基于TFNCD算子的三角模糊数多属性群决策

江登英, 张徐军

(武汉理工大学理学院, 湖北 武汉 430070)

摘 要: 针对属性权重和专家权重全部未知的三角模糊数(triangular fuzzy number,TFN)多属性群决策问题,在TFN熵的基础上构造了确信度指标来量化对决策信息的信任程度,构建了TFN确信度(TFN certitude degree,TFNCD)算子,并证明了其置换不变性、幂等性和有界性等性质,结合支持度确定专家权重,提出了基于TFNCD算子的属性信息集结新方法。最后,通过算例的对比分析验证了TFNCD算子及其集结方法的有效性,该方法充分考虑了TFN类型的数据特征和两种权重完全未知的情况,且属性信息集结更加客观高效,计算相对简便,为TFN多属性决策问题提供了新的信息集结方式和解决思路。

关键词: 三角模糊数; 三角模糊数确信度算子; 多属性群决策; 属性权重; 专家权重

0 引 言

自1965年Zadeh^[1]提出模糊集理论以来,国内外学者在模糊集方面做了深入的研究,并取得了重要的成果。Atanassov^[2]在模糊集理论基础上,提出了直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set,IFS)理论。1989年Atanassov^[3]进一步推广IFS,提出了区间直觉模糊集(interval IFS,IIFS)等相关概念。刘峰等^[4]又将IFS做了进一步拓展,提出了三角模糊数(triangular fuzzy number,TFN)形式。TFN作为多属性决策中的一类模糊信息,国内外众多学者也对其进行了许多研究,并取得了一定成果。文献[5]引入多维信任属性反映信任关系的复杂性,利用熵权测度的模糊层次分析法计算属性权重向量。文献[6]融合隶属度、非隶属度和犹豫度3方面信息,运用改进的模糊熵计算决策属性的权重值,以此来提高决策权重分配的客观性。文献[7]为减少主观因素在决策过程中的随机性,使用香农熵理论确定属性权重,结合综合证据理论确定专家权重。文献[8]提出多时刻融合IFS排序模型,依据属性的主、客观权重得到综合权重。文献[9]建立了基于不精确区间值三角模糊的多属性偏好模型,采用区间层次分析法对偏好模型和属性权重进行评分。文献[10]针对属性权重完全未知的TFN型多属性决策问题,采用属性值离差最大法确定属性权重。文献[11]通过分析每个决策者的选择相对接近度和偏好偏差度,利用两个线性规划模型得到各方案属性权重和权重偏好。文献[12]在未知的模糊理想情况下,基于线性规划的多维偏好分析,建立了数学规划模型来确定最佳属性权重。文献[13]提出新的综合利用理想解(TOPSIS(technique for order preference by similarity to an ideal solution))相似的相对贴近度排序技术,采用多目标模糊规划模型确定属性权重。文献[14]利用香农函数研究了TFN之间熵的数量关系。文献[15]在层次分析法的基础上,结合信息熵确定属性的客观权重,进而通过定性与定量的相互结合计算最终综合权重。文献[16]在现有的TFN相似度比较方法的基础上,提出了新的相似度计算方法——基于三角模糊数形状的不同区域和中点(shape’s indifferent area and midpoint,SIAM)。文献[17]为了确定属性权重,建立了对目标的直觉模糊规划模型,通过将模型转化为线性规划并求解。文献[18]提出了新的距离测度的方法,根据相对接近度,通过熵度量获取属性权重。文献[19]基于最大偏差建立优化模型,通过求解非线性优化确定属性权重。文献[20]利用加权Minkowski定义信息熵客观确定属性权重,而专家权重根据IFS的投票模型来计算。文献[21]对属性权重信息不完整且专家权重未知的情况,构建多目标规划,并转化为单一目标规划来求解。文献[22]提出了新的基于分组归一化投影测度的方法,据此判别与理想解的相似度。文献[23]为了消除不确定性和模糊多属性群决策方法的局限性,提出了基于TOPSIS和蒙特卡罗模拟三角数据的概率方法。文献[24]研究了TFN在熵函数框架下熵的数量关系,为TFN的模糊性判别提供了思路。

