“集宇宙”疑难论析，本文主要内容关键词为：疑难论文,宇宙论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B81 文献标志码：A 文章编号：1672-7835(2016)03-0031-07 doi：10.13582/j.cnki.1672-7835.2016.03.005 在关于集合论的哲学讨论中，围绕是否存在一个绝对确定的“所有集合的总体”(统称“集宇宙V”，简称V)，绝对主义者和相对主义者展开了长期争议：前者主张，V是绝对确定地存在的所有集合的总体；后者则认为V是不确定可扩展的，即断定所有集合的确定总体V可以用于定义更大的同型总体。这种相对主义观念主要由语义形式的罗素悖论而引起，该悖论表明，不可能存在一个集合论语言的解释，使得它的论域是一个包含所有集合作为其元素的集合。据此，需要不断扩展论域，如真类，超真类，超超真类……以获得集合论语言的解释，类理论语言的解释，超真类语言的解释……同时描述所有集合总体或所有类的任何理论，最终可被重述为描述集宇宙V的某特定层级。这样，V是不确定可扩展的(indefinite extensible)。绝对主义者则这样的论证进行了多方反驳。本文将着力辨析绝对主义和相对主义争论背后的理由与根据，在此基础上表明两者有可能达成某些共识，从而共同关注构建一个集宇宙V与它的表征“V”相关联的模态集合论系统。 1 集合与集宇宙V 康托尔曾如此描绘集合：“具有确定元素的每个总体可以由某规则形成一个整体”[1]916。该描述通常被理解为“集合是确定的复多……集合的唯一性或整体性就是：(1)集合中的元素形成一个确定的复多，(2)反之，每个确定的复多是(唯一)集合中元素的复多。”[2]其中“确定的复多”被理解为表达“元素的共存性(coexistence)特征”[2]，共存即“同时存在”。由此，(1)表明集合的存在性由集合中所有元素的共存性保证；(2)表明集合的唯一性由集合中所有元素的共存性来保证。 那么，能否类似地把所有集合的总体V说成，V是一个确定的复多，V的唯一性或整体性完全由所有集合的共存性来保证呢？由语义形式的罗素悖论已知，V不是集合。根据上述集合的解释，可进一步推断出，V中所有集合不像集合中的元素那样共存。由此能否根据“所有集合不能像集合中的元素那样共存”断定V不存在呢？相对主义者的回答是肯定的。如I.杰纳(Ignasi Jané)认为，由元素的共存性借助于形式演绎的证明足以区分集合与V，即集合作为确定的复多可以被设想为实际存在，V作为不一致的复多不可能存在[2]。 然而，绝对主义者指出，由元素的共存性和相对主义者的上述证明，只能表明集合与V的不同；如果集合等同于确定的复多，则只能断定V不是确定的复多，不足以断定V的不存在。如绝对主义者K.豪瑟(Kai Hauser)认为集合和V都存在，只是分属于不同的本体论范畴。它们由两个独立于人类心智的本体论原则——无限(apeiron)和有界(peras)决定[3]。无限原则所指的就是“set of”(“……的集合”)运算的不可耗尽性；有界原则体现为所有集合总体的划分模式(比如由限制原则得到各种阿列夫和超穷数类)。集合成为具有确定外延的完成总体，取决于无限和有界这两个本体论原则的有序互动；而在无限原则下，V成为绝对无限的“未完成的总体”，因为集合的迭代运算不可能有终点。更重要的是，这个区分揭示出，只有集合才成为“set of”运算的可能应用，而“set of”运算的不可耗尽性特征完全体现在V中，V则“被设想为所有可能性都得到实现的极大性，自身不再成为一种可能性”[4]。这意味着，所有集合在如下意义上具有共存特征：它们都是“set of”运算的可能应用。豪瑟认为，正是这种共存特征使得所有集合的总体V成为有别于集合的实体[4]。 相对主义者就此给予的反驳是，如果V在这种意义上被承认为实体，V就是不确定可扩展的。因为V既然是未完成的总体，那么当断定存在所有集合的确定总体时，描述的必定是V的某特定分层
