中学入学考试中一个关键问题的生活过程与认知_对角线论文

一道中考压轴题的命制历程及感悟，本文主要内容关键词为：中考论文,历程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      压轴题一般具有分数多、难度大、综合能力强的特点，如何命制一道高水平的压轴题，是命题者的数学修养和技术的体现.2014年浙江省台州市中考压轴题经过几番周折，最后打磨如下.

      题目（第24题）研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定.

      定义：六个内角相等的六边形叫做等角六边形.

      （1）研究性质.

      ①如图1，在等角六边形ABCDEF中，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么位置关系？证明你的结论.

      

      ②如图2，在等角六边形ABCDEF中，如果有AB=DE，则其余两组正对边BC与EF，CD与AF相等吗？证明你的结论.

      

      ③如图3，在等角六边形ABCDEF中，如果三条正对角线AD，BE，CF相交于一点O，三组正对边AB与DE，BC与EF，CD与AF分别有什么数量关系？证明你的结论.

      

      （2）探索判定.

      三组正对边互相平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证该六边形一定是等角六边形？

      一、命题立意

      综合浙江省台州市近几年的中考压轴题，命题组决定2014年压轴题的主色调是几何问题.那么几何压轴题一般考什么呢？考几何图形中动点、动线或动面型动态问题吗？几何与函数动态型综合题平常学生演练的多，命题者要避免这种应试倾向.“几何与图形”的核心是空间观念、几何直观和推理能力.空间观念主要指的是从日常生活中的实物特征抽象出几何图形，能够想象物体的方位和相互之间的位置关系，能用变换描述物体的运动等.几何直观简单讲是用形的直观性把复杂问题简单化.推理能力包括合情推理和演绎推理.合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论的正确性.试题应体现几何图形的核心价值.几何压轴题的形式要具备如下特点.

      （1）图形的背景新，是一道创新型试题.

      （2）图形看上去给人以美感，同时蕴含着丰富的几何性质.

      （3）图形应是从日常生活中抽象出来的，具有代表性，而不是凭空捏造的.

      同时试题还承载着命题者如下的考查意图.

      （1）考查几何的小公理化体系的思想.学生从定义出发，结合已学过的公理和定理等验证自己的猜想.

      用合情推理发现问题，用演绎推理验证自己的猜想，考查学生是否能用逻辑思维整理自己零乱的观点，并使之系统化.

      （2）考查基本活动经验和数学思想.通过对三角形和平行四边形等图形的学习，熟悉研究几何图形的一般思路.在数学思想上感受常用的思想方法，如特殊到一般、化归和类比、分类等思想.

      （3）问题设置起点低，让人人都有所收获；层次要分明，体现不同的人在数学上得到不同的发展.知识覆盖面广，注重核心知识和概念的考查，既考查结果，又关注过程，让静态知识和数学思考的动态过程做到有机地融合.

      有了上述这样的构思后，我们去寻找心中美丽的图形.

      二、命制过程

      1.定基调，寻图形

      三角形的家族中有没有我们所要寻找的图形呢？最容易想到的就是如图4所示的顶角为36°的等腰三角形，又称黄金三角形.它和正五角星有着内在的联系，作黄金分割点又可以结合相似三角形，但这样的图形，首先，背景不新颖；其次，以这样的图形为背景的试题在中考试题中又出现过.于是命题者把目光放在四边形中，有没有哪个特殊的四边形没有被研究过，于是很快就找到如图5和图6所示的有两组邻边相等的四边形，这样的四边形是一个轴对称图形，外形美观，在日常生活中利用这个图形可以制作风筝.

      

      则编制如下的试题.

      改编1：定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.

      （1）试用圆规和直尺作一个筝形（保留作图痕迹，不要求写作法）.

      （2）试写出除定义外的性质和判定猜想各一条，并从定义出发证明你的判定猜想.

      （3）在筝形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.

      ①如图7，BD=CO，E是CA延长线上一点，AE=AD，四边形BCDE是菱形，求tan∠BCD的值.

      ②如图8，若∠DAC=∠BCD=72°，求AD:CD的值.

      

      命题组很快发现这个题目是陈题，是2011年广东省佛山市的中考试题，原题如下.

      （2011年广东·佛山卷）阅读材料：

      我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物.

      比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形.

      试解决以下问题：我们对教材中特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单问题巩固所学的知识.

      如图9，我们把满足AB=AD，CB=CD，且AB≠BC的四边形ABCD叫做筝形.

      

      （1）写出筝形的两个性质（定义除外）；

      （2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明.

      命题组陷入困境，若放弃使用所选的图形，就要寻找一类新的图形，然而这类新图形在四边形中又很难找到，只能在五边形或六边形中寻找，但随着边数的增加，图形的复杂性也在增大同时，又要考虑到中考命题时间短，在寻找新图形时，找不到好题又浪费时间，于是命题组选择了坚持使用该图.

      2.续背景，变叙述

      每年中考考查的知识点基本相同，但年年都有好题，关键在于如何编题.于是命题组在原题基础上重新将其改造.