现有文献对TFN多属性群决策问题的解决方法与模型大多沿用直觉模糊多属性群决策和区间直觉模糊多属性群决策已有方法,没有考虑到TFN型数据的特征;且集结方式为已知属性权重或专家权重的一种,没有考虑两种权重完全未知的情况。针对TFN类型的数据特征和两种权重完全未知的情况,在文献[24]的基础上,基于熵函数框架下TFN熵的数量关系构建确信度指标来量化信任程度,进而构建TFN确信度(TFN certitude degree,TFNCD)算子,并结合支持度确定专家权重,提出了TFN多属性决策问题的集结新方法,最后通过实证分析验证了该方法的有效性。

1 预备知识

1.1 TFN 相关概念

定义 1 ^[25] TFN。若α =(a ,b ,c ),其中0<a ≤b ≤c ,称α 为一个TFN,隶属函数为

(1)

式中,a 、c 分别为TFN下确界和上确界,b 为TFN最有可能的取值。

定义 2 ^[10] TFN运算法则。若任意两个TFNα =(a ₁,b ₁,c ₁),β =(a ₂,b ₂,c ₂),规定其运算法则为

(2)

可见,上述所有运算的结果仍为TFN。

定义 3 ^[26] TFN期望和方差。若任意两个TFNα =(a ₁,b ₁,c ₁),β =(a ₂,b ₂,c ₂),定义期望值为

改革开放是一项长期的、艰巨的、繁重的事业，必须一代又一代人接力干下去。今年是改革开放40周年，纪念改革开放必须不断总结历史经验，为继续改革开放提供前进的信心、动力与方向。以习近平同志为核心的党中央，以全新的视野深化了对共产党执政规律、社会主义建设规律、人类社会发展规律的认识，特别是对改革开放以来的历史经验进行了不断总结和深化，从而创立了习近平新时代中国特色社会主义思想。当前，深入学习领会习近平同志关于改革开放历史经验的重要论述，对深化理解习近平新时代中国特色社会主义思想，推动扩大改革开放，实现中华民族伟大复兴的中国梦具有极其重要的现实意义。

(3)

定义方差为

(4)

那么对于任意两个TFN,有

2018年，《草原与草坪》承蒙以下审稿专家认真审阅稿件，付出辛勤工作，使刊物的学术质量和影响力又上了一个新台阶。在此，编辑部向为我刊审理稿件的专家致以诚挚的谢意，感谢您愿意挤出宝贵的时间，对我们的稿件给予悉心指导! 祝各位审稿专家在新的一年里身体安康，万事如意！

(1) 若m (α )<m (β ),那么α <β ;

定义 5 ^[28] TFN的熵。熵函数定义为

①σ ²(α )<σ ²(β ),那么α >β ;

从表2中也不难看出，在各段肋骨的骨折中，影像与临床诊断符合率很高，已达到了96.6%。对于发生于分段交界区与临床诊断不符合的骨折，可以利用CT的VR、SSD等重建或体表放置标志物扫描等方法来确定。对于细微骨折、骨挫伤和肋软骨的不典型骨折，可以通过CT薄层、MPR、CPR、VR和软骨成像等多方法、多角度观看，以及多位医生综合分析。对于影像仍不能确定而临床又高度怀疑的骨折，建议在4～5周[11]再行CT复查，此时肋骨内外骨痂最多，检出率最高。

②σ ²(α )=σ ²(β ),那么α =β 。

定义 4 ^[27] TFN距离和支持度。若任意两个TFNα =(a ₁,b ₁,c ₁),β =(a ₂,b ₂,c ₂),则α 、β 之间的距离为

(5)

α 、β 之间的支持度为

sup(α ,β )=1-d (α ,β )

(6)