，而不是V本身；根据“set of”运算的不可耗尽性，在下一个阶段
作为集合可以用于定义另一个更大的同型总体
，其中β＞α，由此可以断定V是不确定可扩展的。这样的论辩可见S.夏皮罗(Steward Shapiro)2003年的论文。在最近的文献中，
.林博(
Linnebo)和A.雷奥(Agustín Rayo)利用受囿的集合论与理想化类型论之间的保真转换，来证明集合论(本体论的)分层是不确定可扩展的[5]。文中他们提出“强并原则”，使得任意类型论语言的确定汇集都会成为一个新数，从而它的后继被创造出来，由此表明类型论分层的可扩展性。由于类型论与集合论存在保真的转换，可以断定集合论分层也是可扩展的。也有人试图避开绝对主义者和反对者这些传统争论，提议用plural术语阐明“并原则”来避免谈论关于汇集或总体的问题，其中“复数并原则”(Plural Principle of Union)类似于
.林博和A.雷奥的强并原则[6]。 但是，这些论证难以颠覆绝对主义者的主张。在绝对主义者K.豪瑟的观念中，把V说成未完成的总体并不意指它是不确定可扩展的潜无穷，而是它具有绝对极大性。豪瑟认为，V的极大性由形而上学上的最高存在形式——绝对无穷——来保证，即作为“可理解的数学符号”表征超越人类理解以及包含所有可能性的绝对无穷[3]。这意味着，V与集合之间的关系相当于形而上学上的绝对无穷与实体之间的关系。由于绝对无穷作为所有可能性的实现，比归属于它的实体具有更高程度的完美，可以推知V比集合具有更高程度的完美。 在笔者看来，由于K.豪瑟过分强调绝对无穷在反驳V是不确定可扩展潜无穷时的根本作用，而忽略了他另一个断定的力量，即生成集合的原则“本质上是认识论上的，而不是本体论上的。它们是认识(集合)的工具，而不是生成(集合)本身的工具”[4]。这个断定隐含了，当相对主义者提及可用于定义更大总体的“所有集合的确定总体”时，后者并不就是V。原因是它们源于具体的生成原则，而这些生成原则与构成V中集合的“set of”运算在认识论上具有表达关系。因此，关于“所有集合的确定总体”，更恰当的描述是，它们是对V的表达或例示，即任意累积分层阶段α上的“
”，它在累积分层下一个阶段成为“集合
”，而不是集合本身。现在能否由任意阶段上的“
”可以定义更大的总体“
”来判断V是不确定可扩展的潜无穷？答案是否定的。由所有“
”“
”……构成的是集宇宙V的语义表达“集宇宙V”，而不是V本身。由于形成任意“
”的具体原则旨在展现“set of”运算的不可耗尽性，因此例示V的各种语言资源“
”“
”……构成的“V”本身是开放的，或者说，它是未完成的总体。由此可以断定，相对主义者所论证的，应是语义学上的“V”具有不确定可扩展性。总之，断定绝对无穷的存在并不有助于表明V是绝对确定的总体；“集合”的具体生成原则与“set of”运算之间的表达关系，则有助于说明语义学上的“V”的不确定可扩展性。 2 集宇宙V的绝对极大性 经上述讨论可以看出，绝对主义者豪森与相对主义者林博之间至少可以达成如下共识：类型论的开放性以及它与集合论分层之间的保真转换可以推出，集合论分层是不确定可扩展的，只要承认这个集合论分层不是V本身，而是语义学上的“V”。但是，林博在2010年和2013年的文章以及他与雷奥合作的2012年和2014年的文章中始终强调，本体论上的V具有不确定可扩展性。他们认为绝对主义者的观念存在这样的不对称性：绝对主义者一方面断定V是绝对极大的确定总体，尽管无矛盾但难以被指称；另一方面又允许由具体生成原则形成的集合汇集在一起指称这个V[6]。这种不对称性似乎的确构成对绝对主义者的挑战。