冯绍强[1]2003年在《解大规模非对称矩阵特征问题的精化Jacobi-Davidson类算法》文中指出在许多科学与工程计算中经常必需数值求解大规模矩阵特征问题，理论分析和大量的数值实验已经表明了求解此类问题的经典正交投影方法存在着Ritz值收敛而Ritz向量不收敛的严重隐患，为此，贾对经典正交投影方法进行了重大革新，使用精化向量取代Ritz向量作为待求特征向量的近似值，由此导出的精化投影方法不但克服了正交投影方法的隐患，使得算法的可靠性增强，而且收敛的速度也大大加快。 进一步将精化策略和求解大规模矩阵问题的其它重要技术相结合，研究和开发出更多更高效的新算法，是一个十分重要而且迫切需要解决的课题。本文正是在这一思想的引导下，对Jacobi-Davidson类方法进行了研究，全文共分四章： 第一章介绍大规模非对称矩阵特征问题的来源、解决这类问题的基本方法以及本学科的发展现状、最后介绍本文所作的工作。 第二章结合精化投影方法，对Jacobi-Davidson方法主要进行了两方面工作：第一，使用精化向量对修正方程组进行改进，以使求解子空间能够包含更多特征向量信息；第二，对重新启动方式进行改造，在重新开始时使用精化向量构筑新子空间的基底，这样做能够保留更多的已得到的特征向量信息，使方法收敛速度加快。数值实验对精化Jacobi-Davidson方法与Jacobi-Davidson方法进行了比较，结果表明新算法的有效性。还对Jacobi-Davidson方法的修正方程的求解性质进行研究，数值实验也显示了精化方法比常规方法在修正方程组在求解上具有优势。 第三章研究了精化调和Rayleigh-Ritz方法，对调和Jacobi-Davidson方法进行了改进，建立了新的修正方程组，得到精化调和Jacobi-Davidson方法。对精化调和Jacobi-Davidson方法的重新启动进行研究，给出了稠密重新启动的精化调和Jacobi-Davidson算法。数值实验将这种方法与调和Jacobi-Davidson及精化Jacobi-Davidson方法进行了比较。 第四章奇异值问题在数值计算上要转化为特征问题进行计算，在[46]中提出对增广矩阵使用Jacobi-Davidson方法来计算，并利用增广矩阵的特殊结构，提出JDSVD方法。本文对JDSVD方法进行了改进，利用精化方法计算近似奇异向量，并用它对修正方程进行改造，加快收敛速度。
陈桂芝[2]2000年在《解大规模非对称矩阵特征问题的一些精化算法》文中研究指明本文研究求解大规模非对称矩阵特征问题的一些精化投影算法、算法的收敛性以及算法的重新启动等问题．全文共分五章． 第一章介绍大规模非对称矩阵特征问题的来源、解决这类问题的基本方法以及本学科的发展现状．最后介绍本文所作的工作． 第二章研究精化Arnoldi方法的重新启动问题．对如何构照重新启动的求解子空间作了两点工作：第一，用所产生的精化Ritz向量的一种巧妙的线性组合构造出新的Krylov子空间的单位初始向量；第二，在新的子空间中保留用来逼近所求特征向量的精化Ritz向量．改进后的求解子空间为一增广Krylov子空间，该空间中包含更丰富的特征向量信息，因此用精化Arnoldi方法在该空间上求解矩阵特征问题时收敛速度更快．数值试验将这种重新启动的精化Arnoldi方法与隐式重新开始的Arnoldi方法（IRA）和隐式重新开始的精化Arnoldi方法（IRRA）进行了比较，数值结果表明这种重新启动方法的有效性． 第三章首先建立了用调合Rayleigh-Ritz方法求解非对称矩阵特征问题所得到的调合近似特征对的先验估计式；其次，提出并研究了精化调合Rayleigh-Ritz方法，给出了精化调合Ritz向量的误差界，建立了精化调合Ritz向量与调合Ritz向量之间差的上下界；第三部分研究精化调合Arnoldi方法．