项目导向的数学教学设计，本文主要内容关键词为：导向论文,数学教学论文,项目论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
从近年来国际数学教育改革中不难发现，有关数学学习以及数学教学的改革理念有很多相通之处，例如对于数学学习基本都强调，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生数学学习的重要方式。与之相对应，关于数学教学活动则强调，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。当然这些理念只有落到实处才有价值。在此我们将得到德国某些联邦州文教部认可、正在德国学校推广，以及受到广大教师欢迎的项目导向数学教学设计介绍给大家，尤其希望与一线教师共同探讨。
一、项目导向数学教学的要素
项目导向的数学教学设计包括如下五个要素。
1.主题
作为项目活动的数学主题应该能自成一体，并且该主题内容又能进一步被分化为各个子主题。另外主题应该反映其环境以及生活的相关性。每个项目主题应该拥有一种结构，以便在项目实施过程中，学生比较容易把握主题的结构，教师可以在一定程度上给予帮助，但不是去约束学生。
2.组织框架
每个项目拥有一种组织框架。该框架需要明确指出，项目适用于全班学生参与，还是某些有特殊兴趣的学生参与；项目是涉及多个学科内容还是仅仅围绕数学学科内容；项目是在校内还是其他地方进行。此外需要明确各个项目小组中学生可能需要花费的活动时间。
3.学生主动性
学生积极主动性在这类教学设计中起重要作用。学生活动不应是一种盲目的忙碌、活跃，而应该是有目的的行动。通过这类行动学生能获得新知识，进而获得新的思维策略等。
4.小组活动
小组活动是这种项目导向教学的社会因素的体现。在小组活动中学生应该发挥各自的特长，分工合作，另外根据需要各个小组之间要学会相互交流分享活动结果。
5.反馈
这类教学设计包括各种形式的反馈。如师生之间的反馈，教师可以以咨询者或者评价者的角色与学生对话；学生之间的反馈，在这种反馈中体现出的信息往往是教师在传统教学中难以获得的、但又是非常珍贵的信息。
这五个要素是相互联系的，在教学过程的各个阶段都应该考虑这五个要素。用图1表示要素之间的内在联系，这意味着如果缺少其中某个要素，“圆顶就会坍塌下来”，实施项目活动的环境也就此消失。
图1 项目活动圆项
二、项目导向的数学教学过程
该数学教学过程包括项目活动的准备阶段、实施阶段、总结阶段。
1.准备阶段
教师结合各自的教学安排、自己学生的学习状况，选择项目活动的主题，并且从三个层面上（下面将详细介绍）充分考虑如何组织学生开展项目活动。为使项目活动更加顺利开展，一方面教师可以利用概念网络图的形式，将与主题相关的具体数学概念或内容呈现出来；另一方面教师可以列举出围绕主题可以开展的活动要点，供学生参照。最后，由于某些项目活动是跨学科性的，因此需要与同事合作、协商，争取共同组织项目活动。
2.实施阶段
首先学生了解教师所选的项目主题以及相应的活动要点，然后以小组活动的形式，明确活动任务、制定活动流程、小组内部分工合作、及时反馈等等。在这一阶段，教师是学生活动的支持者、观察者，当然也可以是参与者。当教师观察到某小组无法按照预定方案进行活动时，应该给予一定的策略性支持。学生在这一阶段应该是目标明确的探究者、合作者、反思者。
3.总结阶段
这是学生呈现、反思评价项目活动成果的阶段。这里允许学生用各种可能的表征形式展现相应的成果，如具体作品、研究报告等。
三、项目活动的结构化过程
教师在准备阶段针对所选择的项目活动主题需要考虑三个层面的问题：(1)该主题与数学或者其他学科内容的关系如何；(2)学生如何借助这一项目主题掌握数学概念或结构；(3)教师如何设计基于这一主题的项目活动。
1.该主题与数学或者其他学科内容的关系如何？
在此可以借助两种模块去分析这类关系：
磁体模块（图2）：该模块表现的是传统的项目主题设计思想。也就是说，为掌握这一主题需要不同学科的内容或者某个学科的多种内容。这一主题吸引着各个不同学科，教师的任务在于，筛选出那些可能对项目主题活动有关的各种不同学科，但在筛选过程中，应随时考虑学生的建议，学生的建议是筛选的重要标准。