显然两个TFN距离越近,则支持度越大。

(2) 若m (α )=m (β ),则

如图4所示，协议的具体执行过程如下：首先，Alice（Bob）利用私钥提取出与交易TA（TB））相关的一次性随机数tA（tB）。然后，Alice（Bob）在链上获取 Bob（Alice）的交易签名对 (TB,σTB)（(TA,σTA)）。Alice（Bob）选取随机数 wA∈Zq（wB∈Zq），计算 WA（WB）以及 wA（ wB）的零知识证明 ZKP(wA)（ZKP(wB)）并发送给对 方 。 Alice（Bob）通 过 ZKP(wB)（ZKP(wA)）验证随机数 wB（wA）的真实性并计算会话密钥κ。

h (x )=4x (1-x )

(7)

定理 4 有界性。设α _i =(a _i ,b _i ,c _i )为一组正的TFN,则有

假设为定义在集合U 上的非空模糊集,x 在模糊集上的映射为那么的熵为

(8)

式中,p (x )为概率密度函数;熵反应了模糊集的模糊程度,熵值越大,所包含信息越模糊。

对TFNα =(a ,b ,c ),得熵函数为

(9)

假定p (x )=s ,s 为常量,则TFNα 的熵为

随着社会经济的发展，人们的生活水平得到了有效的提高，饮食结构的改变，也提高了肺癌的发病率，对人们的生命健康造成了极大的威胁。肺癌是一种原发于呼吸道支气管粘膜上皮的恶性肿瘤，有研究显示，中年男性为发病的高危群体，但是近些年来，女性的发病率和死亡率也出现了逐年升高的态势[1]。目前，临床上主要以临床治疗为主，旨在延长患者的生存时间，并改善患者的生活质量。本次研究中则对检测CA199、CA125、CA153及CEA等指标在肿瘤诊断中的意义进行了更加深入的研究，具体如下。

(10)

即

(11)

1.2 TFNCD 算子

为了将熵函数表示的TFN模糊性转化为容易理解的正关系数值,构造新的指标——确信度,即当确信度越低时,信息集结过程对应的权重配比也越低。反之,当确信度越高时,信息越有价值,权重配比也越高。

设α _i =(a _i ,b _i ,c _i )(i =1,2,…,n )为一组正的TFN,H (α _i )为α _i 的熵,称T (α _i )为α _i 的确信度,即

(12)

解析：BaCl2溶液与K2CO3反应生成碳酸钡沉淀,而BaCl2溶液与KHCO3不反应,A项错误;氢氧化钙与K2CO3和KHCO3都能反应生成碳酸钡沉淀,不能够用澄清的石灰水来进行鉴别,B项正确;KHCO3与盐酸反应速率快,同浓度的稀盐酸能用氢氧化钙来鉴别K2CO3和KHCO3,C项错误;KHCO3加热生成二氧化碳,分别加热这两种固体物质,能鉴别K2CO3和KHCO3,D项错误。

定义 6 TFN确信度算子。设α _i =(a _i ,b _i ,c _i )(i =1,2,…,n )为一组正的TFN集合,则TFNCD算子定义为

可见,α _i 的熵越小,信息模糊程度越低,则确信度越高。

TFNCD(α ₁,α ₂,…,α _n )=

(13)

式中,T (α _i )为α _i 的确信度,T (α _i )∈[0,1]。

定理 1 算子集结后仍然是TFN。设α _i =(a _i ,b _i ,c _i )(i =1,2,…,n )为一组正的TFN集合,则

TFNCD(α ₁,α ₂,…,α _n )=(a ,b ,c )

(14)

式中

(15)

式中

当则TFNCD(α ₁,α ₂,…,α _n )=α ₁=(a ,b ,c ),即式(14)成立。

假设当n =k 时,式(14)成立,那么当n =k +1时

在课堂上要教学生职场需要的实用英语，我专门针对外贸商务信函进行教学，比如：建立商务关系，请求担任独家代理，与过去有贸易关系的公司联系，确认会面时间，确认订单，向老客户推荐新产品，通知客户价格发生变化，说明价格变更的原因，回复感谢信，应对客户投诉等业务交流中需要的英语应用文。

TFNCD(α ₁,α ₂,…,α _n ,α _n+1 )=

(16)

式中

(17)

(18)

(19)

