渗透模型思想的误区、目标定位和教学策略，本文主要内容关键词为：误区论文,模型论文,目标论文,教学策略论文,思想论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
模型思想是课程标准（2011年版）新增的一个核心概念，也是少数几个未给出定义的概念之一.之所以没有给出定义，原因无非两个方面：一是学术界对它的解读还不统一；一是在义务教育阶段，特别是在小学阶段如何体会模型思想是一个崭新的课题，尚无更多的经验可以借鉴. 由于课程标准（2011年版）对“何为模型思想”并未明确加以界定，加上人们对于“数学模型”的多样解读，导致认识上存在着一些误区，实践中盲人摸象、“自说自话”的现象比较普遍. 一、小学数学渗透模型思想的误区 当前，小学阶段对模型思想的理解主要存在两大误区. 1.过于宽泛的理解——教学即建模 持这种观点的教师，大多从广义的角度理解数学模型，把小学数学中的一切概念、公式、定律、法则、性质、规律、方法等，都看成是“模型思想”中所说的“模型”.并认为只要是教学就是在建模，从而将“数学建模”等同于“日常数学教学”，忽略了二者在本质上的不同. 笔者不赞成在讨论模型思想时沿用数学模型的广义理解，理由有三：第一，模型思想中的“模型”取的是偏狭义的意项，即反映特定问题的数学结构，如等式、不等式及其组合等.第二，把小学阶段所有的数学知识都看成是一个个数学模型，都按照所谓的数学建模的方法去教学，不符合实际，没有必要，也不可能.第三，不同的知识有不同的教法，数学概念怎么教，公式、法则、定律等怎么教，长期以来有相对固定的方法.放弃现成的方法不用，改换门庭或者仅仅是变换一个说法，贴上“数学建模”的标签，这样做不但体现不出概念教学应有的特点，体现不出公式、法则、定律等教学固有的规律，也彰显不了数学建模的真正魅力.事实上，如果将数学的一切都归结为模型，那么整个数学就是一门关于模型的科学，也就失去了专门研究数学模型的必要. 2.过于悲观的立场——小学无建模 持这种观点的教师，往往是从纯狭义的角度理解数学模型，把数学建模看得高深莫测，认为只有高中生、大学生才能够完成，而小学生年龄小、知识少、能力弱，“蚍蜉”撼动不了“大树”. 诚然，大学生解决那些来自于社会生活、工程技术和经济管理等方面的实际应用问题，确实需要用到较多较深的数学知识和具备较强的数学能力.但是，持悲观立场的教师忽略了一个重要事实，那就是实际问题有大小、难易之别，小学生虽然解决不了上述“高大上”的问题，但在教师的启发、引导下完全可以解决一些最基本的实际问题. 上述两个误区，正好是两个极端.反思误区存在的原因，表面上看，是因为对数学模型的理解角度不同而造成的.实际上，是对小学数学渗透模型思想的教学目标定位不准. 二、小学数学渗透模型思想的目标定位 要准确定位小学数学渗透模型思想的教学目标，首先要确立这样一个观念：帮助学生形成模型思想不是一朝一夕的，它是数学教育的一项长期任务，贯穿小学、初中、高中、大学各个阶段.阶段不同，任务不同，侧重点也不同.为了使接下来的分析尽可能贴近课程标准（2011年版），下面援引其中的相关表述，并逐一进行剖析. “模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径.建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义.这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识.” 这段阐述包含三层意思：第一层意思是讲“模型思想建立”的意义何在.第二层意思粗略地解释了“数学模型建立和求解的过程”，表明模型思想的核心在于“建模”.从文字表述不难看出：课程标准（2011年版）所指的“数学模型”，取的是其狭义的意项，点明了“数学模型”特指“表示数量关系和变化规律”的“方程、不等式、函数等”.第三层意思，描述了义务教育阶段学生经历建立和求解模型的作用，只是“有助于”学生“初步”形成模型思想，还不是真正建立模型思想，更没有要求学生“学会建模”或“形成建模能力”等. 