近年来，解析几何解答题往往在最后两题出现，是高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点，能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。解析几何的主要特征是“算”，考生如果对运算方法运用不当，面临繁杂的运算将无从下手，最终只能望运算而兴叹，以失败告终。
本文举例说明高考中解析几何简化运算量的一些常用策略，以飨读者。
一、追根溯源，回归定义
例1：（2014年高考新课标全国卷Ⅱ理科20题）
设F1、F2分别是椭圆C： ＋ =1（a>b>0）的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。
（1）若直线MN的斜率为 ，求C的离心率。
（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a、b。
分析：抓住△MF1F2是焦点三角形，可利用定义得△MF1F2三边的比值快速求解。
解析：（1）|F1F2|=2c，|MF2|=2c× = c，则|MF1|= c，由此可得离心率e== 。
（2）略。
评析：圆锥曲线的定义是圆锥曲线的本质属性。一般地，与焦点有关的问题，常借助定义予以求解，这样运算量较小，问题可轻松获解。
二、设而不求，欲擒故纵
例2：（2015年高考新课标全国卷Ⅱ理科20题）
已知椭圆C：9x2+y2=m2（m>0），直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A、B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。
（2）若l过点（ ，m）,延长线段OM与C交于点 P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
分析：选择合适的变量来表示直线OM的斜率与l的斜率的乘积是关键。
解析：（1）设直线l的方程为y=kx+t（k≠0，t≠0），代入9x2+y2=m2，得（9+k2）x2+2ktx+t-m2=0。
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=- ，y1+y2=k（x1+x2）+2t= 。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
所以kAB·kOM=k· =k· =-9。（定值）
（Ⅱ）略。
评析：设而不求，利用韦达定理整体代换可避免冗长的运算，这是直线与圆锥曲线位置关系问题常用处理办法。
三、引入参数，化繁为简
例3：（2016年高考全国卷Ⅰ理科20题）
设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C、D两点，过B作AC的平行线交AD于点E。
（1）证明EA+EB为定值，并写出点E的轨迹方程。
（2）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M、N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P、Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围。
分析：（2）常规做法是设直线l的斜率k，把|MN|和|PQ|用k来表示,从而把四边形MPNQ的面积表示成关于k的函数,思路很直,但因运算量大让考生难于完成。其实若能注意到MN为椭圆的焦点弦,设∠MBA=θ,则可简化运算。
解析:（1）略。
（2）设∠MBA=θ〔θ∈（0，π）〕,则在△MAB中，|MA|2=|MB|2+|AB|2-2|MB|·|AB|·cosθ。结合|MA|+|MB|=4可得|MB|= 。同理可得|NB|= ，从而|MN|=。
此时,直线PQ的倾斜角为 π-θ,方程为xcosθ=ysinθ+cosθ,|PQ|=4 4-cos2θ,所以S四边形PNQ= |MN|·|PQ|= ，所以四边形的取值范围是[12，8 3）。
评析:解析几何的计算常涉及一个参数或多个参数的运算。根据几何图形的特征,选择合适的参数,可使解题简捷巧妙。
四、先猜后证，绝处逢生
例4：（2009年高考山东卷理科22题）
设椭圆E: ＋ ＝1（a,b>0）过M（2， 2）、N( 6,1）两点，O为坐标原点。
（1）求椭圆E的方程。
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由。
分析：（2）中若不先探究出圆的方程，解题就会因为复杂的几何图形和多个参数导致运算繁琐根本无法进行。若用特殊位置先探究出圆的方程，则问题简单了许多。
解析：（1）略。
（2）若满足条件的圆存在，设方程为x2+y2=r2，当圆的切线方程为x=r与椭圆E的两个交点A、B，因为OA⊥OB，所以A（r,r）,代入 ＋ =1得r2= ，从而知若该圆存在，则圆的方程为x2+y2= 。确定出圆的方程,证明就简单了许多,此处从略。
评析：对于一些具有“一般性”特征的试题，即“动态元素对任意情况都成立”，或“变量间存在某种相关性与一致性”的试题，可以先猜后证，利用“特殊与一般的思想”予以求解，问题可轻松解决。
论文作者:齐淑青 王志胜
论文发表刊物:《素质教育》2019年1月总第294期
论文发表时间:2018/11/21
标签：直线论文; 方程论文; 斜率论文; 解析几何论文; 椭圆论文; 运算量论文; 圆锥曲线论文; 《素质教育》2019年1月总第294期论文;