毕竟，即便V的绝对极大性取决于它与绝对无穷之间形而上学上的依赖关系，V理应与讨论“集合”形成时可利用的各种语言资源也密切相关，否则当谈论“V”是不确定可扩展时，V的绝对极大性与我们谈论集合论语言有什么关系呢？尤其，有必要预设一个绝对无穷存在吗？ 就有无必要预设绝对无穷存在的问题，相对主义者杰纳曾反问道，“如果一个复多的所有元素都居住在相同的宇宙中，它们如何可能是不共存的？”[2]也就是说，一旦预设绝对无穷，就无法解释V中的所有集合不共存的问题。原因在于，绝对无穷如果存在，就表明V中的所有集合是可以共存的。然而，集合论悖论已经表明，所有集合不可能同时存在。因此，绝对无穷导致作为一致复多的集合与作为不一致复多的V之间的区分不能令人信服。但是杰纳的断定存在层次上的混淆。他认为V处于绝对无穷中，而豪瑟表明V与绝对无穷之间仅仅是表征关系，这说明构成V的所有集合不可能居住在绝对无穷中。因此，即便断定绝对无穷存在，绝对主义者也不可能承认“所有集合既共存又不共存”这样的矛盾命题。这意味着，杰纳并没有成功拒斥绝对无穷的存在。 然而，绝对无穷的存在对于描绘语义层面“V”的不确定可扩展性是不必要的。因为，“V”完全取决于形成“集合”的生成原则以及它们对“set of”运算的表达，而且正是“set of”运算的不可耗尽性，使得描述“集合”的各种语言资源实际上是可扩展的。问题的关键在于，现在能否借助于林博和雷奥的如下条件句，断定V本身是不确定可扩展的： (A)IF-THEN：如果证明没有最终答案回答什么(语言)资源可能用来描绘集宇宙的问题，那么也没有最终答案回答到底集合概念(或V)能发展到多远的问题[6]。 首先考虑，是什么决定“没有最终的答案回答什么样的语言资源可以用来描述V”这个前件？他们在2012年的文章中证明，这个前件取决于有一个保真转换的不确定可扩展的类型论仿本[5]。S.弗洛里奥(Salvatore Florio)和夏皮罗在2014年的文章中表明，林博和雷奥提出的两个决定类型论开放性的原则类似于康托尔提出的两个生成集合的原则[7]。此外，已知形成集合的生成原则旨在表达或体现“……的集合”运算的不可耗尽性。林博和雷奥的上述条件句就转化成： (B)IF-THEN*：如果例示或指称V的“集合”没有终点，那么V就没有终点。 显然，林博和雷奥认为描述V的“集合”对判断V是否不确定可扩展性具有决定性的作用，而不是绝对无穷。但是，即便不承认绝对无穷，这个IF-THEN*条件句仍不成立。原因是，例示或指称V的“集合”没有终点是由于生成它们的具体原则旨在描绘“set of”运算的不可耗尽性；然而V仍具有绝对极大性，因为只有构成V的集合才是“set of”运算的可能应用，V本身则超越了“set of”运算的所有可能应用，在这个意义上，它是绝对极大的。 因此，当林博和雷奥希望“用于描绘实在的(不变)特征(它构成集合论的主题)的集合概念(它的外延是V)越具包容性，实在的单一特征被划分成的对象就越多”[6]时，不应给V强加不确定可扩展性特征。V的包容性恰恰体现在它的绝对极大性特征上。也就是说，“set of”运算的不可耗尽性使得各种语言资源可能自由且充分地发挥它们的作用，以形成越来越强的“集合”；同时，V的绝对极大性又限制这些“集合”的自由，即它们理应描绘V，而不是其它。 总之，“set of”运算的不可耗尽性特征衔接了V和表达V的各种语言资源，并显示出V那种认识论上可理解的超越性特征：V本身是绝对极大的，同时如果任何确定的集合论语言的总体“V”得到断定，就可以用它定义更大的同型总体。 3 “集宇宙V”的不确定可扩展性 如果不确定可扩展性不是V的特征，而是表达V的集合论语言之语义特征，那么“V”的不确定可扩展性就可以被定义为： (C)断定任何确定的“所有集合的总体”可以用于定义更大的同型总体。 这个断定至少包含如下两个内容：(C1)描述集合的唯一性和存在性由元素的共存性保证；(C2)描述“set of”运算的不可耗尽性特征。 由于现在的流行观点把未形成集合的总体视为复数(plural)，即一些对象xx[8][9]，由此集合的存在性借助于素朴的复数概括原则和外延原则表达，而IE-Set(即集合的不确定可扩展性)则表达“set of”运算的不可耗尽性特征。如下列公式所示：