星星模块（图2）：该模块表示教师在分析数学事实或者数学概念类的主题时，需要从各种不同的学科或者环境中再发现这些事实。也就是说，这类主题就好像群星闪烁照耀到其他环境中。这类项目主题极其活跃，因为即使教师自己已经找到这个主题所辐射的学科或者领域，但在分析过程中可以还会出现事先尚未想到的相关领域。
图2 磁体、星星模块直观化
2.学生如何借助这一项目主题掌握数学概念或结构？
从研究中发现，通过项目活动一方面可以掌握新的学习内容；另一方面可以根据已有知识找出内容间的横向联系，从而深化那些内容的学习。这里也可以用两种模块分析学生掌握项目主题的结构。
反思模块：该模块强调学生借助项目主题，能够回顾性地运用已有的数学知识。也就是说，学生完成了某个内容领域的学习或者多个内容领域的学习，然后可以借助项目活动以各种不同的方式反思（深化）这些已经掌握的知识。
投射模块：该模块强调学生探索学习对他来说是新的数学概念或结构。在项目活动过程中，学生会掌握这些新概念或者结构的数学内涵。已有知识与观点会投射在项目主题上，通过活动学生有可能借助这些知识的投射掌握新的数学内容。
3.教师如何设计基于这一主题的项目活动？
这里也有两种不同的设计模块。
线性模块（图3）：在这一模块中，教师事先给出项目活动的出发点以及目标。从严格意义上讲，学生没有实施项目的自主性，而是教师给出任务安排甚至作业单。根据教师提供的安排，学生只是采取一种与项目活动类似的工作方式，逐渐接近明确规定的项目活动目标。这类项目主题活动在目前的数学项目教学中还比较普遍。
图3 线性模块
辐射模块（图4）：在这一模块中，教师仅仅给出关键的活动要点，学生可以从不同方向切人项目活动，从不同角度探索这一主题。教师给学生提供的仅仅是一些建议要点或者实施过程中的辅助说明。这种辐射模块代表了一种特有的教学文化，这种教学文化鼓励学生探索各种可能的数学概念意义，支持学生表达其主体观点，理解学生学习中遇到的曲折。图4表示学生行为(S)与教师活动要点的互动辐射关系。
图4 辐射模块
由此可见，教师在准备阶段选择项目活动主题以后，还需要从上述三个层面进行分析思考，以便形成一种合理的项目活动结构。图5再现这个项目活动结构化过程。
图5 项目活动的结构化过程
四、项目导向的数学教学案例
项目主题：对称与全等。
实施学校与年级：德国Marktbreit完全中学7年级。
实施过程：
1.准备阶段
作为数学概念的对称与全等，与其他学科领域有着密切关系。以对称作为项目主题，就是希望学生能从多个领域找寻、发现并论证对称。因此在准备阶段需要与其他学科教师沟通，协商能够共同参与这类项目活动。本案例中，设计该项目的数学老师了解到，艺术课上刚好在讨论对称这个话题；历史老师也能够参与，因为刚好在讨论教堂的建筑风格问题；当然在生物课上也涉及许多生物上的对称；拉丁语老师也愿意参与该课题。有了同事的合作参与，就可以保证学生有机会从各个不同的学科去了解“对称与全等”，因此这一主题具有星星模块的结构（图6）。
图6 对称与全等主题的星星模块
由于星星模块所拥有的动态性特征，这里很难做到完整的辐射，也就是说这主题概念一定还与其他领域或者学科联系密切，例如化学等。我们根据实际的可行性选择了上述领域。另外在准备阶段设计一张概念网络图，对教师组织实施阶段大有帮助（图7）。
图7 对称与全等的概念网络图
有了上述分析，教师为学生提供如下活动建议，以便学生在一定的组织框架下开展项目活动：
——密铺地面小组（利用对称或者全等图形进行密铺）；
——几何体小组（搭建轴对称或者旋转对称的几何体，同时需要搭建出对称轴）；
——环境、艺术与历史中的对称（花，汽车方向盘，教堂窗户，文字，庙宇）；
——数学中的特殊对称（二项式公式，二次项，帕斯卡三角形，Z，Q，交换律）。
2.实施阶段
这一项目活动主要在常规课时中进行，这里包括数学、艺术与拉丁语课。项目活动一共持续9天。
第一天：明确项目活动目标。
针对上述几个活动建议，教师用例子解释活动的目的，以便让学生明确各个小组可能有的任务。学生选择希望参与的小组，然后开始收集各种可能的材料。学生也明确该项目完成后需要举办一次展览。