建立了由该方法所确定的近似特征对残量的先验估计式，给出了精化调合Arnoldi算法；第四部分讨论精化调合Arnoldi方法的重新启动问题，给出在一特定的增广Krylov子空间上的精化调合Arnoldi算法；最后对这种算法进行了数值实验，将其计算结果与隐式重新开始调合Arnoldi方法（IRHA）和隐式重新开始精化调合Arnoldi方法（IRRHA）的计算结果进行比较，结果表明了这种重新启动的精化调合Arnoldi方法的有效性． 第四章研究如何求在精化向量u_i（i=1，…,l）张成的子空间上的 Ritz值θ_i（i=1，…，l），并用其作为所求特征值的近似．当求解子空间是Krylov子空间时，给出了θ_i与Ritz值λ_i间的误差界，以及新的近似特征对（θ_i，u_i）与（λ_i，u_i）之间残量的关系式.最后给出了在增广Krylov子空间上如何求精化向量张成子空间上的u’值的算法，并对其进行了数值试验，数值结果表明这种选取近似特征值的方法的可行性及有效性． 第五章证明了反序隐式Q－定理．对非对称矩阵A进行Hessenberg分解V“AV＝G，其中G为次对角元为正数的上Hessenbers阵，V为n阶正交阵．隐式Q一定理表明，只要V的第一列给定，则V和 G是唯一确定的．我们证明了：只要V的最后一列给定，则V和G亦是唯一确定的．同时我们研究了截断的反序隐式Q一定理．结果表明了若Arnoldi过程产生的ArnOldi序列中最后一个向量给定，则Anloldi序列和相关的上Hessenberg矩阵是唯一确定的．本章还指出了ArnDldi过程的两种形式是等价和—一对应的．
吴钢[3]2001年在《解大规模非对称矩阵特征问题Lanczos方法的两种精化版本》文中提出在许多科学与工程计算中，经常必须数值求解大规模矩阵特征问题，理论分析和大量的数值实验已经表明了求解此类问题的经典正交投影、斜投影方法都存在着Ritz值收敛而Ritz向量可能不收敛的隐患。为此，贾对经典的正交投影和斜投影方法进行了重大革新，使用精化向量取代Ritz向量作为待求特征向量的近似，由此导出的精化投影方法不但克服了原有方法的隐患，使得算法的可靠性增强，而且收敛的速度也大大加快。 进一步将精化策略和求解大规模矩阵问题的许多其它重要技术或方法相结合，研究和开发出更多更高效的新算法，是一个十分重要而且迫切需要解决的课题。本文正是在这一思想的引导下，在下述几个方面进行了研究： 1．将精化投影方法的思想和拟精化思想相结合，提出了拟精化 双正交Lanczos方法，建立了拟精化近似特征对和精化近似特 征对对应的残量范数之间的关系，给出了拟精化双正交 Lanczos算法，并进行了数值实验，具体算例表明，该算法比 双正交Lanczos算法优越； 2．根据精化投影方法的思想，提出了半精化双正交Lanczos方 法，建立了半精化特征对和精化特征对对应的残量范数之间 的关系，给出了半精化双正交Lanczos算法，数值实验表明， 该算法比双正交Lanczos算法和拟精化双正交Lanczos算法 优越。
吴钢[4]2004年在《求解大规模非对称矩阵特征值问题的一些数值算法》文中指出求解大规模非对称矩阵特征值问题的一些数值算法 求解大规模特征值问题是当今科学与工程计算界的热点之一。最近一、二十年来，在大型非对称矩阵特征值问题的数值求解方面已经取得了巨大的进展。但是，仍然有一些问题没有得到彻底的解决。正因为如此，本文在如下方面做了一些工作： 在第一章中介绍了大规模矩阵问题的来源，解决这类问题的一些常用数值方法，并对本学科的发展状况作了简要回顾。 ABLE方法可以用于同时求解大规模非对称矩阵的特征值及其相应的左、右特征向量。可是，本文第二章中的收敛性分析表明它存在着即使求解子空间中含有比较好的特征信息，Ritz向量仍有可能不收敛的缺点。为此，在第二章中提出两种近似精化ABLE方法，它们分别采用拟精化向量和半精化向量来作为新的近似特征向量。由于受到存储量、计算量等因素的限制，在实际应用中往往需要采取重开始技术。