由上可知，[1]没有描绘集合取决于元素的共存性所涉及的内容，而且[1]和[2]彼此矛盾。关于矛盾的问题，林博[10]和斯达德(James Studd)[11]指出，[2]没有完全揭示出“set of”运算的不可耗尽性的内容，即本体论上集合的存在只是潜在地相对于元素的存在。由此，[2]被修订为[3]，即无论一些集合是什么，它们可能汇集在一起形成新集合：
这种模态形式的不确定可扩展性可以用于解释集合论分层的开放性。但是，如果集合论分层的开放性展现的是“V”的不确定可扩展性，那么他们的修正使得形成“集合”的表达和解释必须强加集合和元素间的潜在关系，从而遭到集合对元素的这种形而上学依赖关系是否有意义的质疑[12]。G.伍兹库诺(Gabriel Uzquiano)认为，描述集合论词汇的不确定可扩展性无需考虑集合与元素之间的潜在关系。断定集合潜在地相对于元素的存在，只是断定存在一个解释使得“元素可以汇集在一起成为集合”这个句子为真[13]。 由此，伍兹库诺构建了他的再解释累积分层。他引进了两个初始谓词α和≡，α表示“可汇集在一起”；≡表示“是…的集合”，并在此基础上构造了三个原则[13]：
按照本节开头“V”不确定可扩展性的定义，如果把α理解为对本体论上元素共存性的解释，≡理解为对本体论上“set of”运算的解释，那么前两个原则解释了集合的存在性和唯一性由元素的共存性保证的内容，第三个原则解释了“set of”运算的不可耗尽性的内容，即“V”不会有终点，也就是说，无论“集合”x可能是什么，存在一个谓词α的再解释，使得α(x)为真。现在，集合论词汇的不确定可扩展性说的是，无论怎么解释初始谓词“可以汇集在一起”和“是……的集合”，总可以给它们指派更全面的解释，使得可以被汇集在一起的所有对象形成一个新“集合”。G.伍兹库诺认为他的再解释累积分层已经完全描绘由“set of”的迭代运算得到的V的内容。 问题是，伍兹库诺的再解释累积分层是否需要涉及本体论上V的内容？尤其他所谓的解释是否恰恰表达林博等人描述的本体论上集合潜在地相对于元素而存在的内容？如果答案是肯定的，那么伍兹库诺所做的努力与林博等人的没有什么不同。如果答案是否定的，本体论上的V就可以直接被归约为三个原则描述的“V”。 伍兹库诺的回应是，本体论上集合与元素之间的关系或许应被视为代表关系[13]。这相当于说，本体论上集合仅仅代表元素的共存性。这意味着，无需在集合和元素之间强加“潜在地存在”或“优先于”这些不必要的限制。但是林博等人表明集合潜在于元素而存在，旨在展示“set of”运算的无穷迭代过程。因此，即便本体论上的代表关系成立，只要承认“set of”的迭代运算使得集合概念没有终点，伍兹库诺阐述的集合论词汇的不确定可扩展性似乎最终取决于V的不确定可扩展性。这不是伍兹库诺想要的结果。伍兹库诺想要的是，无需考虑集宇宙V是否不确定可扩展的问题。由于集合被视为论域上的代表，“set of”的迭代运算就转换为“……的代表”的迭代运算，由此得到所有代表的累积分层。此外伍兹库诺已经断定，集合的累积分层与他的再解释累积分层相符。由此推知，代表累积分层也与集合论词汇的再解释累积分层相符。伍兹库诺认为，这种相符表明集合论关心的不是描述集合，而是确定论域上的代表关系。结果就是，“集合论的本体论并不受制于‘set of’关系的本质……集合论的本体论可以被视作预先给定的，然后(只需)考虑该论域上的哪些关系是‘set of’谓词的恰当解释。”[13] 但是伍兹库诺只是在回避或延缓问题。因为理解集合论词汇的不确定可扩展性仍需诉诸于对V的解释，尤其V的绝对极大性由“set of”运算的不可耗尽性来决定时。当我们问，能否设想把α和≡的解释结合在一起形成集合论词汇的最终解释
