Value at Risk模型及其在香港股市中的实证分析，本文主要内容关键词为：实证论文,模型论文,股市论文,在香港论文,Risk论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：F830.91
一、引言
Value at Rist(VaR)是一种利用统计思想对风险进行估值的方法。通常，对一给定的置信水平，在正常的市场条件下，VaR度量了将来一定时间内最大可能的预期损失。在短短的过去几年中，VaR已成为一种最常用的市场风险度量技术。1994年J.P.Morgan投资银行首先推出了基于VaR的风险度量系统——RiskMetrics[TM][1]，该系统能测评全世界130多个国家的40多种金融工具的市场风险。同时，国际银行业的巴塞尔委员会[2,3](Basle Committee)利用VaR模型所估计的市场风险来确定其银行等金融机构的资本充足率。
在正态分布的假设下，RiskMetrics给出了计算VaR的方法。然而，对大量的历史数据的实证分析表明，资产的收益率不是正态分布的，而是有偏的、有峰的。如Zangaric[4]所指出，在正态假定下所计算的VaR，常常是低估实际风险。因为实际的资产收益率的分布较之正态分布有厚尾性(fatty or heavy tail)。因此，如何将这些特征包含的VaR的计算中，就显得特别重要。
到现在为止，已有很多度量VaR的模型与方法[5,6]。统计上，他们可以分成三大类：参数模型（如J.P.Morgan的RiskMetrics,GARCH等）；非参数模型（如Historical Simulation,Monte Carlo Simulation等）和半参数模型（TailIndex Estimator,Estimating Function等）。或者可分成条件的与非条件的模型，他们的主要差别在于对要考查的时间区间中的每一交易日，这些方法给出的是否是一个固定的VaR估值。静态的方差正态模型，尾指数估计模型属于非条件的，而历史模拟以及与GARCH有关的VaR度量模型等属于条件的。
这些模型对不同的投资组合，在不同的市场风险环境下，各有其优劣，其拟合收益率的好坏程度也不尽相同。这就需要做检验来判定某一模型对一投资组合其风险的度量是否恰当。在本文中，我们采用Kupiec[7]所给出的Back-test检验来判定某一VaR模型的有效性。
本文的构成如下：在第二部分，给出了Back-test检验的统计估值，在第三部分，给出了多种常用的计算VaR的模型，并结合香港恒生指数进行了具体的计算比较，在第四部分，我们给出了结果与评价。
随着投资组合中金融产品种类的增加，其风险分析将会变得非常困难。而对某一具体的投资组合，组成头寸的数据等有关信息也难以获得。在本文中，我们考虑的重点是VaR模型的实证分析，因此，我们考虑的投资组合为某一市场的股票指数。为了对模型进行Back-test检验，我们将样本分成估计样本与评价样本两部分。估计样本用来对模型中的参数进行估计，从而预测投资组合的VaR值；而评价样本用来对模型的有效性进行Back-test检验。香港恒生指数的估计样本取值范围是：1980.1.3～1995.9.20，共3931个数据，评价样本的取值范围是：1995.9.21～1999.12.30，共1000个数据。
二、Back-test检验
Back-test检验是一种用来检验某一VaR模型是否有效的方法。通过统计评价样本中实际的投资组合损失值大于VaR的次数，我们就可以得出该VaR模型在预测其真实的风险暴露时的好坏。计N为评价样本中投资组合的损失值大于VaR的次数。由Kupiec所给出的似然比检验，我们就可得到某一模型是否有效的接收或拒绝区间。设评价样本的个数为T，我们称N/T为失败率。将失败率与估计VaR值的左尾概率p进行比较。如果他们无显著差异，则表示我们所计算的VaR值是有效的；如果他们相差很大，则说明我们所采用的VaR模型是不适当的，应拒绝。对不同的左尾概率和评价样本的大小，下表给出了接收该模型的N的取值范围。从表中我们可以看到，左尾概率越小，越难于确定偏差，特别是评价样本的个数较小时。
表1 基于Kuipce的Back-test检验的非拒绝区间
评价样本的大小
左尾概率(%)
250 500 7501000
57≤N≤19
17≤N≤35
27≤N≤49 38≤N≤64
11≤N≤6 2≤N≤9 3≤N≤13
5≤N≤16
