离散GM(1,1)参数估计的3种方法比较^*

张 鹏

(太原工业学院 理学系，太原 030008)

摘 要: 针对离散灰色模型GM(1,1)中参数估计方法及模型稳定性问题，选取3种估计参数的方法进行讨论——最小二乘法、最小一乘法和累积法;为了更好地比较不同估计方法的差异，统一赋以相同的初值，并以拟合误差、关联度和条件数作为评价指标，借助MATLAB软件对两类实例数据进行分析——递增序列和递减序列;实验结果表明:在误差方面，累积法优于最小一乘和最小二乘，在模型稳定性方面，累积法优于最小二乘法，总之，对于递增和递减序列数据，累积法估计GM(1,1)中参数最优。

关键词: 离散灰色模型；参数估计；模型稳定性

0 引 言

近年来，很多学者研究灰色模型GM(1,1)相关问题，其中参数估计方法是一个重要方面，并且取得了一些进展^[1-5]，何霞等^[5]利用加权最小二乘法估计参数，提升了模型精度和稳健性；仇环等^[6]利用折扣最小一乘法对GM(1,1)进行参数估计，并对其有效性进行了验证；李洪然等^[7]利用累积法估计GM(1,1)参数建立地面沉降预测模型。作为一阶灰色模型的离散形式DGM(1,1)，目前参数估计方法及估计值稳定性问题有待讨论。基于上述问题，对DGM(1,1)的参数估计问题进行讨论，首先简述最小二乘、最小一乘及累积法的思想，然后对其优劣性进行简单说明，最后在评价指标的基础上通过实例进行比较。

1 3种DGM (1,1)参数估计方法

定义 1^[1]称x ⁽¹⁾(k +1)=β ₁x ⁽¹⁾(k )+β ₂为离散灰色模型，记为DGM(1,1)。

由上述定义得：

β ₁x ⁽¹⁾(k )+β ₂=x ⁽¹⁾(k )+x ⁽⁰⁾(k +1)

(1)

推导得：

将萃取纤维头插入前处理好的样品瓶中，萃取温度25℃，样品平衡时间5 min，萃取时间50 min，乳化器转速500 r/min。于250℃解吸5 min后进行GC-MS分离鉴定。

x ⁽⁰⁾(k )=(β ₁-1)x ⁽¹⁾(k -1)+β ₂=

记参考序列x (k )，第i 个比较序列则称为第i 个关联度，称

将以3种方法对参数(β ₁,β ₂)分别进行估计并讨论。

1.1 最小二乘法

该方法旨在使拟合误差平方和最小，即

对式(1)进行1、2阶累积算子:

最初提出灰色模型时，采用的参数估计方法即为最小二乘法，该方法建立的函数可微，方便计算，但得到好的估计是建立在具有足够样本量前提下。应用中发现在样本量小或存在异常值时，最小二乘得出的正规方程组出现病态现象，使参数估计失效，而对于适用于小样本的DGM(1,1)来说，该方法估计的参数会表现出稳健性差^[2]。

1.2 最小一乘法

该方法旨在使拟合误差绝对值和最小，即

其中，

为便于求解和推广应用，需要将Reynolds方程化为无量纲形式。分别对式(1)的x、z、h、p进行无量纲化，可得Reynolds方程无量纲形式：

(2)

参考序列为真实值，比较序列为3种估参方法所得预测序列，两序列进行关联度分析，即第i 个方法对应的关联系数为

（a）Cats are very smart.They are one of the smartest animals.

为第i 个比较序列在时刻k 时的关联系数，其中ρ 为分辨系数，为绝对误差。取ρ =0.5，若γ _0.5>0.6，则认为模型预测性能较好。

令其中,ε _k =x ⁽⁰⁾(k +1)-(β ₁x ⁽⁰⁾(k )+β ₂)=v _k -u _k ，则式(2)转化为以下优化问题:

1.3 累积法

累积法可以直接对样本数据的累加进行估计，无需对拟合误差进行假设^[4]。r 阶传统累积算子定义为

其中，

(3)

故式(3)中累积算子如下:

若记

β =(β ₁,β ₂)^T

式(3)可以写成矩阵形式:Y =Xβ ，则在累积算子准则下的参数估计公式为

文献[4]指出累积法避免了最小二乘法的缺陷，且解决了病态问题。

Overview on Technology of New Model DC Ice-melting Device for Phase Wire and Ground Wire of Transmission Line SONG Hongquan(72)

观察组进行腰硬联合麻醉。侧卧位,穿刺L2-3,平卧,硬膜外用16号硬穿刺针,达到硬膜外腔后,用合适的鼻尖式腰穿针经硬膜外穿刺针进入蛛网膜下腔,脑脊液出现后给予麻醉药物注入((0.75%布比卡因2ml+脑脊液1ml),拔除腰穿针后将硬膜外导管置入头侧,平卧,调整麻醉平面。

2 评价指标

2.1 残差检验

若原序列记x (k )，模拟序列记则称为绝对残差序列，称为相对误差序列，得平均误差:

民本思想，是封建地主阶级的意识形态和治国之道，对中国封建社会的稳固和持续发展，曾经发挥过十分重要的作用。它反映了封建统治者对于协调个人与国家关系以达到国泰民安、政治升平的艰难探索，内含着中华民族的政治智慧，因而作为一种思想文化遗产，迄今为止仍然是中国诸多政治家和学者孜孜不倦的探究对象。

理论、计算与实际应用在现行数学标准与教材中的割裂状态应当改变，两者必须结合起来.小学数学中的理论和计算技能，如果学生不懂得如何应用于实际问题，则无价值可言.

