函数在证明不等式中的作用，本文主要内容关键词为：不等式论文,函数论文,作用论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
构造函数证明不等式要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等关系，从而合理地选择恰当的函数模型.并能准确地运用函数的性质，将这些不等关系表示出来.
为证明不等式而建立的函数模型有以下几种类型.
1.构造单调函数，利用函数值的不等关系
例1 求证：e[π]＞π[e].
证明 令f（x）=（lnx/x）（x＞e），
则f′（x）=（1-lnx/x）＜0（x＞e）.
∴f（x）=（lnx/x）（x＞e）是减函数.
又∵e＜π，
∴（lne/e）＞（lnπ/π）.即e[π]＞π[e].
例2 已知a、b、c∈（1，+∞），且a+b＞c，
附图
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数.
又∵a+b＞c，且a、b、c∈（1，+∞），
∴f（c）＜f（a+b）.
附图
则g（x）在（1，+∞）上为减函数.
∴g（a+b）＜g（a），
附图
附图
2.构造二次函数，利用根的判别式和函数值符号的关系.
例3 在△ABC中，求证：
附图
同理，当以z为自变量考虑时，可得
当且仅当（x/sinA）=（y/sinB）时，等号成立，
∴当且仅当（x/sinA）=（y/sinB）=（z/sinC）时，等号成立.
例4 （Cauchy不等式）对于任意实数a[，1]，
当且仅当b[，i]=ka[，i]（i=1，2，…，n.且k为常数）时等号成立.
证明 构造二次函数f（x），
附图
∴当且仅当b[，i]=ka[，i]（i=1，2，…，n.且k为常数）时等号成立.
3.构造有界函数，利用函数的取值范围
例5 已知｜a｜＜1、｜b｜＜1、｜c｜＜1，
求证 ab+bc+ca+1＞0
证明 将不等式左边视作关于a的一次函数f（a），则f（a）=（b+c）a+bc+1（-1＜a＜1）.
其图象是一段不包括端点的线段，于是
f（-1）＜f（a）＜f（1）或f（1）＜f（a）＜f（-1）
又∵｜b｜＜1、｜c｜＜1.
∴f（1）=（b+c）·1+bc+1=（b+1）（c+1）＞0，
f（-1）=（b+c）·（-1）+bc+1=（b-1）（c-1）＞0.
∴f（a）=（b+c）a+bc+1=ab+bc+ca+1＞0.
例6 已知a、b、c∈R，且a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0，
求证 a＞0，b＞0，c＞0.
证明 设f（x）=（x-a）（x-b）（x-c）
=x[3]-（a+b+c）x[2]+（ab+bc+ca）x-abc
∵a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0
∴当x≤0时，考察f（x）各项符号知f（x）＜0
而f（a）=f（b）=f（c）=0.
∴a＞0，b＞0，c＞0.
4.构造凸函数，利用凸函数的性质定理
若函数y=f（x）在区间I上恒有f″（x）＜0（f″（x）＞0），则称函数y=f（x）在区间I上为上凸（下凸）函数.凸函数有如下性质：
定理 若函数y=f（x）在区间I上为上凸函数，且x[，1]，x[，2]，…x[，n]∈I，则
附图
当且仅当x[，1]=x[，2]=…x[，n]时，等号成立.（若为下凸函数，则不等号相反）
例7 在△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC≤
当且仅当A=B=C=（π/3）时，等号成立.
例8 （均值不等式）设a[，i]∈R[+]（i=1，2，…，
∴函数f（x）=lnx在（0，+∞）内是上凸函数.）
附图
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