      改编2：如图10，P是矩形ABCD内部一点，分别作点P关于矩形四边所在直线的对称点E，F，G，H，依次连接这四点得到的四边形叫做点P关于矩形ABCD的反射四边形.

      

      （1）如果点P是矩形ABCD对角线AC，BD的交点，点P的反射四边形EFGH是什么四边形？证明你的结论.

      （2）若点P在矩形ABCD的一条对称轴上，试写出点P的反射四边形EFGH的边、角、对角线性质各一条：边的性质________；角的性质________；对角线的性质________.

      （3）若AD:AB=

，求点P的反射四边形ABCD的对角线EG和HF的比值及tan∠EFG的值.

      命题组在原题基础上对这个图形进行了深入的挖掘，把这个图形中蕴含的数学美挖掘出来.通过对黄金矩形的研究，探讨美丽的筝形，让学生在做题过程中感受什么样的筝形是美丽的筝形，同时对实际生活中如何制作出美丽的风筝给人以启发，做题也是启迪智慧的过程.同时第（3）小题中的两个小问，一问求对角线EG和HF的比，另一问是求tan∠EFG的值.这两问是结合相似三角形、一元二次方程等初中数学的核心知识，有一定的难度，作为压轴题可以起到很好的考查效果.

      3.重原创，再编题

      命制好试题后，命题组经过再三商讨，认为此题的框架和筝形的中考试题有内在的相似性，为了不影响考试的信度和效度，也为了对学生公平负责，命题组长决定继续换题，决定背景图形不再在四边形中寻找.命题组受到室内的正六边形地板的启发，通过退化正六边形，得到如图11所示的每个角相等的六边形，这样的六边形如图12所示是把两个全等的等边三角形叠放而成.正六边形常见于日常生活的地板、美丽的雪花，退化的六边形虽不常见，但也能找到它美丽的身影，如菠萝表面的镶嵌图案.

      

      改编3：定义：两个等边三角形叠放在一起，使它们的三边分别对应平行，如果重叠部分为六边形，则称这个六边形为规整六边形，其互相平行的边叫做对边.如图13，两个等边△ABC和△DEF叠放在一起，AB//DE，BC//EF，AC//DF，则图中的六边形MNPQRS是规整六边形，它的边

的对边分别为

.

      

      （1）试写出规整六边形不同于定义的性质和判定各一个.性质________；判定________.

      

      ②如图14，若两个全等的等边三角形任意叠成一个六边形，①中的等式还成立吗？说明理由.

      

      命题者只要思路清晰、主题明确，就能找到一个新几何图形，把命题的构思蕴含其中.上述从叠合六边形到等角六边形，命题组感到新创造的几何图形越来越接近命题者心中的美丽的图形，特别是第（3）小题中的第②问，是第①问的推广，等角六边形这个性质，推广到叠合六边形，体现出特殊到一般的思想.这里涉及的知识有相似三角形的判定和性质、等边三角形等初中几何与图形的核心知识，同时证明难度也比较大，符合压轴题的难度系数.

      4.续格局，终定稿

      经过研究，命题组觉得这个几何图形还有所欠缺，其背后有两个等边三角形伴随着，相当于告诉学生如何添加辅助线，题意不够含蓄.同时，新定义的语言烦琐，教材中平行四边形和矩形等都采用了“种+属差”的方式，于是修改了发生式的定义，保持与教材中的定义形式相统一.研究平行四边形从边、角、对角线三个维度展开，而上述的新图形没有对角线的性质研究.于是命题组把这个几何图形放在几何画板软件中定性分析，终于发现等角六边形对角线一般情况下不相交于同一点，当相交于同一点时，对边的长度是相等的.如何证明对边相等呢？其实这个证明有一定的难度，因为证明两条线段相等一般情况下采用三角形全等，平行四边形的对边相等，而这里的证明通过三角形相似的方法，通过旋转一周，发现相似比居然是1，终点回到了起点，这个证法独特，命题组感到兴奋不已.因为证明过程既是发现的过程，又是感悟数学美的过程，于是就生成了第（1）小题第③问.对图形性质探讨后是判定，等角六边形和平行四边形不一样，平行四边形图形简单，而等角六边形判定涉及的元素多，图形复杂，探讨判定比较烦琐，于是命题组设定在特殊的平行六边形情况进行探讨，对角分三种情况下进行讨论.几番周折，几番打磨，终于达到预设的目标.

      三、命题感悟

      有了想法就为试题寻找到了好的情境，情境是指考查的载体，采用情境不仅是为了体现数学与现实生活、科技或其他学科的密切联系，也是为了体现从情境到数学的数学化过程.有了想法和情境后，接下去设置问题的形式，设问是指试题的呈现形式，如探索性、开放性试题，层层设问，逐步递进等，每一个问题之间都要求有内在逻辑的一致性，这样才能使试题有良好的信度和效度，好的设问会引领学生走进数学美景的纵深处.

标签：对角线论文;  中考论文;  图形推理论文;  命题逻辑论文;  数学论文;