“多元表征理论”指导下的“数列概念”教学，本文主要内容关键词为：数列论文,表征论文,指导下论文,概念论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
表征（Representation）又称心理表征或知识表征，是认知心理学的核心概念之一，指信息或知识在心理活动中的表现和记载的方式.表征是外部事物在心理活动中的内部再现，因此，它一方面反映客观事物，代表客观事物，另一方面又是心理活动进一步加工的对象.
在数学概念教学中，概念的“心理表征”受到了高度关注，相对于“单一表征理论”，所谓“多元表征理论”即是更加强调数学概念心理表征的多元性，强调概念表征不同方面的相互渗透与必要互补.更为重要的是，“多元表征理论”突出强调了数学概念的心理表征往往包含多个不同的方面或成分，这些成分对于概念的正确理解都具有重要的作用；另外，与片面强调其中的某一成分相对应，我们又应更加重视这些成分之间的联结与相互转换.
根据“多元表征理论”，教师在教学中应十分重视如何使学生在这一过程中更好地发挥主体作用，因为，“一名学生处理或形成外部表示的方式也将显示出他在头脑中对于这一信息是如何表征的”.同时，也应十分重视认识活动的个体特殊性，关注每一名学生在学习过程中的真实思维活动.为此，要利用数学概念表现形式的多样性，灵活地向学生提供图、表、文字、符号等各种表示，创设出一种多样变化的教学情境，引发学生的数学思考，给学生提供探索数学规律、发现数学本质的机会，使学生的自主探究式学习成为可能并得到落实，学生的数学学习兴趣可以被更有效地激发，教学活动也能开展得更加生动活泼而富有成效.
2011年10月，笔者为参加安徽省第十批特级教师评选，在六安市上了一节考评课，课题是“数列的概念与简单表示法（第1课时）”.在进行教学设计时，笔者尝试运用“多元表征理论”指导教学，获得了较高评价（此课得到所有学科上课得分的最高分）.以下结合本节课的课堂教学主要环节谈谈笔者自己的认识与体会.
一、辨析实例，形成概念
请同学们观察下面几组数字：
（1）古代有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，若将“一尺之棰”记为1份，则每日剩余部分依次是
（2）古希腊数学家常用小石子摆成如图1的形状来表示数，称为三角形数，它们依次是
1，3，6，10，…
（3）1984年至今，我国参加了7次奥运会，所获金牌数依次是
15，5，16，16，28，32，51.
（4）
确到1，0.1，0.01，0.001，…的不足近似值依次是
1，1.4，1.41，1.414，…
教师：观察上面四组数字，它们有什么共同特征？
学生1：每组数字都有规律.
学生2：（情绪有点激动）不对，第（3）组数字就没有“规律”.
教师追问：学生1，你能具体解释一下“有规律”的含义吗？
学生1：我觉得，“有规律”就是知道前面几个数，可以找出规律，从而写出随后的数字.
教师追问：学生2，你为什么说第（3）组数字没有“规律”呢？
学生2：如果有规律，那么你能确定2012年伦敦奥运会我国所获金牌数吗？显然不可能.
教师：不错！看来，“有规律”并不是这四组数字的共同特征.继续观察，在每组数字中，能否将数字随意调换？调换后还能表达同样的意思吗？由此说明了什么？
学生3：不能随意调换，调换后意思改变了，说明每一组数字都是有次序的.
教师：很好！我们就把按照一定顺序排列着的一列数称为数列.那么，数列定义中有哪些关键词？
学生4：关键词有两个：“一列数”“有顺序”.
教师：根据定义，1，3，5，7是数列吗？1，5，3，7是数列吗？它们是否为同一数列？
学生5：它们都是数列，但不是同一数列，因为数字的排列顺序不完全相同.