因此，将一种由Morgan所提出的稠密重新启动技术推广到新方法中来，给出了一种动态稠密重新启动的半精化ABLE算法。我们分析了新近似特征向量的收敛性及它们同Ritz向量之间的关系，以及近似精化投影方法与经典的斜投影方法之间的联系，结论表明新方法在一定程度上能够克服原方法所存在的缺陷。数值算例表明了新算法的优越性。 位移求逆Arnoldi方法是计算大型非对称矩阵束在给定位移点附近的少数特征值及其相应的特征向量的一种常用方法。可是，理论分析表明此方法得到的Ritz向量的收敛性在理论上不能得到保证，因此，有必要寻找新的近似特征向量来替代Ritz向量。为此，在第3章中我们提出一种新策略对经典方法进行改进，通过它得到的近似特征向量的收敛性不但在理论上可以得到保证，而且该向量在某种程度上还利用到了定义Ritz向量和精化向量时“浪费掉了的”子空间span{v_(m+1)}中的有用信息，因此当求解子空间的维数m相对比较小的时候，新方法会是一个不错的选择，数值算例表明了新算法的有效性。 经典的块Arnoldi方法所得到的Ritz向量可能并不是特征向量的好的近似，而且经典算法有可能收敛得很慢甚至于不收敛。为了改进Ritz向量的性能，在第四章中我们将Jia和Elsner的一种策略推广到块Arnoldi情形。在新方法中，用Ritz向量和块Amojdi过程所产生的第(7n十1)个块基向量珠十，的某种线性组合作为新的近似特征向量。实际上，新向量是由Ritz向量和蛛十1的列张成的(p+l)一维子空间中的精化向量。新算法不仅在理论和实际计算中优于7n一步的块Arnoldi算法，而且比标准的(7n+l)一步块Amoldi算法所需的运算量少。我们还给出了新近似特征对的残量范数与Ritz对所对应的残量范数之间的关系，并分析了新方法的收敛性，结论表明新方法能够在某种程度上克服经典方法存在的缺点。数值算例表明，新算法通常要比经典算法优越。
梁娟[5]2006年在《解大规模非对称矩阵特征问题的一些理论与算法》文中研究表明本文研究求解大规模非对称矩阵特征问题的几个理论及算法。本学位论文共分四章。 第一章介绍大规模非对称矩阵特征问题的来源、解决这类问题的基本方法以及与论文有关的研究方向及发展动态，并概述了本文的主要工作。 第二章给出了调和Arnoldi方法的一种变形。经过m步Arnoldi过程，实际上产生的是m+1个基向量{ν_i}_(i=1)~(m+1)以及在这组基下的限制矩阵H_m。传统的调和Arnoldi方法用在空间span{ν_1，ν_2，…，ν_m}中求得的调和Ritz向量作为特征向量的近似，第m+1个基向量ν_(m+1)对于特征向量的计算没有任何贡献。改进后的调和Arnoldi方法保留调和Ritz值作为特征值的近似，而在近似特征向量的选取方面用产生的调和Ritz向量与第m+1个基向量ν_(m+1)的一种巧妙的线性组合作为特征向量的近似。理论分析表明了这种新的方法的有效性。最后，数值结果也验证了改进的调和Arnoldi方法的有效性。 第三章研究了改进的块调和Arnoldi方法。假设m步的Arnoldi过程产生的上Hessenberg矩阵H_m为不可约的，即H_m的次对角元都不为0，那么对相同的调和Ritz值，用Arnoldi方法只能得到一个线性无关的调和Ritz向量。不仅如此调和Arnoldi方法对于特征值稠密的情况，效果也比较差。为了能够更好地处理这一隋况，本文提出了改进的块调和Arnoldi方法。与标准的块Arnoldi方法相比，改进的块调和Arnoldi方法仍用调和Ritz值作为特征值的近似，而在特征向量的选取方面，充分利用Arnoldi过程所提供的基向量的信息，在m+1维块Krylov子空间中选取一个向量-称之为改进的调和向量-作为所求特征向量的近似。理论分析表明了这种新的方法更有效。 第四章我们对一种大规模特殊结构的矩阵-箭状矩阵的特征问题进行了讨论。
