与中点有关的辅助线添加初探，本文主要内容关键词为：中点论文,辅助线论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
辅助线的添加是几何问题中的难点.笔者尝试以共顶点的双等腰直角三角形为主要研究对象，围绕与中点有关的辅助线添加问题展开探究，希望能有所突破.
一、学生盲点分析
学生学习了三角形中位线以及平行四边形等相关内容后，对与中点有关的辅助线的添加仍存在较大困难，主要有以下三种表现.
（1）只见显性中点，而看不到隐藏的中点；
（2）挖掘出隐藏的中点后，却不会将各中点条件合理地进行筛选与重组；
（3）构造出待证全等三角形后，常常是找边容易找角难，对于角相等的证明方法过于单一且不够灵活.
二、问题的对策
基于上述分析，笔者在教学中有意渗透了隐藏中点的概念，尤其是在直角三角形中，以任意一条直角边为轴进行翻折后（如图1），直角顶点均可“升级”为中点，它可以看作等腰三角形“三线合一”的逆用.但由于学生先建立的是正向思维，即学生只有看到等腰三角形才会想到“三线合一”，因此，这个隐藏的中点往往不易被挖掘.
对于中位线，除了已知三角形一边中点而取另一边中点的构造方法外，笔者还向学生介绍补全三角形，即结合直角顶点“升级”中点的方法，将直角三角形斜边中线“升级”为中位线（如图2）.
运用常见辅助线得到的规律性结论应随着学习的进程逐渐完善.如“倍长中线”，随着学习的深入可将其改进为“倍长过中点的线段”；当学生熟悉用“旋转构造全等三角形”的角度来欣赏这种辅助线后，通过平行四边形的学习，逐步认识到“倍长过中点的线段”构造一个隐藏的平行四边形（如图3），而这个结论在推导角度相等时非常有用.
三、例题初探
题目：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt △ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM.
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图4（1），探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图4（1）中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图4（2），那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.
这是一道证明线段相等且垂直的题目.学生习惯利用全等三角形来证明线段相等，于是，寻找待证全等三角形成为解题的关键.但在不添加任何辅助线的前提下，没有直接可以利用的全等三角形，学生便寻找隐藏的中点构造辅助线.
思路1：如下页图5（1），在直角三角形中，学生对斜边中线定理印象较为深刻，所以，点P、Q这两个隐藏中点可以很快找到，当中点超过两个时，学生会想到中位线，利用隐藏的平行四边形QMPA进行边的等量代换，确立了待证全等三角形△DQM与△MPB，但学生推导角相等时思维会受阻，或选择的方法不够简便.
笔者在教学中发现，利用基本图形“8字模型”（或称为“对顶三角形”）进行角度的转化，有利于推导角相等.于是，引导学生选用延长全等三角形一组无交点的对应边的方法，构造“8字模型”进行推导（如图5（2）），易得∠MQD=∠BPM，从而完成了证明.
思路2：证明线段相等时，学生往往不会首选“倍长过中点的线段”这一方法（如图6（1）），因为看上去好像使问题变得复杂了.实际不然，将两条线段的相等问题变为3条线段相等，这样的图形只有在等腰直角三角形中存在，所以，连结BD和BD′.要证明△D′BD是等腰直角三角形，缺少BD=BD′和∠DBD′=90°，但题目中已知“Rt△ABC，AB=BC”，若再连结D′C，证明△ADB∽△CDB即可（如图6（2））；当然，“倍长过中点的线段”就能构造平行四边形DCD′E（如图6（3）），那么全等三角形的证明就缺∠DAB=∠D′CB的条件了，利用“8字模型”（如图6（4））便可顺利得证.
思路3：利用直角三角形沿某条直角边所在直线进行翻折，利用直角顶点这一隐藏的中点解决问题也是学生比较容易想到的，如图7，并且结论较易证明（限于篇幅，证明过程略）.
本题还有其他证明方法，上述三种证明思路利用中点的辅助线添加策略解决的.
四、变式研究
教学中，笔者又将上述题目稍加改动，使得共顶点的双等腰直角三角形，更具有一般性.
变式：如图8，在Rt△ABC中，AB=AC，在Rt△ECD中，CD=CE，连结BD，取BD的中点F，连结AF，BE.
求证：AF⊥BE，且AF=
BE.
有了上面的铺垫，经过几分钟独立思考后，学生都确立了各自的研究方向，但总体上认为先求证线段间的倍分关系，然后证明位置关系的顺序较为合理.
关于线段倍分关系的证明，学生并不陌生，“长边折半”和“短边翻倍”是常用的方法.“折半”可通过直接取中点或者构造中位线的方法获得，“翻倍”可利用倍长或还原三角形升级中位线的方法得到.
学生最先想到的辅助线添加方法：如图9，将短边AF通过补全三角形，升级成中位线的方法，点A也从直角顶点变成线段中点，这种方法的证明较为容易.
学生从挖掘隐藏的中点中尝到了甜头，激发了探究其他辅助线添加方法的兴趣，但进程并不顺利.利用中位线将长边BE缩半得到FM，但△AFM是等腰直角三角形并不容易证明（如下页图10（1）），几位水平较好的学生思维也受阻，几分钟后，一位学生提示可以再次倍长MF至M′，利用平行四边形BEMM′和隐藏平行四边形BMDM′的性质，通过直角三角形中线长定理进行边的等量推导，发现△ABM′和△ACM有可能全等（如下页图10（2）），但推导角相等的方法过于复杂.
通过笔者提示，延长待证全等三角形中无交点的一组对应边，如图10（3），不难发现“8字模型”的存在，而MC⊥MB也由平行四边形BMDM′的对边平行得到.利用该模型易得∠ACG=∠GBA，那么∠ABM′与∠ACM相等就顺理成章了.
基于上述研究，学生思路被打开，纷纷展示自己或小组讨论的解题方法（如图11、图12、图13）.
通过一道例题及其变式，虽不能穷尽所有关于中点的辅助线添加方法，也不能立刻要求学生看到题目就顺利地添加辅助线，但关于隐藏中点的挖掘、倍长过中点的线段即构造平行四边形的结论，以及“8字模型”在推导角相等中的应用等，都应该梳理为基本思路教会学生掌握.