和
？伍兹库诺的答案是，这种设想歪曲了他的再解释累积分层的开放本质。这种开放性源于人类不可能料想集合论词汇所有备选的解释，关键是
解释的V不可能是
解释的所有集合域的代表，所以
和
不会满足他提出的三个原则[13]。这个回应的好处是，在讨论集合论词汇的不确定可扩展性前假设了一个完全划定的范围V，使得任何更全面的解释始终保持不变。但是反过来，这个回应证实，即便只考虑代表关系，只要承认“……的代表”关系具有不可耗尽性特征，那么他不可能只根据语言就能澄清集合论词汇的不确定可扩展性，即根本没办法绕开V[14]。 进一步推知，当把V作为预先给定的范围时，伍兹库诺和林博等人一样，所做的努力只是更好地重述了绝对极大的V和“V”之间的断裂和鸿沟，而不是它们的关联。正如T.曼杜(Toby Meadows)指出的，“不确定可扩展性不止见证一个不断脱逃的本体论，它还表明人类不可能提供一个属于关系的完整理论。”但是，我们能否期望当任何技术上描绘“V”的不确定可扩展性时，除了涉及集合是什么以及表达“set of”运算的不可耗尽性，还应包含V和“V”相关联的内容呢？ 4 V与“V”关联的自然主义路径 由上述讨论可见，伍兹库诺关于不确定可扩展性的解释使得V自行其是，与人类无关。这个后果源于以一种外部视角看待集合论的本体论与表达它们的语言之间的关系，忽略了集合论实践中集合论词汇的不确定可扩展性已经涉及集合论本体论的内容。如果希望从内部视角考察集合论本体论与“V”的关联，一条启发性的线索就是反思集合论的实践。毕竟，无论绝对主义者或相对主义者试图对V做怎样的哲学反思或形式上的描绘，既然例示V的那些越来越强的“集合”总是在具体集合论实践中形成的，就说明涉及集合论的任何哲学思考都离不开对集合论日常实践的考察。这就是自然主义者的观点。 自然主义者P.麦蒂(Penelope Maddy)强调，集合论的哲学反思应当考察集合论的日常实践，去检验数学家们提出的一系列有效方法(概念、定理和证明等等)，如果发现它们是好的，就用极小的形而上学适应这个情形。关于集合的形成问题，她的答案是，“集合就是集合论描述的东西；这就是它的全部；关于集合的问题，集合论是唯一有关的权威。”[15]61她的支持者S.休伊特(Simon Hewitt)更明确地断定，“一些对象形成集合的信念被证成，当且仅当，当前最好的集合论确证这些对象的确形成集合”[16]。这个观念的好处就是可以发现，集合与表达它的“集合”已经被统一在集合论的实践中，集合即“集合”，“集合”即集合。 但是，自然主义者认为，“不存在普遍的集合概念包含(集合形成的)所有情形”[16]，任何已生成的集合“从根本上说只是一系列数学丰富性最大限度的有效追踪器”[15]82。这个主张有两个主要的缘由。首先，经证明，以可测基数为代表的大的大基数集合不能从涉及V绝对极大性的内在原则中产生出来，它们主要根据各自外在的理论优点而被承认。因此，相比于承认一个绝对极大的集合概念，他们认为，从数学丰富性的角度可以更好地解释所有已生成集合的合理性。此外，集合论实践是从实践出发，由下而上地探究集合的过程，如果一开始就承认一个绝对极大的集合概念，他们担忧会产生类似的鸿沟问题。假如不同意自然主义者的这个主张，就需要回答：能否从集合论的实践中演绎出一个与集合论实践目标相符的普遍的V来？这包含如下两个子问题。 第一个子问题是，源于外在证据的大基数(如可测基数)能否获得内在支持？反射原则(reflection principle)被视作集合论公理最合理的内在证成方式，它力图描绘集合概念的绝对极大特征，即： (D)关于集宇宙V的任何真断言
