数学归纳法的第一步可能是艰难的或者是起决定意义的，本文主要内容关键词为：归纳法论文,或者是论文,艰难论文,意义论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
众所周知，数学归纳法的两步是缺一不可的.大家一般认为验证第一步的过程是比较容易的，所以在第一步多用“显然可得”“显然成立”等字眼一语带过，而把大部分精力集中在第二步，把第二步作为全题论证的关键.这是因为第一步作为奠基，由于涉及的具体数字比较小，结论显而易见，所以往往很容易验证.而第二步的归纳过渡并不会那么显然.首先，不完全是具体的数字运算，而是涉及有关k、k+1这样的字母运算，条件和结论都要比第一步复杂；其次，在归纳过渡的过程中必须要用到归纳假设，初学者要认识到这一点不太容易，因此大家把注意力集中在第二步是自然的.
然而这并不是绝对的.俗话说：“万事开头难”.有时候就像小孩学走路，独立迈出第一步是很艰难的，也是很关键的，只要迈出了第一步，那么迈出第二步、第三步就相对容易多了.可以说，迈出的第一步在他学走路的过程中是起了决定作用的.数学归纳法的第一步也有可能是颇为艰难的或者是起决定意义的.虽然越来越多的人对第一步重视起来，文[1]、文[2]、文[3]从不同角度阐述了数学归纳法第一步的重要性：第一步的证明不一定容易；第一步有时可给第二步以启发；第一步可成为第二步的推理依据；如何确定“已完成第一步”不见得总是轻而易举的.第二步固然重要，但第一步不仅是必不可少的，不容忽视的，而且有时可能是需要认真地动一番脑筋，甚至需要运用各种技巧和多种不同的数学工具的.本文通过举例希望能够说明这一点.
一、第一步可能颇为艰难但并不起决定意义
例1中的第一步学生若用“显然可得”，则肯定是投机取巧.这里的第一步并不是“显然可得”的，而是颇为艰难的.事实上，原命题者已考虑到这一点.原题把第一步独立出来作为题目的第一问，要求学生详细解答，这样做的目的，一方面是降低试题的难度，给学生思想方法上的引导，让学生做第二问的时候不至于束手无策，可以想到试一试数学归纳法；另一方面也是给考生得分的机会.当然也检验了学生对数学归纳法的掌握情况，特别是对第一步的重视情况.本题的证法有很多种，不一定用数学归纳法，就算用数学归纳法也不一定采用此种过程，但无论用哪一种方法证明都不太容易.本题引用这种方法旨在说明数学归纳法的“第一步可能是艰难的”.由于第一步的证明并没有给第二步以方法上的启发和指导，第二步的证明思路完全与第一步不同，因此在这里第一步并没有起到决定性的意义.
二、第一步可能起决定意义但并不艰难
在例1中我们感受到了第一步有可能是艰难的，但并没有起到决定意义.下面举例说明第一步虽不艰难但在整个证明过程中起到了举足轻重的作用.
例2 求证：任意的凸n边形（n≥4）都可以变形为和它等积的三角形.
证明：（1）当n=4时，设有一任意凸四边形ABCD，如图1，连接AC，过D作DE//AC，交直线BC于E，连接AE，则易见：△ACD的面积等于△ACE的面积，故△ABE的面积等于四边形ABCD的面积，△ABE即为所求的三角形.
例2中数学归纳法的第一步难度并不算大，但第一步却为第二步提供了思维方法上的指导.第一步想到把四边形减少一条边变为与之等积的三角形，则第二步从k+1边形到k边形也可以减少一条边变为与之等积的k边形，思路完全与第一步一样.因此我们可以说第一步在这里起到了决定性意义，第一步解决了第二步便可迎刃而解.
本题是与正整数有关的命题，可以考虑采用数学归纳法.但本题是一个构造性的问题，难就难在怎样构造这个数列才可以使结论递推下去.第一步本来是对于任意的自然数
都是平方数，但是如果这样轻易选择的话，接下来的第二步就不知道该如何进行下去.因此本题的第一步就显得至关重要，关系到第二步能否顺利进行下去.第一步在本题中起到了决定性的作用，但第一步验证是很容易的.
在数学归纳法中，有时需要把结论加强，去证明更强的结论.结论加强后，归纳假设也加强了，手中握有更多的条件，证明反而变得容易了.但此时第一步的奠基就得多费些工夫，显得尤为重要，成了证题的关键.第二步只需验证或者检验，相比之下反而显得容易多了.
三、第一步可能既是艰难的也是起决定意义的
本文的例1说明了第一步可以是艰难的，例2和例3说明了第一步可以是起决定意义的.现在我们可以通过下面的两个例子看到第一步不仅可以是艰难的，而且在整个的证明过程中是起决定作用的.
例4中第一步是不容易的，首先用到了分类讨论的思想，全部相等的情形容易验证，但一般的情形要费一番工夫.首先不失一般性，利用对称性假设了
的一个大小关系，再利用条件得到
的值为1，这就为证明找到了突破口.接下来的证明也就稍微顺畅一些了.此处还用到了换元的思想，这也为第二步做好了思想方法上的铺垫.由此可见，第一步的证明虽然只涉及3个数，但也是很不容易的.第二步的证明思路和第一步类似，有了第一步的证明经验第二步的证明就容易多了.只是在第一步可以得到
的值，在第二步则需要利用归纳假设.因此，本例中第一步不仅是艰难的，还在整个证明过程中起到了决定作用.
例5属于不等式的证明，难度不小.第一步要证明的不等式就不简单，可谓来势汹汹.本例巧妙地运用了函数思想，把不等式的证明转化为求函数的最值问题不失为一种证明方法.那么如何转化呢？从同类数中分离出一个作为变量看待，其他的作为常量，通过这种转化，本题的证明方向和思路就很明显了.而能想到这一点是需要一定的数学功底的.这里是利用求导函数的方法来求函数的最值，这在新课程实施下的中学也已经是常用的方法了.本例中第一步的证明是一个艰辛的过程，需要认真对待.这里第一步开启了第二步的证明思路.
例5能否用其他直接证法笔者尚不知晓，又文[4]、文[5]尚未收入不等式⑤，但⑤式确有用处.有兴趣的读者可以试着去推广⑤式于-1≤λ≤0以及
为任意实数的情况，本文不做详细推广.我们会发现柯西不等式、调和不等式为其特例.
当然，一般情况下，数学归纳法第一步是比较易行的，第二步才需讲究技巧.但本文旨在说明，这并不是绝对的，数学归纳法的第一步可能是艰难的或者是起决定意义的，甚至是两者具备的.本文举的例子便是很好的说明.
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