小学数学计算教学若干问题的思考与实践（下），本文主要内容关键词为：若干问题论文,小学数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
二、算法教学价值取向的多样性
至少有以下几种比较主要的价值取向.
1.强调算法的掌握
小学计算教学历来强调算法的掌握，近来之所以重提，一定程度上源于有文章披露，2009年对三年级学生的一次测试中设计了如下两道题目：
题目1：计算42×25.（目的是考查三年级学生是否掌握了两位数乘两位数的计算法则）
题目2：如右图，在34×12的竖式中，方框中的这一步表示的是（ ）.
A.10个34的和 B.12个34的和
C.1个34的和 D.2个34的和
（本题考查三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中每一步的含义）
测试结果是：在全国常模抽样测试中随机抽取了1664份样本，学生在题目1和题目2上的得分率分别是70.10%和43.09%.[1]
有学者撰文认为：“如何帮助占70.10%的能准确计算的学生，达到那43.09%懂得算理者的水平.这当然是可以讨论的问题.可是，作为全面把握未来走向的数学教育工作者来说，是否应该更加关注那29.90%不会算或者算不准的学生？”[2]
确实，我国学生一向以基本计算能力水平高著称，现在两位数乘法出现了如此低的得分率必然引起忧虑、引起质疑.
本文无意参与讨论，只想就70.10%的得分率作出切合实际的解读.
笔者所在区的四年级学生于2007学年初（实际上是三年级水平）参加“建立中小学生学业质量分析、反馈与指导系统”项目组的测试，试题中也有一题“计算23×32”，全区得分率为92.30%.
2009学年初参加该项目组的测试，试题中“计算42×25”与题目1完全相同，全区的得分率为87.90%.我们的判断是“特殊数据25惹的祸”.随后的抽样个别访谈证实了这一经验判断.不少学生看到25，想到简便运算.上海市教材乘法运算定律及其运用安排在四年级，参测时还未学习，所以错误率较高，教师们都没在意.当时笔者正在研究小学生的数学阅读与审题能力缺失问题，故特意用“竖式计算43×26”对同一批学生进行抽样测试，得分率是98.60%.经验判断得到了进一步的实证.
2010年同期再次参加该项目组的测试，同类试题“计算34×57”，全区得分率是94.10%.
可见，尽管当下的课堂，为理念而教的现象比较普通，但使学生正确计算这根底线，广大教师还是守得住的.即使在全国抽测，如果把题目1改成竖式，相信正确率也会在90%左右.据此分析，笔者以为，重视算法掌握仍是目前真实的主流价值取向.
有必要反思：为什么以竖式呈现正确率高，以横式呈现正确率低？除了与学生的审题能力、习惯有关之外，恰恰说明我们平时不太注意引导学生根据需要选择适当的计算方式.看来，上面陈述的计算方式多样化，值得我们借鉴、重视.
2.关注算法的探究
计算方法的得出本是小学数学比较适合进行探究性学习的主要内容，重视算法探究理应成为计算教学的主要价值取向.近年来，伴随“转变学生学习方式”或者更准确地说“完善学生学习方式”的努力，在计算教学中让学生经历计算方法的获得过程，已成为多数教师的共识.由此引出了很多话题，生成了一些值得探讨的问题，这里仅就其中的两个问题略陈己见.
其一，可否给出计算法则的结语
目前多数教材回避结语，据说是出现结语审查时会通不过.于是，有的教材采取变通的方式，通过插图，将完整的计算法则化整为零，采用儿童对话的形式予以呈现.
其实，数学与数学学习都不可能“去结论”.强调“数学活动”，突出“思维过程”、“探究过程”，重视学生的个性化表现，与抽象并概括结论、结语并不矛盾.结语过多、过滥固然不好，一概排斥、摒弃，也不是办法.实际教学中教材不出结语，教师也会引导学生自己总结，毕竟适当的结语常常是掌握算法、指导完成计算操作所需要的.即使某些一般化的结语学生概括有些困难，也可以先让他们自己尝试总结，说不好没关系，看看课本是怎么说的，体会一下怎样表达更确切、更完整，这本身就是一种思维活动、一种学习过程.