因此,当n =k +1时,式(14)仍然成立。

证毕

可证TFNCD算子具有如下好的性质。

地震解释者应该决定哪个模型最具地质合理性。Grad等（2003）也提供了一个模拟主观性的很好例子，其中使用不同的模拟软件（SEIS83与RAYINVR）得出了截然不同的地壳模型。

定理 2 置换不变性。设(α ₁,α ₂,…,α _n )为一组正的为其中任意一个置换,则有TFNCD(α ₁,

证明 由于

(20)

因此,定理2得证。

上述两种方案基本思路上有相似之处，但具体实现上存在差异，从技术角度看都可以实现。SPN方案是强L2，L3 OTN方案是强L1。FlexE如能尽快成熟，则SPN将增加优势，目前国内主流厂家在SPN上投入的研发力量较大，且已经开始测试， PTN系统向SPN发展的方向已经逐步明朗。

证毕

定理 3 幂等性。设b ,c ),则对所有的α _i (i =1,2,…,n )有TFNCD(α ₁,α ₂,…,α _n )=

证明 由于

因此,TFNCD算子具有幂等性。

证毕

式中,h (x ):[0,1]→[0,1],在上为增函数,在上为减函数。

α ^-≤TFNCD(α ₁,α ₂,…,α _n )≤α ⁺

证明

(21)

证明 由定理3得

价值性是指知识链拥有的知识资源能够降低成本或提高知识链的收益，知识资源可以为知识链赚取“李嘉图租金”和“张伯伦租金”。前者是由于降低了边际生产成本而获得的收益，后者是利用规模经济和高额的转移成本建立的高进入壁垒；知识链通过知识整合和知识创新，还可以创造出“熊彼特租金”，即通过在一个不确定性很高或者非常复杂的环境中，承担风险和形成独创性的洞察力来获得基于创新的租金[13]。

(22)

因此,α ^-≤TFNCD(α ₁,α ₂,…,α _n )≤α ⁺,即TFNCD算子具有有界性。

证毕

2 基于TFNCD 算子的多属性群决策方法

为了解决属性权重和专家权重全部未知的TFN多属性群决策问题,下面结合支持度确定专家权重,建立了基于TFNCD算子的多属性信息集结新方法。

三是主从分明。通俗讲就是水管原理。主水管的口径大于支水管，支水管的口径大于毛管。同样道理，苹果树上的中央领导干必须具备绝对优势，要直而壮，粗度要大于同部位主枝粗度的3倍以上；同理，主枝粗度要大于同部位侧枝的4倍以上。换句话说，就是主枝粗度超过同部位主干粗度1/3、侧枝粗度超过同部位主枝粗度1/4的，冬剪时要锯（剪）除。只有这样，树势才会均衡，树形才不会紊乱。

假设现有n 个评价属性G ₁,G ₂,…,G _n ;t 个参与决策的专家个体E ¹,E ²,…,E ^t ;m 个备选方案A ₁,A ₂,…,A _m 。假定决策专家E ^k 对备选方案A _i 针对评价属性G _j 的决策值为则决策专家E ^k (k =1,2,…,t )的TFN决策矩阵为

式中，再根据TFN之间的支持度式(6),计算决策专家两两间的支持度矩阵(以决策专家E ^k₁ ,E ^k₂ 为例)为

(23)

具体计算步骤如下:

步骤 1 根据式(11)求解全部t 个专家决策矩阵X ^k 对应的熵矩阵H ^k ,其中则决策者E ^k 的熵矩阵为

(24)

然后,根据式(12)计算出决策专家E ^k 的确信度矩阵为

(25)

