Hull-White随机利率模型在债券价值分析中的应用，本文主要内容关键词为：债券论文,利率论文,模型论文,价值论文,Hull论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F224.7
文献标识码：A
一、Hull-White随机利率模型简述
1990年，美国学者John Hull和Alan White提出了短期利率的非套利马尔柯夫模型，该模型假设短期利率r（连续复利形式）满足风险中性过程[1]：
附图
式中，R(t,T)为连续复利形式。
Hull-White随机利率模型中的短期利率r可以是短期国债的收益率，被认为是无风险的。利用上述方法可以建立起无风险利率的期限结构，然后以此作为市场基准利率，再加上一个固定利差作为违约风险补偿就得到公司债券的利率期限结构，进而对公司债券进行价值分析。
比较其他推导债券收益率期限结构的方法就不难发现Hull-White随机利率模型的优势。目前，其他方法主要有两种[2]。一种是观察市场上不同到期日债券的价格，采用“剥离方法”绘制收益率曲线。但由于我国债券市场发展速度比较缓慢，品种少、到期结构不合理，致使不能利用市场上现有品种计算出完整的利率期限结构。另一种方法是将公司的杠杆收益（股本）看成是基于公司市场价值的看涨期权，然后利用Black-Scholes-Merton模型来计算风险债券的理论价值，进而推导出不同到期期限债务的风险收益。这种方法要求公司的债务是单一在外发行且具有同一到期日的贴现债券，这显然与实际不符。对公司市场价值的估价也存在困难，所有这些因素将影响利率期限结构的准确程度。有鉴于此，本文利用Hull-White随机利率模型所建立起来的利率期限结构，通过对不含期权的纯债券和含有利率期权的可提前赎回债券进行定价和价值风险分析，来探讨该模型在债券价值分析中的应用。
二、模型在债券定价上的应用
（一）纯债券的定价
附图
（二）可提前赎回债券的定价
当债券契约中含有了利率期权，如可提前赎回期权，就不能利用公式(3)来对其进行定价了。对可提前赎回债券而言，如果利率下降（或债券价格上升）到一个具有吸引力的水平，发行者可以赎回债券从而执行赎回期权，使债券期限缩短，价值发生变化。这时，对债券进行定价，就必须考虑可提的赎回期权的影响。根据可提前赎回债券的定义，知：
附图
式中，B(t,T)为可提前赎回债券在t时刻的价值；SB(t,T)为不含可提前赎回期权即纯债券在t时刻的价值；C为可提前赎回期权的价值。对于纯债券价值SB(t,T)，可利用公式(3)求出；而对于可提前赎回期权的值，则需要进一步的讨论。
由于债券发行者被赋予在首次赎回日以后的任意时刻或每年的息票支付日赎回债券的权利，所以严格地讲，可提前赎回期权是一个非标准美式债券看涨期权，其价值由利率水平和其波动幅度来决定。基于可提前赎回期权为非标准美式期权的考虑，期权就有多个可能的赎回日，并且赎回价格随着时间的推迟而变化，于是可把提前赎回期权看成是一系列的、以不同的赎回日作为到期日、以相应的赎回价格作为执行价格的标的债券的欧式看涨期权，可用修正的Black-Schcles期权定价模型对每个期权进行定价，然后选取最大者作为所要求的可提前赎回期权的估值[3]。
附图
附图
由此可以看出，随着未来利率走势的不同，
将发生变化，那么由上式表示的可提前赎回期权的价值C也将随之变化，最终会导致可提前赎回债券价值的变化。
除了用解析式计算债券的价值外，还可用数值方法来求解，如树型方法。由于Hull-White随机利率模型中的短期利率r的漂移率θ(t)-ar不独立于时间，这决定了r不能使用二叉树法，而应该使用三叉树法[1]。在运用三叉树法时，关键的是求不同时刻的θ(t)值。先从零时刻的θ(0)计算开始，保证与初始期限结构相符，然后依次类推。不同的θ(0)值决定了t时刻叉树结点处的树枝在下一个时间间隔内的变化模式，最终将得到短期利率变动的三叉树图。在树图的基础上，采用倒推的方法，用每一个结点处的短期利率作为贴现率对后面结点处的债券价格进行贴现，可得到该结点处的债券价格。反复使用贴现过程，最终得到t时刻的债券价格。这个价格也是无套利的。
上述推导过程直接运用于纯债券，但可提前赎回债券存在特别之处，在确定每个结点处的债券价格时，需要对数据进行处理，即当由后面三个结点倒推出来的债券价格大于或等于赎回价格时，就取赎回价格作为该结点处的数值；否则，仍使用倒推出来的数值。
三、在债券价值利率敏感性分析中的应用
债券作为利率的衍生物，其价值对市场利率的变化具有敏感性。作为纯债券来说，衡量利率敏感性的指标为麦考莱持续期(Maucaulay duration)[4]，用符号D表示。如果纯债券的到期收益率仍用y表示，则债券价格表达式将由公式(3)变为：
附图
可以看出，持续期是债券未来现金流支付时间的加权平均值，对应
时刻的权重等于时刻所支付现金流的现值占债券总现值的比例。但这个定义基于收益率曲线是平坦的、平行移动的假设，显然与实际不相吻合，不能准确地衡量债券价值对利率变化的敏感性。已有学者对此作了修正，建立了基于非平坦收益率曲线的债券持续期的模型[5]，即纯债券价值仍沿用公式(3)的表达形式，然后保留麦考莱持续期定义中益率曲线平行移动的假设而令曲线移动量为λ，则有：
附图
附图
这就是收益率变化较小时债券价值变化的近似。当收益率变化较大时，需要考虑收益率曲线的凸性(convexity)并对上式进行调整。可按照凸性的定义，仿照求随机利率下债券持续期的方法来求债券的凸性。
四、结论
利用Hull-White随机利率模型可以建立起无风险利率的期限结构，这种结构既考虑了短期利率的均值回复特性，又与初始期限结构相符合，能够保证债券的定价结果是无套利的。由于这种模型能够给出利率期限结构的解析式，因此可以推导出不含期权的纯债券和含有利率期权的可提前赎回债券理论价格的表达式，为进一步分析债券价值对利率变化的敏感性创造了条件。通过适当处理，建立起随机利率情况下纯债券价值利率敏感性的衡量指标——持续期的表达式，并推导出适用于可提前赎回债券在收益率变化较小时价值变化的估算方法，为债券的套期保值提供了便利。所以，利用Hull-White随机利率模型建立利率期限结构及进行债券价值分析无疑是一种有效尝试[6]。只要能够正确地为短期利率r选择出参数α和σ的值，Hull-White随机利率模型就能较好地模拟利率的运动。随着我国利率市场化步伐的加快以及大量与市场基准利率挂钩的债券的出现，Hull-white随机利率模型可较好地满足各种风险债券价值分析的需要。