其二，是否只要学生发现了算法，就可以不讲算理了
例如，计算150×200.
“学生：先算15×2=30，再在30后面添三个0.
教师：说得真好！谁再来重复一遍？”
类似形式化的探究现象，在运算定律的教学中更是经常可见，似乎学生一旦发现了规律，探究学习即告成功.
上面转引的题目2，全国常模抽样得分率只有43.09%，这在过去是难以想象的，笔者所在区该题的总体得分率也不高（72.80%）.为什么两位数乘法的理解，会有如此多的学生出现困惑？这从一个侧面反映了形式化探究存在的问题.
对此又会生成一番争论，争论的焦点在于探究与理解、算法与算理是否都要，亦即“鱼和熊掌”能否兼得？
3.重视“循理入法，以理驭法”
有一种观点认为，算法即算理.对于数学科学来说，这是可以的.事实上，有的运算就是用算法来定义的.例如，分数乘法的定义：
既然是定义，就不妨视为规定，不再讲道理也是可以的.但对于数学教学来说，用这样的形式化定义代替算理，不太适合小学生的思维水平.也就是说，当我们把定义看作算法时，还有必要另外给出算法的解释即所谓的算理，让学生感到既有理可循，又有法可据，从而使学生在理解的基础上掌握算法，而不是只知道怎样算，对为什么可以这样算，说不出一点解释.尽管这样的解释从数学的视角看来大多只是直观说明，或者是联系生活经验的说明，但对小学生来说，却是令人信服的道理.这是中国数学教育的特色之一.
长期以来，我国小学数学教师关于计算教学的众多经验中，相当重要的一条就是启发学生“循理入法，以理驭法”.它的必要性在于：
一方面，“提高学生计算能力的内涵是，靠理解原理而不是靠牢记算法来保证正确性；靠巧思活用而不是靠不费思索的‘自动化’（20以内的加减法与表内乘除法例外）来达到一定的熟练程度”.[3]离开了理解，单纯训练学生掌握算法，充其量只是获得了一种操作技能.
另一方面，“计算方法是依据有关的运算性质将计算过程中的推理系统化和程序化，可以说是一种比较先进的逻辑推理形式”.
例如，两位数乘两位数的笔算竖式：
显而易见，右面的竖式实质上是一种经过简化的、合理的推理书写形式.
它的可能性在于：儿童心理学的研究表明，小学生的思维正处在由形象思维向抽象思维过渡的阶段，亦即抽象思维逐步发展阶段.皮亚杰的理论对此作了更细致的刻画：小学生的思维发展处在从具体运算阶段（7～11岁）到形式运算阶段（12～15岁）.皮亚杰认为，进入具体运算阶段的儿童获得了较系统的逻辑思维能力，包括思维的可逆性与守恒性，分类、顺序排列与对应能力，数的概念能在运算水平上掌握.这里的“运算”即“心理运算”，是指有守恒性前提的、可逆的、有逻辑结构的、内化了的心理动作.因此，小学儿童，特别是小学高年级学生，他们能够借助直观、借助现实情境，通过具体的实例来理解抽象的算法.
以上三种价值取向可以也应该并存：掌握算法是必须守住的底线；探究算法是课程改革的追求；理解算理是因材施教的体现，也是发展能力的基础.
三、算法与算理的相容性
1.从乘法口诀的理解与背诵说起
自上海参加国际学生评价项目PISA测试获三个第一以来，中国教育再次受到全球关注.国外的学者纷纷来访，试图了解PISA测试报告背后的真实，发现取得三个第一的“秘密武器”.笔者就曾接待了五位来自英国的数学教育工作者，他们表示，PISA测试代表着西方的评价标准，没想到上海能遥遥领先.交流中谈到，他们原以为中国的数学教育主要依靠记忆与操练，如背诵乘法口诀.现在知道中国数学教师有办法让绝大多数儿童自己编写口诀，这是基于理解的记忆，看来应重新评估中国的数学教育.