第二天：形成项目活动计划。
这一天几何体小组一头扎进四面体、六面体、十二面体的搭建中，但马上意识到，要剪出全等的三角形、正方形以及正五角形并不是那么容易的。环境小组开始收集照片，以便形成自己的图片。密铺小组最初针对用何种形状的图形密铺地面意见不统一。数学小组一开始就惊讶，二项式公式、交换律等与对称有某些关系。
第三至第九天：实施项目活动。
在这实施过程中，参与活动的各学科教师都比较投入，尤其是拉丁语老师及时在拉丁语课上与学生一起探讨古罗马营房、古罗马建筑中的对称等。艺术课上主要是学生自己根据轴对称规则设计自己的作品。在项目活动结束后，学生在艺术课上再一次分析各自作品中的对称以及所遵循的规则。而数学课上主要让密铺地面小组与几何体小组按照自己的设想进行搭建。在这过程中学生似乎感觉不到那是数学课，因为他们暂时不需要证明、作图等。但是学生搭建出了形状各异的几何体，铺设出一块块中间不留空隙也不重叠的铺满的平面。数学组将帕斯卡三角形与二项式公式结合起来，认识到隐藏在背后的对称。他们还考虑如何简捷地借助某个模型描绘轴对称、点对称与旋转对称等数学概念。
3.总结阶段
这个项目活动采取了成果展览形式作为对项目活动的总结，成果展览持续多日，并且向全校师生以及家长开放。为此学生既兴奋又紧张，他们认真商量展版的布置、成果的张贴。当他们完成这成果展览的布置后，重新细细回味项目活动过程，欣赏自己的成果，表现出无比的自豪感。积极的表扬和赞赏同样来自好奇的家长，他们惊讶在常规教学中也会产生如此特殊的成果以及学习乐趣。
在成果展览中，数学组设计了一张有关帕斯卡三角形的精彩图片，也描绘了乘法与加法交换律。此外该小组还分别开发了确切地描绘轴对称、点对称以及旋转对称的模型。他们很有独创地用一枚小镜子来实现轴对称，自制小仪器来体现点对称与旋转对称。一种仪器可以让一个八面体旋转半圈后暂时停顿，然后再转半圈等等。然后又借助一个驱动装置，调整这个仪器的不同旋转角度。因此它还可以描绘旋转对称。
密铺地面小组制作了各种非常有趣的中间不留空隙、也不重叠的铺满的平面图形，部分图形由全等的多边形构成。一个学生甚至尝试证明为什么用任意四边形都能密铺为一块平面。当然在描述证明过程时，其语言表述并不一定十分精确，但从所作的任意四边形图形可以分析出该学生的思路。
几何体小组完成了一张关于柏拉图几何体对称轴的统计表格。在系统列举数据时学生发现了有意义的结果。几何体 对称轴类型
对称轴类型
对称轴类型四面体 3×2（顶点）
4×3（顶点）六面体 6×2（顶点）
4×3（顶点）
3×4（顶点）八面体 6×2（顶点）
4×3（顶点）
3×4（顶点）十二面体15×2（顶点）
10×3（顶点）
6×5（顶点）二十面体15×2（顶点）
10×3（顶点） 6×5（顶点）
学生认识到，六面体和八面体刚好有相同数量的2顶点、3顶点与4顶点构成的对称轴，这种相同性同样存在于十二面体与二十面体之间。对学生来说，这引起他们足够的好奇，即两个完全不同的几何体拥有相同数量的同类对称轴。这里不要急于用群理论来回答他们的疑问，解释有关六面体群与八面体群的同构问题。否则数学教学中的项目就会失去意义。让学生先体验获得这一结果的成就感。
环境小组用点对称或轴对称图象制作了各种可能的贺卡（图11）。尤其受欢迎的是埃舍尔与蒙德里安的作品。这些图象看上去是对称的，但仔细观察就会发现其差异。这些问题又在拉丁语课上深入分析。
4.来自教师与学生的反思
项目活动结束，学生回到数学课堂教学中，梳理与巩固各种对称的规则，其中每个规则都是学生在活动中形成的。经过那一节课的讨论，学生也为自己在动手为主的活动中还学到如此丰富的数学知识而惊叹。另外，每个小组完成作品后还需要撰写项目报告，记录各自的经验、激情、批评与反思。经历了充满乐趣的项目活动后，学生还是比较乐意接受这一任务。
学校领导也非常支持该项目的开展，特别资助学生们去共进午餐，讨论新的项目主题。学生真正感受到数学学习的生动性。
在项目进行过程中，很少涉及全等概念，学生几乎将精力全部放在对称概念上。在此不必责怪教师或者学生。这也是星星模块的动态性与开放性的体现。