0.5 0≤N≤4 1≤N≤6 1≤N≤82≤N≤9
0.1 0≤N≤1 0≤N≤2 0≤N≤30≤N≤3
0.01 0≤N≤0 0≤N≤0 0≤N≤10≤N≤1
三、Value at Risk估计模型
在这一部分，我们就香港恒生指数用不同的VaR模型计算了其收益率在未来一天之内的最大可能的变化。首先我们考虑参数模型，其次是非参数模型，最后是半参数模型，左尾概率的取值从5%到0.01%共5个值。
（一）参数模型
(1)正态分布
如同大多数VaR模型，在RiskMetrics中，假定收益率的分布是正态的。尽管这与实际情况不相吻合，即金融资产收益率的分布与正态分布相比具有厚尾性。但由于正态分布所具有的一些特性，如参数的估计简单易行、分布的可加性等，使其仍被广泛的使用。
如果收益率r[,t]满足：
r[,t]～iid N(μ,σ[2])(1)
则VaR能很容易地表示成：
VaR=μ+σΦ[-1](p)(2)
其中p是左尾概率，Φ(·)是标准正态分布函数，参数μ和σ可由极大似然估计而得到。对香港恒生指数，参数μ和σ的估计如表2所示，VaR的估计如表3所示。表3中星号(*)表示依据Kupiec的Back-test检验，在95%的置信水平下，VaR的值被低估，失败率与左尾概率有显著的差异。以下的含义相同。
表2 参数的估计
正态分布 t－分布
μ
σ μ
γ n
估计值0.000609
0.018290
0.001123 0.011066 3.270373
误差0.000214 0.000223 0.181948
从表3中，我们可以看出正态分布假设的不恰当性。左尾概率越小，失败率与左尾概率相差越大。这意味着在分布的尾部，VaR的值被低估，这与已有的判断“股票市场收益率的分布具有厚尾性”相一致。由Kupiec的Back-test检验，应拒绝正态性假设。
(2)t－分布
由于正态模型低估了尾部的VaR值，很自然地我们希望能用一个具有更“厚”的尾部的分布来拟合收益率的分布。即该分布相对于正态分布而言，在尾部具有更多的实现。t分布能用来处理这类被称为具有峰度的问题。t分布由3个参数确定，即位置参数μ，刻度参数γ>0和自由度参数n>0。n值越小，尾越厚。这里t分布的密度函数为：
对t分布，VaR的表达式为：
VaR=μ+γF[-1,n](p) (4)
其中F[,n](·)是标准t分布的分布函数。然而与正态分布相比较，t分布的参数μ、γ和n的极大似然估计无显示的分析表达式，其似然函数的极大化只能用数值化的方式实现。对香港恒生指数，其参数μ、γ和n的估计如表2表示，VaR的估计如表3所示。
表3 VaP的估计值与失败率
左尾概率
正态分布 t－分布
(%) VaR值 失败率(%)VaP值失败率(%)
5 -0.029475 6.1 -0.024065 8.7*
1 -0.041490 2.3* -0.045949 1.7*
0.5-0.046503 1.8 -0.059489 0.9
0.1-0.055911 1.1* -0.099110 0.2
0.01
-0.067412 0.6* -0.203998 0.0
如表3所示，当左尾概率为5%和1%时，其失败率与左尾概率不一致，由Kupiec的Back-test检验，应拒绝模型假设；当左尾概率更小时，其失败率与左尾概率无显著差异。这表明在尾部用t分布来拟收益率的分布优于正态分布，越是在尾的后部，由这种具有厚尾的分布（t分布）所度量的尾概率越精确。
(3)GARCH模型
静态模型的一个主要缺陷在于其没有考虑收益率的变易率聚类性[8,9](volatility clustering)。变易率不仅随时间t变化，而且常常在某一时间段连续出现偏高或偏低的情况。目前，人们常用GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，广义自回归条件异方差性）模型来描述这一特性，这是ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，自回归条件异方差性）模型的推广。
在GARCH模型中，设ε[,t]为一扰动项，即定义在t-1时刻的信息集Ω[,t-1]上具有零均值的随机变量，信息集Ω[,t-1]包括t-1及其以前各时刻的所有信息。设σ[2,1]为ε[,t]在Ω[,t-1]下的条件方差，则对于一般的GARCH(p,q)模型，σ[2,1]可以写成：
