产理论研究中所取得的成果。
(一)索赔总额过程的推广
关于带扩散扰动项的复合Poisson过程较详细的介绍可参见Dufresne和Gerber在文献[13]中的讨论。
(二)经典破产理论研究内容的扩展与深入
(一)节介绍的是经典破产模型的推广，这里将对经典风险模型研究内容的扩展与深入再作一点介绍。
本节中盈余过程模型和有关假定如一(一)节中所述。
(1)有限时间内破产概率
四、对重尾分布的关注
经典模型研究的是“小额索赔”情形的破产理论，一个很强的约束条件是要求调节系数存在。如果调节系数不存在，那么更新论证和鞅方法都不再有效。对于“大额索赔”的情形(例如火险、风暴险与洪水险等灾难性保险)，确切地说，对于索赔额服从重尾分布(如亚指数分布)的情形，有关破产理论的研究必须找到新的数学工具。Embrechts和Veraverbeke研究了更新模型的破产概率问题，并且得到了在重尾索赔额情形破产概率的一个尾等价公式，这个结果可以看作是对Lundberg-Cramer模型相应结果的拓广。顺便指出，在索赔额服从重尾分布的情况下，对于延迟更新过程，Embrechts-Veraverbeke的尾概率渐近等价公式仍然成立。P.Embrechts与C.Kluppelberg等[17-19]在这方面开展了较为系统的研究。
2002年，唐启鹤[20]研究了重尾索赔下关于破产概率的一个等价式。
2003年，孔繁超等[21]研究了更新风险模型和延迟更新风险模型中的破产概率，在假定个体索赔分布是重尾的前提下，得到了与经典模型相一致的破产概率的一个尾等价关系。
2004年，江涛等[22]研究了平稳更新模型下生存概率的一个局部等价式，将唐启鹤在索赔额为重尾分布场合建立的关于Cramer-Lundberg模型生存概率的局部等价公式推广到平稳更新场合。
2004年，王汉兴等[23]研究了马氏风险模型。通过引入广更新方法，对于无论个体索赔额分布是尾指数分布还是重尾分布的情形，均给出了破产概率收敛速度的估计。
2006年，龚日朝等[24]研究了重尾索赔下更新风险模型生存概率局部估计解，得到了延迟更新模型生存概率局部解的渐近估计。王超等[25]研究并给出了带随机重延迟的大额索赔更新风险模型的局部破产概率的渐近表达式。
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