教师：这说明，两个数列，即使它们包括的数字完全相同，只要出现顺序不同，就是不同的数列.那么
（5）1，1，1，1，…是数列吗？
（6）-1，1，-1，1，…是数列吗？为什么？
学生6：它们都是数列，因为它们也是按顺序排列的一列数.
教师：由此可见，数列中的数字是可以重复出现的，但代表的含义可能不同，如数列（3）中两个16的含义就是不同的.
教学思考：概念学习的本质是对概念属性的辨认，而例子则是概念属性的具体化和形象化，对概念的学习有着重要的辅助作用.由“多元表征理论”可知，教师提供具体例子时不能随心所欲，一定要具有丰富性和典型性，要恰当使用正反例引导学生辨认概念的本质属性与非本质属性，通过变换概念的非本质属性，帮助学生掌握概念.
本节课，为归纳得出数列的概念，应先让学生观察若干组数字（一般具有实际背景），思考各组数字的共同特征.可很多教师选取的全是“有规律”的数字，甚至不惜花费大量时间强化学生对这种“规律”性的体验，从而导致学生对数列概念的错误理解.因此，在选取数组时，应做到：有规律与无规律兼顾，有穷数列与无穷数列兼顾，增数列、减数列、常数列、摆动数列兼顾，只有这样，才能让学生充分经历观察、比较、分辨、概括的全过程，充分经历矛盾的冲突与解决过程，形成对概念的正确认识.
二、表示数列，深化概念
教师：为了方便，我们将数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（首项），排在第二位的数称为第2项，……，排在第n位的数称为第n项.所以，数列的一般形式可以写成
，简记为
.
教师：对于具体数列，仅用记号并不能反映该数列的实际内涵，那么，有哪些方法可以表示呢？如数列2，4，6，8，….请同学们自己动手，尝试用多种方法表示这个数列.
（学生分组讨论，动手实践，教师巡视进展情况，适当参与学生的讨论，然后利用实物投影仪展示典型做法）
展示学生7的结果：
教师：这是用列表的方法表示数列.这里，数列的项在变化，其实还有一个量在伴随着它而变化，你能找出来吗？
学生7：项随着序号的变化而变化.
教师：你能改进上述表格，以便更清晰地刻画两个变量的对应关系吗？
学生7：可以，改为
展示学生8的结果（图2）：
教师：（含而不露）这是用图形的方法表示数列.用数轴表示数，很好的主意！请同学们按照此法，把数列8，6，4，2，…在数轴上表示出来.
（学生动手后，马上发现与数列2，4，6，8，…图示的结果完全相同.学生8有些不好意思，教师及时予以肯定和鼓励）
教师：两个不同的数列，表示结果完全一样，显然不行.问题出在哪里？请同学们先独立思考，然后相互交流一下看法，并找出解决问题的办法.
（教师有意识地继续请学生8发表意见）
学生8：我明白了.用数轴表示数列，并不能反映出每一项所处的位置（对应的序号），因此，必须将项与它的序号“捆绑才行”.
教师：“捆绑”，说得好！可是，如何在图形上实现“捆绑”呢？动手试一试.
学生8：在平面直角坐标系中，把序号作为横坐标，对应的项作为纵坐标，描点，即可表示数列2，4，6，8，…，如图3.
教师：这充分体现了数列的“有序性”.这样表示能将上述两个数列区分开吗？试一试.
学生9：可以，如图4.
教师：还有没有其他表示方法了？
教师：很好.以上同学们分别利用表格、图象、公式表示了同一数列.这三种表示法的共同特征是什么？都涉及哪些量，它们之间有什么关系？
学生12：三种表示方法都反映了项与序号的对应关系.
教师：这种对应关系有什么特征？你以前见过类似的情况吗？
学生13：这种对应关系的特点是：每一个序号，都对应着唯一的项.以前学的函数也具有这样的特点.
教师：类比一下，数列中，什么相当于函数的自变量？什么相当于函数的因变量？什么相当于函数的对应法则？
学生14：序号n相当于自变量，项
相当于因变量，=f（n）相当于对应法则.