其中σ[2,i]中包含p个条件方差滞后项和q个平方扰动项，ω>0，β[,i]≥0，α[,j]≥0。可以证明，GARCH(p,q)过程是二阶矩平稳的充要条件是系数和：
。如果sum<1，则条件方差具有平均反演性(mean inversion)。即经过一次振荡后，条件方差最终会收敛到非条件均值ω/(1-sum)。sum的值越小，收敛速度越快；若sum≥1，振动具有持久性或放大性。在本文中，我们将扰动项看成是对收益率均值的偏差，即r[,t]=μ+ε[,t]，则ε[,t]可表示成ε[,t]=σ[,t]ν[,t]，这里ν[,t]是一具有零均值、单位方差的iid随机变量，如标准正态分布等。
大量的实证分析表明，用GARCH(1,1)模型就能很好地描述变易率聚类这一特性。此时σ[,t]为：
σ[2,t]=ω+αε[2,t-1]+βσ[2,t-1](6)
其中ω>0，α≥0和β≥0。该σ[2,t]表示式说明用GARCH(1,1)模型能很好地描述变易率类这一特性。即如果当期市场是波动的，则下一期的波动将会大，而且它会随当期收益率偏离均值的程度而加强或减弱；反之，如果当期的波动率小，则下一期的波动率也会小，除非当期收益率严重偏离均值。
为了对模型中的参数作极大似然估计，我们假定扰动项ε[,t]服从正态分布，即：
ν[,t]～iid N(0,1) (7)
则有：
ε[,t]｜Ω[,t-1]～N(0,σ[2,t])(8)
将GARCH(1,1)模型用于香港恒生指数，其参数的极大似然估计如表4所示，VaR的估计如表5所示。
表4 GARCH(1,1)模型的参数估计
μ ω α β
估计值 0.0014301.39E-050.1867710.781137
误差
0.0002066.04E-070.0056350.005700
从表5我们可以看到，由GARCH(1,1)模型所估计的VaR值，其失败率与左尾概率相一致。这表明GARCH(1,1)模型很好地反应香港恒生指数收益率的变易率聚类性，由Kupiec的Back-test检验，用GARCH(1,1)模型来估计香港恒生指数收益率的变化是适当的。
（二）非参数模型
与参数模型相比较，在非参数模型中，没有分布的假定。历史模拟模型[10]（Historical Simulation，简记为HS）作为一种常用的对VaR进行估值的非参数方法，它仅利用收益率的过去值来预测其将来值。该模型的好处是基本上不需要对收益率的分布作任何假定，且易于实现。它所基于的主要假定是在整个样本期间，投资组合的收益率的分布不变。其计算VaR的步骤是：将估计样本中的收益率按由小到大的顺序进行排序；用样本数乘以相应的左尾概率并取整；将此数所对应的收益率作为VaR的估值。将HS模型用于香港恒生指数，得到的VaR的估值如表5所示。
然而，用HS模型对VaR进行估值，其主要的问题在于极收益率的离散性。我们知道。VaR估值其准确性依赖于对收益率分布的描述，特别是尾部的分布，即极事件的描述，因而这些极收益率在VaR分析中具有特别重要的作用。而极收益率的值是离散的，因而由此计算的VaR值也是离散的，从而会造成对VaR的低估或高估；另一方面，由于HS模型对所选取的各个样本赋于同样的权重。因而将某个历史数据从样本中排除会造成VaR估值的突然改变，而且由于在HS模型中，是用事件出现的频率来代替概率，故所选取的样本大小也会对VaR的估值产生大的影响。
从表5中我们可以看到，对香港恒生指数，用历史模拟模型进行VaR估值，其失败率与左尾概率基本相一致。通常，当样本个数太小，即小于左尾概率的倒数时，无法用HS模型进行VaR估计，除非样本的个数足够多，否则HS模型无法对极事件的风险进行预测。
表5 VaR的估计值与失败率
左尾概率
CARCH(1,1)模型 HS模型
(%) VaR值 失败率(%) VaR值 失败率(%)
5 -0.029082 6.2
-0.024718 8.5*
1 -0.046351 1.6* -0.052292 1.2*
0.5 -0.055893 0.4
-0.067353 0.6
0.1 -0.067557 0.2* -0.114051 0.1
0.01-0.077682 0.1* -0.405422 0.0
（三）半参数模型
(1)尾指数估计模型
历史模拟法的最大好处是不需对收益率的分布进行估计。然而，该方法也存在着不足。如前所述，当左尾概率小于样本个数的倒数时，无法进行VaR估计；其次，经验分布函数是分段函数，因而越是接近分布的尾部，用这种离散函数去近似真实的函数会引起较大的偏差。而风险管理主要考虑的就是极端的情况。历史模拟模型的这些不足可以通过用光滑的函数来拟合真实分布的尾部特征而加以改进，这就是尾数估计[11]。