“在理解的基础上掌握”正是中国“双基”教学的特征之一.
2.算法与算理的相容性例谈
案例1 连续退位减法
以300-62为例.
不讲算理的教师自有“诀窍”——叫做“0上有点看作9”.即被减数个位是0，向十位“借”，十位是0向百位“借”，所以竖式的被减数上点了两个“点”.其中的十位按“0上有点看作9”的诀窍写上9.
这样，不讲为什么，学生只要按诀窍操作，也能突破连续退位的难点，正确计算.
主张“循理入法”的教师则各有各的办法.例如，利用“1元=10角=100分”的知识给出直观解释：
其中主要的说理过程是：被减数百位上退1作10，相当于拿出1元化作10角，十位上留9角，拿出1角化作10分给个位.受此启发，一般学生都能说清楚连续退位的过程：百位上退1作10到十位是10个十，其中一个十退1作10到个位，所以被减数百位上是2，十位上是9，个位上是10.元、角、分的类比，通俗、有趣，印象深刻，讲一遍也就记住了.笔者曾用以下试题考查效果：
计算1000-678，通常是把1000分成（ ）个百、（ ）个十和（ ）个一.
理解算理的学生不假思索就能填出正确答案.
案例2 一位数除多位数
以46÷3为例.
不讲算理的教师也有“绝招”——叫做“商、乘、减、落”.
采用“循理入法”策略的教师则采用小棒（或木块、木条，一条10块）作教具，通过操作、演示，使长除的过程步步有理有据：
先分“捆”：每份1捆，所以在商的十位上写1（即第一步，叫做“商”）；商与除数相乘，在被除数十位下写3（即第二步，叫做“乘”）；原被除数十位上4减3得1（即第三步，叫做“减”）；把原被除数个位上的6照抄下来（即第四步，叫做“落”）.
再分“根”：剩下的1捆6根是16根，每份5根，即再次“商”；商与除数相乘，在剩下的16下面写15，即再次“乘”；相减得1，即再次“减”（图示与竖式略）.
实践效果非常显著，看了演示，学生很容易感悟“分小棒”的过程与竖式计算过程的一致性.遵循着算理，“商、乘、减、落”的操作过程变得十分形象、生动.在此基础上，基于理解的计算练习使“以理驭法”落到了实处.
近年来，“循理入法”的教学过程又有新的发展，那就是“变一人演示众人看”为“人人动手探究”，小棒或木块、木条，由教具变成了学具，学生通过自己操作，感悟、印象都更深刻了.
然而，遗忘是自然规律，时间一长，部分学生算理淡忘了，记住的只是算法，这也正常.因为随着计算熟练程度的提高，思维必然发生减缩.
前苏联算术教学法研究者普乔柯有过实验研究：出示右面的竖式，问学生：竖式里两个部分的乘积哪个大？有的学生答：252大.
前苏联另一位算术教学心理学学者敏钦斯卡娅认为，其原因是数的“感受性”迟钝了.[4]她的建议是：将学生从不假思索的操作中拉回来.
其实，很多有经验的教师都有类似对策，适时引导学生重温算理，只是不知道这样的经验性教学行为原来早就有人做过心理分析.
有人把前苏联教育理论的心理学基础喻为“巴甫洛夫‘流口水的狗’”，把欧美教育理论的心理学基础喻为桑代克“关在笼子里的小白鼠”（其实桑代克发现“学习律”的实验动物是猫），并认为小白鼠实验比狗实验更先进、更高明.岂不知如今用狗、用小白鼠做实验都要受到动物保护主义者的谴责.对于教学第一线的教师来说，本质上是教育理论的消费者而不是教育理论的生产者，不管哪家的理论，它们的合理内核都能为我们提供借鉴.
限于篇幅，小学数学计算教学的其他问题，另文再作探讨了.