课程标准（2011年版）在第一学段和第二学段的“学段目标”中，并未提出明确要求，但在第三学段（7～9年级）“数学思考”学段目标中，明确提出了“体会模型思想”的要求：“通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识.”这一要求表述与“模型思想”的阐述是前后一致、彼此呼应的，并再次点明第三学段的“数学模型”特指“表述数量关系的代数式、方程、不等式、函数等”. 从上述分析可以看出，课程标准（2011年版）对义务教育各阶段模型思想的目标定位，其实是非常清楚的、恰当的，也是审慎的.它甚至没有给小学阶段“提要求”，在第三学段也只是“体会模型的思想”而已.因此，小学阶段大可不必自我加压，过分拔高要求.比如，有的文章对小学低年级学生大谈模型思想，有的地方要求小学高年级学生“学会建模”等等，都是不恰当的. 如果我们用植物的生长过程来比喻模型思想的形成过程，小学阶段无疑只是准备土壤、埋入种子、等待萌芽的阶段，尚需经历初中的生根，高中的壮大，方可在大学阶段开花、结果. 当然，课程标准（2011年版）对小学阶段“没提要求”，不代表小学阶段就可以无所事事，白白浪费相机渗透从而引导学生体会、感悟模型思想的机会.但总的来说，其目标定位应当比初中低，且必须符合小学阶段数学内容的特点（学习最基本的概念、公式、法则等）和小学生的认知水平（以形象思维为主，抽象与概括的能力正在初步形成之中）.其重点不应当是很正式地或者说很严谨地“体会”模型的思想，更不是“学会建模”，而是在概念、公式、法则等数学知识的学习过程中，潜移默化地接受从实际问题或从诸多实例中抽象、概括出“数学知识”（广义的模型）的熏陶.当然，狭义的模型也有，那就是要借助这些典型的例子，使学生充分经历建立数学模型的过程，认识“模型”的存在，并在运用模型解决相关问题的过程中，初步体会建立数学模型的作用，感受数学模型的魅力. 三、小学数学渗透模型思想的教学策略 1.选择合适的建模点 重视模型思想，并不意味着把什么知识都与数学建模扯上联系，更不意味着“天天喊着建模，课课都要体现”，而是要在合适处、关键处“响鼓重槌”，引导学生切实加以体会.实事求是地说，小学阶段狭义的数学模型并不多，它不像中学数学那样有较多的运用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系、刻画变化规律的机会.然而，“物以稀为贵”，数量不多反而越发显得其珍贵，更需要教师好好重视、悉心利用. 以下是从“数量关系”和“变化规律”两个角度，梳理出的现行小学数学教材中的主要建模点. “数与代数”部分有： （1）基本数量关系：总价=单价×数量，路程=速度×时间. （2）“相遇问题”：
. （3）“植树问题”：两端都栽，长度÷间隔+1=棵数；两端都不栽，长度÷间隔-1=棵数；一端栽一端不栽（或封闭路线），长度÷间隔=棵数. （4）正比例关系：
（5）反比例关系：
“图形与几何”部分有： （1）连拼连摆问题. 如图1，像这样，摆第n个三角形需要2n+1根小棒.
如图2，像这样，连续摆n个正六边形需要5n+1根小棒.
（2）多边形内角和：n边形的内角和为（n-2）×180°. （3）钉子板上多边形的面积：如果用S表示多边形的面积，用n表示多边形边上的钉子数，用a表示多边形内的钉子数，则S=n÷2+（a-1）. （4）面积最大、表面积最小的规律：当长方形的周长一定，长和宽最接近时，长方形的面积最大；当长方体的棱长总和一定，长、宽、高最接近时，长方体的表面积最小. （5）表面涂色的正方体个数：如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数（如图3），则三面涂色的小正方体个数为8，两面涂色的小正方体个数为（n-2）×12，一面涂色的小正方体个数为