可以证明，对每一个具有厚尾的分布，其尾部都具有Pareto分布的尾部特性：
F[,α](x)=1-s[α]x[-α], x>s(9)
其中α称为尾指数，s称为阀值。超过阀值时，尾部的Pareto性成立。假定｛X[,i]｝是一单调递增的顺序统计量序列，由Hill[12]估计量，尾指数的估计如下：
其中M是一超过阀观测值X[,M+1]的随机数。当M和尾指数被估计后[10,11]，分位数的估计为：
将此方法用于香港恒生指数，其VaR估计如表6所示。从表中我们可以看到，当左尾概率小于等于1%时，相应的失败率与左尾概率无显著差异。由Kupiec的Back-test检验，尾指数估计模型对香港恒生指数收益率变化的估计是有效的。对5%的左尾概率，相应的失败率明显偏大，表明VaR值被低估。
(2)估计函数模型
如前所验证，收益率的分布是非正态的，时间序列具有偏度(skewness)和峰度(leptokurtics)，其尾部其有比正态分布更厚的尾。因此，如何将这些信息容入VaR模型中就显得特别重要。在估计函数模型[13](Estimating Function Model)中，包含了前四阶矩以便以将偏度与峰度直接容入到模型中。同时它既没有参数模型那样强的限制，也没有非参数模型，如蒙特卡罗仿真模型所需的计算量。
对一随机变量X，其偏度和峰度定义为：
γ[,1]=E(X-μ)[3]/σ[3]
γ[,2]=E(X-μ)[3]/σ[4]-3(12)
定义如下两个基本估计函数：
h[,1]=X-μ
h[,2]=(X-μ)[2]-σ[2](13)
但h[,1]与h[,2]是非正交的。利用Doob[4]的正交化方法，可构造一正交于h[,1]的正交化估计函数：
h[,3]=(X-μ)[2]-σ[2]-γ[,1]σ(X-μ)(14)
对于h[,1]与h[,3]的线性组合：
l[,u]=αh[,1]+βh[,3](15)
基于估计函数理论，Godambe与Thompson[15]证明了最优组合系数α、β的取值为：
通常，
近似于标准正态分布，
的相对于左尾概率p的分位数为：
将此方法用于香港恒生指数，其VaR的估计如表6所示。
表6 VaR的估计值与失败率
左尾概率尾指数模型 估计函数模型
(%) VaR值 失败率(%) VaR值 失败率(%)
5 -0.025366 8.2*
-0.027859
6.9*
1 -0.049914 1.5*
-0.041667
2.5*
0.5-0.066807 0.6-0.047048
1.8*
0.1-0.131460 0.1-0.058822
1.0*
0.01
-0.346233 0.0-0.074798
0.4*
从表6中我们可以看到，由估计函数模型所计算的香港恒生指数收益率的VaR值，除5%的左尾概率水平外，其余都被低估，失败率与相应的左尾概率存在显著差异，由Kupiec的Back-test检验，此时应拒绝估计函数模型。但失败率比前面对应于正态分布的失败率更接近于左尾概率，这表明估计函数模型好于简单的正态分布模型。
四、结论
在本文中，我们给出了对VaR进行估值的各种模型，并就假想的仅含单个股指的投资组合进行了具体计算。为了对每一个模型的效果进行评价，我们采用Kupiec所给出的Back-test检验进行比较，其主要结果是：
(1)对股指收益率进行VaR估计时，最重要的是变易率聚类性。这一特性可由GARCH模型来描述。对很小的左尾概率（如0.01%），GARCH模型有效率地降低了平均失败率和整个区间上失败率的波动，同时VaR的平均估计值也是最低的。
(2)当左尾概率小于等于1%时，此时对股指收益率的分布的假设应考虑厚尾性，因而用t分布作近似比正态分布好。对5%或更大的左尾概率，正态分布的假定是恰当的。
(3)总体上看，用条件VaR模型进行预测时，其结果优于非条件VaR模型。这是由于在条件VaR模型中对t期的VaR估值时，模型包含了t-1及其以前各期的所有信息。这就是为什么在所考虑的所有的左尾概率上，GARCH(1,1)模型没有被拒绝，而且，在几乎所有置信水平上，GARCH(1,1)模型优于其它模型，其失败率与理想的失败率最接近。
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