(4)

2.2 关联度检验

若得到(β ₁,β ₂)的估计值且以x ⁽⁰⁾(1)作为初始条件，则可计算x ⁽⁰⁾(k )的预测值即

译文： A thing is yet to be done until it is done.[2]185

周家粮铺院的建造体现了风峪沟沿线具有地域性特色的农耕文化，体现了古代劳动人民内敛的生活方式、文化传统及农耕思想[17]，与现今我们提倡的和谐、环保、低碳的思想如出一辙。我国是一个农业大国，深入挖掘农耕文化时传统建筑的建造思想及技艺，对更好的保护具有地域性特色的历史建筑及传统村落，具有十分重大的历史意义和现实意义。

该方法可以避免最小二乘法在小样本时的病态现象，稳健性较好，但优化函数中含绝对值，求解需进行如下变换^[3]:

(5)

2.3 模型稳定性

矩阵的病态性反映模型的稳定性，而病态性以条件数来衡量，条件数越大，病态性越严重，从而模型的稳定性越差，判别关系见表1。p -条件数定义为

(6)

取2-条件数，即p =2，其中式(6)中

表1 条件数与模型稳定性关系
Table 1 Relationship between conditional number and model stability

3 实例比较

例 1 参考文献[5]递增序列:

X ⁽⁰⁾=(2.874,3.278,3.337,3.390,3.679)

对其建立离散灰色模型DGM(1,1)，运用所提的3种方法估计参数，比较结果见表2，例如最小二乘法得到参数则解析式为

(7)

其他两种方法得到的解析式类似式(7)，累减得原序列的拟合值，按照式(4)、式(5)计算各评价指标，结果见表2。

表2 参数估计结果及误差比较
Table 2 Comparison of estimating parameters and error

从平均误差角度看出:相对于最小一乘法，最小二乘法和累积法得到的模型平均误差小；3种方法得到的关联度均大于γ _0.5=0.6，且最小二乘法和累积法相对于最小一乘法关联度要大，表示更接近真实序列。

在计算过程中，最小二乘法相关矩阵的条件数为418.910 4，而基于累积相关矩阵的条件数为29.677 0，远小于最小二乘法，具有更好的稳定性，对应的模型用作预测相比使用最小二乘法要更可靠。

从提到的3个评价标准得出：相比最小一乘法，最小二乘法和累积法得到的模型平均误差小，累积法不仅可以确保拟合误差最小，而且比最小二乘法具有更强的稳定性。

例 2 参考文献[6]:

X ⁽⁰⁾=(5.77,5.049,4.20,3.427,2.971)

X ⁽⁰⁾选自某矿产地表沉降数据，为递减序列，对其建立DGM(1,1)，讨论方法类似例1，计算各评价指标，结果见表3。

表3 参数估计结果及误差比较
Table 3 Comparison of estimating parameters and error

同样地，从表3可以得出与例1相同的结论，同时，最小二乘法相关矩阵的条件数为2 785.319 7，而累积法为175.487 8，远小于最小二乘法，故使用累积法估参更稳定，不仅可以保证误差小，而且有更强的稳定性。

4 结束语

简述一阶离散灰色模型GM(1,1)中3种参数估计方法的基本思想，然后通过实例进行比较，结果表明:对于递增序列，最小二乘法和累积法得到的模型平均误差要比使用最小一乘法得到的模型小，同时，累积法不仅可以确保拟合误差最小，而且比最小二乘法具有更强的稳定性，此外，仍需进一步对其他类型的数据进行讨论。

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Comparison of Three Methods for Discrete GM (1,1) Parameter Estimation

ZHANG Peng

(Science Department ,Taiyuan Institute of Technology ,Shanxi Taiyuan 030008,China)

Abstract :Aiming at estimating parameter and model stability in the discrete GM(1,1), this paper discusses three methods: the least square method,the least absolute deviation and accumulating method. In order to compare the differences of different estimation methods, the same initial values are uniformly assigned. Taking fitting error, degree of relevance and conditional number as evaluating indicators, the paper uses the MATLAB software to analyze two kinds of instance data: increasing sequence and decreasing sequence. The results show that the accumulative method is better than the least absolute deviation and least square method in the aspect of error, and accumulation method is superior to least square method in the aspect of stability. In summary, the cumulative method is best to estimate parameters in GM (1,1).

Key words :discrete grey model; parameter estimation; model stability

中图分类号: F222； O159

文献标志码: A

文章编号: 1672-058X( 2019) 03-0048-04

doi: 10.16055/j.issn.1672-058X.2019.0003.09

收稿日期: 2018-09-07

修回日期: 2018-11-25.

* 基金项目: 太原工业学院青年科学基金(2016LQ07).

作者简介: 张鹏(1989—)，男，山西平顺人，讲师，硕士研究生，从事复杂系统建模研究．

责任编辑:罗姗姗

引用本文 / Cite this paper:

张鹏.离散GM(1,1)参数估计的3种方法比较[J].重庆工商大学学报(自然科学版)，2019,36(3):48—51

ZHANG P.Comparison of Three Methods for Discrete GM (1,1) Parameter Estimation[J].Journal of Chongqing Technology and Business University (Natural Science Edition),2019,36(3):48—51

标签：离散灰色模型论文;  参数估计论文;  模型稳定性论文;  太原工业学院理学系论文;