基于减轻负担、提高效率的数学教学设计与思考--以三角函数评价课教学为例_数学论文

基于减负增效的数学教学设计与思考——以一类三角函数求值问题的教学为例，本文主要内容关键词为：为例论文,函数论文,数学教学论文,求值论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      本文以一类三角函数的求值问题为例，在复习课中改进教学方法，帮助学生不断优化解题方法，统一解决此类问题.对学生在复习课中出现的问题进行反思，在高中数学教学中整体规划解决这类问题教学，在新授课中，优化教学方法，润物细无声地帮助学生逐步掌握解决此类问题的一般方法.达到了减轻学生学习负担，提高教育教学质量的目的.

      一、复习课中的教学设计

      在以往的高三三角函数复习中，笔者选用了如下的题目作为例题，选题的目的是让学生通过配角、凑角的操作，寻找到目标角与已知角之间的关系，灵活地运用两角和与差的正弦公式和二倍公式解决问题.

      

      教学程序如下：

      （1）先让学生独立思考，说出自己的解题思路.

      学生中主要出现了两种思路.

      

      （2）请同学们对自己解题思路进行评估预测，预测具体实施运算的繁简.学生普遍认为思路2的运算量比思路1的运算量小.

      （3）学生板演具体的运算过程，师生点评过程

      （4）反思总结.

      学生得出要把已知角看作一个整体，通过配角、凑角的操作，寻找到目标角与已知角之间的关系来解决问题的经验.

      （5）变式训练.

      

      对于变式训练的两个题，中、下等的同学虽然知道解决此类问题的策略是将目标角用已知角来表示，但由于角的关系比较隐蔽，难以发现它们之间的内在联系，不知道怎样用已知角来表示目标角，不能实现配角、凑角的操作，从而不能解决问题.

      （6）教法改进.

      以色列著名数学教育家斯法德（A.Sfard）等人的研究认为，数学中，许多抽象的概念，从操作的角度可以分别被看作一个过程，从结构的角度又可以分别被看作一个对象，这就是所谓的数学概念的二重性.现用数学概念的二重性理论对各种思路产生的原因进行心理分析.

      

      经过换元，变逆向问题为正向问题，顺流而下，解题的方向十分明确，无须配凑，直接运用公式.上升到了算法的层次，算法的核心思想是寻找解决问题的一般性方法——通法.在教学中，解决问题的方法要力求上升到算法的层次，形成一般的方法.

      按理说改进后的教法，统一解决了此类问题，切实减轻了学生的学习负担，提高了教学效率，获得了成功，可以就此止步.可是笔者思考的是，课本中多处出现了配角、凑角，整体换角的操作，为什么到了高三的复习课上，有不少的同学仍然用思路1解题？为什么学生想不到用整体换角统一解决问题？其中的一个重要的原因是教学中不重视课本的教学，忽视课本资源的开发与运用.怎样在高中数学教学中整体规划，润物细无声地帮助学生逐步掌握解决此类问题的一般方法呢？进而在高三复习课上，学生能自觉地运用角的整体代换，水到渠成地解决此类问题.于是笔者在新授课教学中进行了尝试.

      二、新授课中的教学设计

      

      不少老师在讲授例2时，几乎没有让学生深入思考，就直接讲解，把学生的思路“牵”到教材、教师设定的方法上来，新授课上学生“依葫芦画瓢”，模仿方法解题，教学效果还可以.但时间一长，复习课上不少学生把模仿的、记忆的方法“还给”教师，重新回到自己的、原来固有的方法上，依旧重复“昨天的故事”.老师抱怨：“这个问题都讲过多遍，怎么还不会解？还用笨方法解？”其实只要了解一点学习心理学的知识就可以解决这个困惑.学习心理学将知识分为陈述性知识与程序性知识，方法属于程序性知识，学习程序性知识有效的学习方式是“思考实践—反思总结—再思考实践”，学生掌握数学思想方法和解决问题策略，只靠老师的“告知”，没有自己的感悟与理解是难以实现的.学生只有通过自己不断思考、实践、体会、反思、领悟，才能掌握并达到融会贯通、运用自如.对例2，笔者采用的教学方式是走进学生的心田，展示学生自己的思考过程，让学生经历稍微烦琐运算过程，进入追求简洁运算的愤悱境地，产生追求简洁运算的欲望、动机，进而感悟学习优化的必要，老师再来引导学生走到课本所用的解法上来，同时也突出这节课学习内容两角和与差的正弦公式.老师适时点拨，运用角的整体代换的方法揭示例1与例2的本质联系，为学生进一步运用这种方法做好铺垫.

      1.学生的典型解法

      

      2.学生的解法产生的原因分析

      例2是学生学习了两角和与差的正弦公式后课本给出的第二个例题，其目的是让学生灵活运用两角和与差的正弦公式解决问题，但这样的目的和学生的真实思维相去甚远.

      建构主义学习观认为：学生学习的过程是一个根据已有知识和经验主动建构的过程，学生的认识是根据自己的知识和经验，理解和判断而做出的.另外从学生学习心理上来分析，先入为主，在所学的新知识没有得到强化、站稳脚步之前，旧知起主导作用，旧知比新知对学习的迁移产生的影响更大.学生在这之前学习了两角和与差的余弦公式，其运用得到了强化，产生了思维定势.

      此时，学生的思维处于第一层次，“看山就是山，看水就是水”，仅看到表面形式的东西，将已知条件

的左边看作是两个角的和的形式，因而利用两角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，利用方程的思想来求解，就显得十分的自然.

      数学教学不能仅仅停留在第一层次，要走在学生自然发展的前面，发展学生的辩证思维，转化的意识，在老师的帮助下，促进学生的思维发展到第二个层次“看山不是山，看水不是水”.