贾仲孝, 陈桂芝[6]2003年在《解大规模非对称矩阵特征问题的精化Arnoldi方法的一种变形》文中提出§1.引言 传统的投影类方法是计算大规模非对称矩阵特征问题Ax=λx部分特征对的主要方法,它们包括Arnoldi方法、块Arnoldi方法、同时迭代法、Davidson方法和Jacobi-Davidson方法,贾提出的精化投影类方法目前被公认为是另一类重要
董胜伟[7]2006年在《大型特征值问题的BJD方法研究》文中指出对于求解重特征值和密集特征值问题，通常一步迭代求一个近似特征对的方法都会因为问题的条件变“坏”而导致有效性下降。解决这个问题的手段很多，块方法是比较有效的一类。 Jacobi-Davidson(JD)方法是计算大型矩阵极端特征值问题的一种有效方法，但是当它遇到上述问题时，它的修正方程的系数矩阵会变得很病态甚至奇异。基于这一事实，本文研究了JD方法的块形式，提出了块JD(BJD)方法：选择一个块规模参数p，每次迭代都计算p个Ritz对而不是一个，对每个Ritz向量修正方程都做出校正，使得投影算子与所有的Ritz向量正交，从而避免了修正方程的系数矩阵条件变“坏”。 此外，结合精化策略和收缩技术，本文还提出了精化BJD(RBJD)方法和收缩的RBJD(DRBJD)方法。精化理论的分析表明，RBJD方法比BJD方法更有效，它改善了近似特征向量的收敛性态，提高了算法的收敛速度和可靠性；DRBJD方法减少了可能存在的重复运算，进一步提高了算法的效率。
康艳艳[8]2010年在《求解大型对称特征值问题的改进块Jacobi-Davidson方法》文中进行了进一步梳理块Jacobi-Davidson方法是计算对称矩阵重或密集特征值的有效方法之一。该方法可同时计算若干个极端特征对,但迭代过程中所产生的一些已收敛的Ritz对仍然会参加后续的迭代运算,这降低了该方法的总体收敛速度,其次,块Jacobi-Davidson方法在计算内部特征值时计算量较大。为了提高块Jacobi-Davidson方法的整体收敛速度,本文应用动态收缩技术,提出了动态收缩的块Jacobi-Davidson方法;为了计算大型对称矩阵的内部特征对,本文将调和Rayleigh-Ritz方法与块Jacobi-Davidson方法结合,提出了调和块Jacobi-Davidson方法,并将动态收缩技术应用于调和块Jacobi-Davidson方法,给出了动态收缩的调和块Jacobi-Davidson方法。校正方程的求解是块Jacobi-Davidson类方法的关键,本文通过使用校正方程的等价增广形式将校正方程转化为经典的saddle point问题,并对其使用适当的预处理技术。数值结果表明,动态收缩的块Jacobi-Davidson方法优于块Jacobi-Davidson方法,动态收缩的调和块Jacobi-Davidson方法能有效计算大型对称矩阵的内部重或密集特征值。
参考文献：
[1]. 解大规模非对称矩阵特征问题的精化Jacobi-Davidson类算法[D]. 冯绍强. 大连理工大学. 2003
[2]. 解大规模非对称矩阵特征问题的一些精化算法[D]. 陈桂芝. 大连理工大学. 2000
[3]. 解大规模非对称矩阵特征问题Lanczos方法的两种精化版本[D]. 吴钢. 大连理工大学. 2001
[4]. 求解大规模非对称矩阵特征值问题的一些数值算法[D]. 吴钢. 复旦大学. 2004
[5]. 解大规模非对称矩阵特征问题的一些理论与算法[D]. 梁娟. 厦门大学. 2006
[6]. 解大规模非对称矩阵特征问题的精化Arnoldi方法的一种变形[J]. 贾仲孝, 陈桂芝. 数值计算与计算机应用. 2003
[7]. 大型特征值问题的BJD方法研究[D]. 董胜伟. 解放军信息工程大学. 2006
[8]. 求解大型对称特征值问题的改进块Jacobi-Davidson方法[D]. 康艳艳. 南京航空航天大学. 2010