式中,确信度越大,反映出信息模糊程度越低,则客观赋予权重越大。

步骤 2 利用定义6的TFNCD算子分别对t 个决策矩阵进行信息集结,得到每个决策专家评价下每个方案的综合评价值。决策者E ^k 的TFNCD算子为

马克思指出，“问题就是公开的、无畏的、左右一切个人的时代声音。问题就是时代的口号，是它表现自己精神状态的最实际的呼声”。习近平总书记也指出，“每个时代总有属于它自己的问题，只要科学地认识、准确地把握、正确地解决这些问题，就能够把我们的社会不断推向前进”。讲好习近平新时代中国特色社会主义思想的课程，要坚持理论联系实际的学风，坚持问题导向，注重解答党员干部思想上的疙瘩。要旗帜鲜明，围绕主业主课，提出好问题、真问题、新问题、深问题，通过分析问题传递正能量，信息观点与时俱进，切中党员干部急需回应的困惑，并启发学员们的深层思考。

TFNCD(α _i1 ,α _i2 ,…,α _in )=

(26)

则决策专家E ^k 的综合评价结果为

(27)

式中

(28)

步骤 3 依据式(5)TFN之间的距离,计算决策专家综合评价结果矩阵X ^k* 两两之间的距离矩阵(以专家E ^k₁ ,E ^k₂ 为例)为

(29)

G ₁G ₂…G _n

sup (X ^k₁* ,X ^k₂* )=

(30)

则决策专家E ^k 的权重为

(31)

步骤 4 利用专家权重分别对各专家综合评价结果进行加权,得各方案综合评价结果为

(32)

式中

(33)

最后依据定义3,基于期望值和方差对方案进行排序,其中，方案A _i 的期望值和方差为

(34)

(35)

3 算例分析

为验证所提出决策方法的可行性,采用文献[29]的实例进行实证分析:干部的考核选拔是一类多属性决策问题,考核指标(决策属性)分为3项:工作态度与工作作风(G ₁),领导能力与开拓能力(G ₂),文化水平和知识结构(G ₃)。参与打分的决策群体共3类:群众代表E ¹,专家代表E ²,学者代表E ³。参与考核的候选人共3位，分别为A ₁、A ₂、A ₃。经由打分统计处理后,专家全体对每个候选人在各指标(决策属性)下的评价值均以TFN的形式给出,专家E ¹的评价结果见表1,其余专家评价结果见文献[29]。

表1 专家 E ¹ 的评价信息
Table 1 Assessment Information of the expert E ¹

则得专家E ¹的决策矩阵X ¹为

利用提出的基于TFNCD算子的多属性信息集结新方法加以决策,具体计算步骤如下:

步骤 1 计算3位决策专家的熵矩阵和确信度矩阵,以决策者E ¹为例,熵矩阵H ¹和确信度矩阵T ¹分别为

应用SPSS 18.0 统计学软件分析数据，计量资料以表示，用t检验，计数资料以%表示，采用χ2检验，P<0.05为有统计学意义。

(37)

步骤 2 利用TFNCD算子分别对3个决策矩阵进行信息集结,得到每个决策者评价下各方案的综合评价值如下,以决策者E ¹为例,即

(38)

步骤 3 分别计算各决策专家综合评价矩阵两两之间的距离矩阵和支持度矩阵为

(39)

(40)

然后根据式(31)计算各决策专家权重,其结果如表2所示。

表2 决策者权重
Table 2 Weights of the decision-makers

步骤 4 利用决策专家权重对各专家的综合评价结果加权,每个方案的综合评价结果为

(41)

最后根据式(34)和式(35)的期望值和方差对方案进行排序,各方案的期望值和方差分别如表3所示。

表3 各方案的期望值和方差
Table 3 Expectation and variance of each project

从表3可以看出,期望值m ₂>m ₁>m ₃,方差因此方案优劣排序为A ₂>A ₁>A ₃,其中最优方案为A ₂。

为了进一步证实所提出方法的有效性和实际借鉴意义,采用上述方法对文献[30-31]的案例加以排序择优,其中文献[30]为镇江至昆山段铁路线路方案综合评价,文献[31]为某公司人力资源部门对应聘人员的综合评价。所有结果如表4所示。