2.充分经历从“境”到“型”的抽象过程 小学阶段的模型建立和求解过程，一般简化为“问题情境—建立模型—求解验证”.其中，从“境”到“型”的过程是模型思想的重点和关键.这一过程要让学生充分经历、体验，教师要多举一些实例，多安排一些“重复但不重样”的活动，引导学生进行反复观察、思考.在此基础上，再引导学生进行抽象、概括，得出相应的数学模型，要防止“从一个例子即得出结论”的做法. 以正比例、反比例的教学为例，苏教版教材将“概念”与“关系式”分开呈现，中间分别增加了一个例子.如正比例的教学，教材先通过“例1：速度一定，路程和时间”的例子，让学生初步感知“两种相关联的量”以及成“正比例关系”的含义，然后通过“试一试：单价一定，总价和数量”的例子，进一步感知正比例关系.在经历两次感知的基础上，再用字母揭示正比例的关系式（模型）.这种做法，比起“用一个例子就揭示关系式（模型）”的做法，有效化解了认知难点，既便于学生理解，模型也更有说服力. 再以苏教版六年级上册“表面涂色的正方体”的教学为例.教材在“揭示规律”前，由易到难安排了三次活动：第一次，将大正方体的每条棱平均分成2份；第二次，将大正方体的每条棱平均分成3份；第三次，将大正方体的每条棱平均分成4份、5份.教材之所以这样安排，目的就是为了让学生有充分的观察、想象、体验的机会，为学生发现规律、用字母建立模型提供足够的经验支持.这一思路，可以说适合所有规律模型的建立. 3.大力培养“提出猜想—验证猜想”的科学精神 对于大学生而言，数学建模是一个复杂的将实际问题抽象、简化，明确变量和参数，然后建立变量和参数间的数学关系，再求解并加以解释和验证的多次迭代的过程.一般来说，从开始“分析实际问题”到其后“作出合理假设”再到最后“完成建模”，其间要经过多次循环反复.到底要反复多少次？主要取决于两个步骤：一是假设是否合理，二是验证能否通过.验证通过，则建模完成；验证通不过，则返回至最初的实际问题，重新开始. 小学阶段的数学模型的建立，虽然过程简化，但基本上也要经历“猜想与验证”的过程.这就是说，小学数学中模型的建立与大学数学中的数学建模，虽然在知识层次、目标定位、方法运用上千差万别，但其“作出合理假设（提出猜想）—验证结果（验证猜想）”的内核是一致的.所以，在小学阶段渗透模型思想最有效、最直接的办法就是大力培养学生“提出猜想—验证猜想”的科学精神.这一精神，既可以在特定的数学模型的建立活动中培养，也可以在日常教学中结合规律、法则、公式的教学进行. 以“植树问题”的教学为例：园林工人在全长1000米的马路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽）.一共要栽多少棵树？面对新问题，学生会猜想：1000÷5=200（棵）.作为教师，首先要肯定学生敢于猜想，紧接着，要鼓励学生进行验证.对于认为自己猜对的学生，要求他们自圆其说：“你怎么证明自己是对的？”对于认为别人猜错的学生，要求他们拿出反驳对方的证据：“你怎么证明别人是错的？”学生个个情绪高涨，他们想到用“画图法”去验证和探究规律：先看看20米可以栽几棵？再看看30米可以栽几棵？……还有的学生在直尺上进行模拟：假设每1厘米栽一棵，3厘米两头都栽，需要栽4棵；5厘米两头都栽，需要栽6棵.通过验证，学生否定了猜想，发现了规律：当两端都栽时，长度÷间隔+1=棵数. 需要特别指出的是：对于小学生提出的猜想，无论正确与否，只要是基于他们的经验，经过认真的思考，而不是胡猜乱说，教师都应该给予积极的正面回应.因为，真正的数学建模和科学研究一样，没有一猜就对、一猜就准的，往往要经历多次失败.而成功的秘诀之一，就是不畏惧失败，敢于再次提出猜想.因此，培养小学生猜想与验证的精神，重点不在于他们猜得有多准，而在于使他们形成“敢于猜想、乐于猜想”的意识，并养成“主动验证、自觉验证”的习惯，这是体会和形成模型思想所必需的. 4.在“用模”中感受价值 知识只有发挥其作用，才能凸显其价值，数学模型也不例外.在小学阶段渗透模型思想，虽然很难向学生说明为什么要建立模型，建立模型的意义是什么，但是，我们可以通过“用模”来让学生真切地体会到模型的作用. 以行程中的“相遇问题”的数量关系模型
为例.它刻画的是两个运动物体相向而行时的规律，利用它可以完美地解决下列问题： 例1：小强和小军住在学校的东西两侧，他们同时从家里出发走向学校，小强每分钟走65米，小军每分钟走70米.经过4分钟，两人在校门口相遇.他们两家相距多少米？ 例2：小强家和小军家相距540米.两人同时从家里出发相向而行，小强每分钟走65米，小军每分钟走70米.几分钟后两人相遇？ 例3：小强家和小军家相距540米.两人同时从家里出发相向而行，小强每分钟走65米，经过4分钟两人相遇.小军每分钟走多少米？ 例4：甲、乙两艘轮船从两个港口相对开出，甲船每小时行42千米，乙船每小时行38千米.由于机器故障，乙船开出1小时后，甲船才开出.