教师：数列的“定义域”是什么？“解析式”是什么？
学生15：数列的“定义域”是正整数集
或它的有限子集｛1，2，3，…，n｝.“解析式”就是数列的通项公式.
教师：如何由函数y=f（x）得到相应的数列？
学生16：只要x可以取从1开始的正整数，就可以得到数列f（1）f（2），…f（n），….
教学思考：无论是从认识论的观点，还是从认知心理学的观点，概念的掌握都应该在概念体系中完成.布鲁纳说：“获得的知识，如果没有完满的结构把它连在一起，那是一种多半会被遗忘的知识，一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿命.”因此，数列概念也应该纳入概念体系中，揭示其函数本质，这样才能形成良好的认知结构.
数列与函数的关系是本节课的难点，经常是教师引导学生分析项与序号的对应特征，得出数列是特殊的函数（值）.这样的教学，实质上仍然是“告诉教学”.章建跃博士说过，教学设计的关键之一是：设计自然的过程，这是一种数学知识发生发展的原过程（再创造过程）与学生数学认识过程的融合.据此，笔者认为，数列与函数关系的得出过程应该是自然的，水到渠成的.那么，如何才能做到自然、水到渠成呢？
由“多元表征理论”可知，概念教学中可以通过符号表征、语言表征、操作表征、情境表征、图形表征等多种不同的表征形式，在教师必要的引导下，帮助学生在表征的不同成分之间建立充分的联系，并能根据需要与情境做出灵活的转换.
具体到本节课，函数与数列都有表格、图象、式子等不同的表示方法，这些共性可以将二者从外部形式上联系起来，而自变量与因变量、序号与项对应关系中的存在唯一性（映射）特征才是问题的实质.因此，教师要让学生感受数列的多元表征，引发联想，找到函数这个“姻亲”，进而揭示本质.为此，笔者在此不惜花费较多的时间，让学生从用不同的方法表示具体数列入手，自主探究，在此过程中，学生出现了这样那样的错误或欠缺，教师并不是立即点评，而是及时变换素材，让学生再次动手尝试，主动发现问题所在，进而引导学生改进方法，解决问题，提升认识.最后让学生归纳各种表示法的共同特征，建立数列与函数的“亲密关系”，从而将数列概念成功纳入到函数的概念体系中去，实现了认识的深化.
三、尝试应用，巩固概念
（Ⅰ）写出该数列的首项，第4项；
（Ⅱ）63是该数列第几项？
（Ⅲ）126是否为该数列的项？为什么？
（Ⅳ）尝试分析这个数列的性质.
（学生自主解答，教师展示结果并分析点评，突出数列的函数背景的应用.此处略）
教学思考：“多元表征理论”指出，“变化”是认识的一种手段，其根本目的在于通过“变化”与“对照”帮助学生更好地认识其中的不变因素，也即概念或问题的本质.同时应当注意培养学生思维的整合性和灵活性.据此，笔者在例题与练习这一环节，围绕数列的概念、数列与函数的关系，精心设计问题，充分调动学生的思维，利用逆向性问题、探索性问题、开放性问题等培养学生思维的广阔性、深刻性与灵活性.
需要强调的是，运用“多元表征理论”进行概念教学时，仍然要以“理解数学，理解学生，理解教学”作为教学设计的基本点：只有教师自己对数学的思想、方法和精神有较高水平的理解，才能在教学中自觉地把数学的精神传达给学生；只有对学生的数学思维规律有了深入的了解，才能知道应当采取怎样的教学措施引导学生的思维活动，有的放矢地进行教学；只有遵循了数学教学的特点和规律，数学教学的质量和效益才能真正得到保证.否则，运用的表征即使多元，但由于偏离了数学的本质，脱离了学生的心理发展水平与认知特点，违背了教学规律，也只能起到截然相反的效果.