表4 案例结果对比
Table 4 Comparison of example results

从表4可以看出，对比文献[29],所提方法得到的排序结果与原文献一致,最优方案都是A ₂;对比文献[30],所提方法排序结果与原文献方案相同,A ₁是最优方案,该结论与泸宁城际铁路可行性研究报告专家评审意见一致;对比文献[31],所提方法排序结果与原文献基本一致,最优方案都是A ₄,最劣方案都是A ₂,其中A ₃和A ₅排序不同是由于原参考文献专家权重已知,为主观确定,而文中专家权重基于专家个体间的支持度而定,属于客观确定。

与原文献相比,在择优结果相同的情况下,所提出的TFNCD算子对于信息的集结有以下优点:①集结过程全部基于客观的决策信息,无任何主观偏好;②属性集结过程中,无需考虑各专家之间的联系,降低了运算复杂度;③属性的集结无需统一的属性权重,各决策专家的决策矩阵可以分块集结,适合大规模数据的决策类型。

4 结 论

关于TFN多属性决策问题,目前大多是基于专家决策与理想决策之间的关系建立相似度来确定权重。首先在TFN熵的基础上构建了确信度指标来量化对信息的信任程度,建立了TFNCD算子,并证明了该算子的置换不变性、幂等性和有界性等;然后将TFNCD算子结合支持度应用到TFN多属性决策问题中;最后通过3个算例验证了该算子及所提出新方法的有效性。对比传统已有的方法,该方法充分考虑了TFN类型的数据特征和两种权重完全未知的情况,且不需要给出任何主观偏好,完全依据客观评价集结信息。属性集结过程中属性权重计算完全基于专家个体评价情况,依据的是所给信息的价值程度。确信度越高,打分给出的信息越精确,则判定此信息价值度越高,属性集结过程权重配比越大。所提方法并没有固定一致的总体属性权重,因此各专家的属性信息集结更加独立、客观。属性集结过程不需要考虑专家之间的联系,使得信息集结更加高效,计算量及复杂度大大降低。基于支持度的专家权重配比考虑了专家间的内在联系,使得决策更加科学可靠。因此所提出的TFNCD算子为TFN多属性决策问题的解决提供了新的信息集结方式和思路。

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Multi -attribute group decision -making method with triangular fuzzy numbers based on the TFNCD operator

JIANG Dengying, ZHANG Xujun

(School of Science ,Wuhan University of Technology ,Wuhan 430070 ,China )

Abstract : With regarding to the multi-attribute group decision-making problem of the triangular fuzzy number (TFN) with the attribute weights and experts weights being unknown, the confidence index is constructed based on the TFN entropy to quantify the degree of certitude to the decision information, and the TFN certitude degree (TFNCD) operator is introduced and its properties, such as the invariance of displacement transformation, the idempotence and the boundedness are proved. And the expert weights are determined combined with the degree of support. Finally, a method of attribute information aggregation is proposed, and the effectiveness of the TFNCD operator and the aggregated approach are verified by the empirical analysis. Moreover, the approach is built on the independence of experts, where the data features of the TFNs and the completely unknown weights of attributes and experts are fully considered, resulting in the objectivity and high efficiency in the information aggregation with relatively reduced computation. Therefore, it provides an information aggregation mode and solution to the multi-attribute group decision-making problem with TFN.

Keywords : triangular fuzzy number (TFN); TFN certitude degree (TFNCD) operator; multi-attribute decision-making; attribute weights; experts weights

收稿日期: 2018-11-15;修回日期: 2019-01-09;网络优先出版日期: 2019-04-17。

网络优先出版地址: http:∥kns.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20190417.1707.024.html

基金项目: 中央高校基本科研业务费专项资金(2017IB014);教育部人文社会科学研究青年基金(13YJCZH060)资助课题

中图分类号: C 93

文献标志码: A

DOI :10.3969/j.issn.1001-506X.2019.09.20

作者简介：

江登英 (1976-),女,教授,博士,主要研究方向为复杂决策分析。

E-mail:jdy@whut.edu.cn

张徐军 (1992-),男,硕士研究生,主要研究方向为直觉模糊多属性群决策。

E-mail:675689372@qq.com

标签：三角模糊数论文;  三角模糊数确信度算子论文;  多属性群决策论文;  属性权重论文;  专家权重论文;  武汉理工大学理学院论文;