又经过3.5小时，两船相遇.两个港口相距多少千米？ 例5：客车和货车同时从两个车站相对开出，客车每小时行120千米，货车每小时行80千米.经过1.5小时，两车还相距140千米.两个车站相距多少千米？ 这些问题，有的是“同时出发”的相遇问题，有的是“不同时出发”的相遇问题，还有的是“相向但未相遇”的实际问题.运用“路程和”模型，不但可以求相距的路程，可以求相遇的时间，而且还可以求某个物体的运动速度.对于像“路程和”这样能广泛应用的数学模型，不但要用，而且要对比起来用，用完之后还要引导学生进行感悟和体会.比如，使学生体会到：题目虽然千变万化，但其中的基本数量关系（即数学模型）总是不变的；掌握了不变的数量关系（数学模型），就能以“不变”应“万变”. 5.在“建模”中体验乐趣 在小学阶段，除了重点结合数量关系和探索规律的教学来渗透模型思想外，能不能开发一些简单的活动，让小学高年级的学生亲身经历一到两次“将现实问题抽象成数学问题并建立数学模型”的过程，从而使学生获得一些初步的体验，积累一些经验？ 对于小学生而言，一个好的建模问题需要具备以下一些特征： （1）问题要有一定的现实意义，并与学生的实际生活相联系. （2）问题要有一定的探索性，能引起学生的探究欲望. （3）问题要便于学生理解，建模所需的数学知识要比较简单. （4）建模的过程或答案要有一定的开放性. 下面，笔者列举实践过的两个例子，供大家参考. 【案例1】确定名次 学校举行冬季跳绳、踢毽子、长跑三项锻炼，全班同学热烈响应.为了提高锻炼效果，班级将举行“全能选手”的评比，办法如下：全班分男生、女生两个组别，各选出5名优秀选手参加班级比赛.根据比赛成绩，先分别确定出“男生三强”和“女生三强”，最后合并成“班级六强”，并确定名次. 这是一个学生身边的好问题，很新很有吸引力.其中包含了三次“确实名次”：先分别确定“男生三强”和“女生三强”，再确定“班级六强”. 解决这个问题，首先需要获取建模信息，即分别测得10位选手的三项运动的成绩.以男生为例（成绩如下表）：
本题的挑战性在于：学生此前只会对某个项目进行单项排序，不会对多个项目进行混合排序.而这正是本题要完成的建模任务.通过思考，学生通常会想到以下两种方法（模型假设）. 方法1：将各项运动成绩分别排序，按名次分别计5分、4分、3分、2分、1分.接着，分别算出各选手的总得分.最后，按“总得分”从高到低排序，确定出“前三强”. 方法2：也要将各项运动成绩分别排序，不过不再给各名次赋予分值，而是用“名次”表示成绩，分别算出各选手的名次和.最后，按“名次和”从小到大排序，确定出“前三强”. 上述两种方法，不排除出现“总得分”或“名次和”并列的情况.如果有，则需对模型作出解释或调整. 【案例2】卷纸的长度 一卷纸（如图4），底面外直径长8厘米，内直径长2厘米.纸卷得很紧，层与层之间没有空隙，单层纸的厚度大约为0.2毫米.如果将这卷纸全部拉开，总长度大约是多少米？（不准拉开测量）
这个问题的挑战性在于：学生凭借已有的解题经验根本无法下手.于是，要解决这个问题，需要提出新的设想.在教师的启发下，学生可能会想到以下方法.
如果对“卷纸问题”进行改变，将“纸”改为“铁皮”，那么还可以增加一种物理方法的数学模型：总长度=总质量÷单位长度的质量×单位长度.即先称出整卷铁皮的总质量，再剪取一定长度的铁皮，称出单位长度的质量，然后用“总质量÷单位长度的质量”求出一共包含多少个单位长度，最后“乘单位长度”算出总长度. 需要特别说明的是：在小学阶段开展建立数学模型活动，目的是为了让学生获得初步的建立数学模型的体验，不是为了体验建立数学模型之“苦”与“难”，吓倒学生；相反，是为了让学生体验建立数学模型之“乐”与“趣”，用“趣味”和“智慧”去吸引学生.而这正是小学建模问题不易设计的根本原因. 总之，小学阶段是模型思想渗透的启蒙阶段.这一阶段，不在于能否看到“立竿见影”的效果，重点在于帮助学生积淀从现实问题中抽象出数学模型的过程性经验，从而为中学数学学习进一步“体会模型思想”打下基础.换用一种诗意的说法：模型思想的花开，虽然不在当下，在未来，但小学阶段需要种下一颗结实、饱满的种子.
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