      3.师生合作探索优化的解决问题新途径

      师：上面的解法思路自然，但运算麻烦.能否有简洁的解法，在短时间内迅速解决问题？

      师：请同学们分析刚才产生复杂运算的原因.能否改变观察事物的角度，运用本节课所学的两角和与差的正弦公式解决问题，请同学们谈谈你的看法.

      生1：好像不能用两角和与差的正弦公式解决问题.

      师：为什么？

      生1：因为在所求sinα中，角α不是和与差的形式.

      生2：（迫不及待的样子）可以用两角和与差的正弦公式解决问题，把将角α变成角（α+β）-β，即α=（α+β）-β.（众生投来赞许的目光）

      师：从形式上看，正如生1所说，角α不是和与差的形式，但是为了寻求未知与已知之间的联系，我们把未知角α看作已知角（α+β）与β的差，即把一个单角变成和差角的形式，用已知角来表示所求的角，或者说用已知角来表示目标角，同时将形式上的和角（α+β）看作一个整体单角，处理好了单角与复杂角（和、差角）之间的辩证关系，揭示目标角与已知角之间的联系，体现了普遍联系的观点.改变观察事物的角度，获得了解决问题的新途径.

      师：请生2到黑板上写出详细的解题过程，其余的同学也运算.

      

      4.揭示例1与例2内在的联系

      照理说，到此例2的教学已经取得圆满成功，但为了减轻学生学习负担，提高教学的效率与效益，还要细细深究题目之间的联系.其实我们只要沿用上面的看法，将α+β看作一个整体，引入一个记号γ来表征，即用整体换元，即设α+β=γ，则α=γ-β，这样例2就可以叙述成：已知

为锐角，求sin（γ-β）的值.

      你会发现例2与例1在本质上是同一个类型的题目，只不过例1是让学生直接运用公式解决问题，例2是经过角的整体代换后运用公式解决问题，例2是例1的自然延伸.有了上面的认识就可以进一步引导学生，经过角的整体代换，发现问题的本质，促进他们的思维发展到第三个层次“看山还是山，看水还是水”.

      5.进一步挖掘课本资源，寻找角代换方法的生长点

      课本中对角代换的方法采用的是逐步渗透的策略，以起到润物细无声的效果，现在我们一起来挖掘：

      

      

      新课程标准尽管不要求学生记忆三角函数中的积化和差公式，更不要求运用公式解决问题，但要求教师引导学生推导出和差化积公式，其目的是让学生运用两角和差的正弦、余弦公式进行简单的恒等变换，了解三角函数公式的内在联系.但是由于积化和差公式不作为高考的考点，所以大多老师不论是新授课还是复习课都不引导学生推导差化积公式，这种急功近利的教学让学生失去了学习变量整体代换的机会.其实我们可以从和差化积公式的推导中挖掘出角的整体代换方法，并将这一方法应用于解决问题之中.

      我们先来推导和差化积的一个公式：

      

      有了以上的这些认识，我们就寻找到角代换方法的生长点，建立方法间本质的非人为的联系，为运用此种方法做足铺垫.

      三、一点思考

      基于减负增效的教学，从学生的学习实际出发，发展学生.让学生经历一个知识、方法发生、发展的过程，注重解决问题方法的逐步渗透，螺旋上升.从将已知的三角函数式子展开，到关注目标目标角与已知角之间的关系，再到整体换元，学生的辩证思维不断发展，尤其是思维变通能力得到长足的发展.变量代换法体现了解题的大观念（Big Idea），是核心思想方法，它具有基础性、本质性、联系性和广泛的应用性等特点.关注大观念，学生学会的不仅仅是一招一式，而且学会用大的观点、大的思想统摄全局，再遇到此类新问题就会变通，思想方法自然会流淌出来.关注大观念，突出了通性通法的教学和核心思想方法的教学，突出数学的本质，体现数学思想方法的精髓，切实提高数学课堂教学的效益、质量，而不是在一些无关大局的细枝末节上耗费学生的宝贵时间，增加学生的学习负担.用变量整体代换来处理这类问题，学生普遍感到容易，增强了学生学好数学的信心.教学要面向全体同学，提供每一位学生给力的帮助，这或许是大众数学的精髓所在.要让每一个学生在数学方面获得进步，唯有合适的教学方法，好的教学方法，促进学生积极思考，激发学生学习兴趣，培养学生思维能力，让学生感到学得会用得上，思想上产生强烈的共鸣，并内化成自己解决问题的方法.反之一味灌输，时间一长，势必忘记，更谈不上受到数学思想方法的熏陶.所以用大观念核心思想方法指导教学，进一步优化教学方法是实现减负增效的有效途径.优化教学方法是每个教师永恒的追求.

      教学改善了学生的认知信念、学习观念.让学生体会到学好课本中基础知识、例题、习题重要性，认识到变量整体代换揭示了这类问题的来源，可以编制出许多类似的题目.正所谓，题在书外，方法在书内.长期坚持，学生将会重视课本的学习，自觉地将课本中的题目发展到课外的题目，建立课本题目与课外题目之间的本质的、内在的联系，走出茫茫题海，同时增加学习效率与学习的质量，实现减负增效.教学要舍得在基础知识、基本技能、基本思想和方法上花时间、花工夫；而不是蜻蜓点水，对课本的基本概念、例题、习题走马观花，把大量的时间用来做练习、做试卷，那样做会适得其反.

      为了实现减负增效，教学中要注重发展学生的认识力、学习力，增强学生自主学习数学的积极性、能动性，教学要做到“多学少讲”，让学生深度卷入与参与到教学中来，让学生学会学习、学会思维.实现数学课程的育人目标，为学生的终身发展谋取最大的利益.

标签：数学论文;  三角函数论文;  思考方法论文;