必定已经在V的某初始段
上为真。 自然主义者认为集合的形成旨在最大限度地追踪数学的丰富性，意味着在自然主义者眼中，集合的形成过程已经被设想为开放的，而且设想更大的数学丰富性总是可能的。那么能否说， (E)关于数学丰富性的任何断定，必定仅仅断定有限度的丰富性。 如果这个断定是合理的，只要把“数学丰富性”看作“V”，它就是反射原则。能把“数学的丰富性”比拟成“V”的关键是，V的绝对极大性并不取决于绝对无穷，而是取决于集合形成过程的超越性。这种超越性例示的是“set of”运算的不可耗尽性，这正是集合论实践中正在进行的事。 现在已知，由反射原则描绘的不同的逻辑复杂度，从最小的无穷基数ω开始，到不可达基数、弱紧致基数、不可描述基数等小的大基数被排成一个累积序列。但是可测基数在内的一些大基数独立于已有的反射原则。1976年，W.N.莱因哈特(W.N.Reinhardt)曾尝试构造强反射原则使得初等嵌套包含在集合的迭代概念中，但没有成功[17]。最近文献中，豪瑟和W.H.武丁(William Hugh Woodin)想出了其他的办法。他们认为，既然可测性借助于初等嵌套(大体上说的是，在所有集合的汇集V和V的子汇集M之间存在保值转换j，有关的大基数成为j的固定点，即j下的最小序数，其中涉及对V的指称)来描述，证明可测基数的内在合理性的可能路径就是表明从不可描述基数到初等嵌套的内在合理性，即先用初等嵌套重述不可描述基数，然后用反射原则证明可测基数的存在[4][18]。他们的证明表明，尽管可测基数由外在证据获得合法性，它依然包含在V中。 第二个子问题是，V在集合论实际研究中是否是必须的？比可测基数公理更强的大基数公理会否包含在V中？前一个问题的答案是，豪瑟等在上述证明中使用的量化句互逆性的方法在实际探究强无穷公理以及它们的推论时常常被应用到，比如考察由不同逻辑强度形成的整个大基数良序分层[19]。这种方法普遍要求能将某分层
上的语句
反射回V中。因此，如果自然主义者承认可测基数等大基数的存在，那么他们就不得不承认V在获得整个大基数良序分层中的作用。后一个问题的归纳性答案是，由于“set of”运算的不可耗尽性特征，已有的任何具体运算都不可能是“确定运算”这个概念本身的完全表达，因此设想更强的运算是可能的。但是它必须符合数学家们直觉上关于“什么无穷序列才是可能的明确预期”[4]，即所有集合的形成都应当包含在绝对极大的V中。 总之，如果同意自然主义者的观点，即集合论的哲学讨论应当考察集合论的日常研究工作，即便更强的集合暂时借助于外在证据获得支持，依然可以相信它必定包含在绝对极大的V之中，表明任何技术上描述集合论词汇的不确定可扩展性至少还应包含V与“V”相关联的内容。 5 结语 从绝对主义者的立场出发，我们发现，悬置绝对无穷有助于绝对主义者和相对主义者达到如下共识，即“set of”运算的不可耗尽性特征是衔接V和表达V的各种语言资源的关键。它一方面展示了V本身的绝对极大性，又使得断定任何确定的集合论语言的总体“V”总可以用来定义更大的同型总体。此外，修正的自然主义路径为进一步的技术工作提供了很好的根据，即不确定可扩展性的任何技术上阐明都应该考虑V与“V”相关联的内容。也就是说，人们应当考虑如何构建一个V与“V”关联的模态谓词集合论系统，使得我们可以期待越来越强的集合必定蕴涵在V之中。 致谢：本文曾在“第七届两岸逻辑教学与学术会议”(2015年11月于台湾大学)上作学术报告，感谢与会专家对本文的讨论。感谢张建军教授和杜国平教授对本文初稿提出的具体修改建议。
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