排列组合中涂色问题的破解策略，本文主要内容关键词为：策略论文,排列组合论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
作为能力考查型试题，排列组合试题一直充当着十分重要的角色，其中涂色问题作为排列组合中的典型问题，在考题中出现的频率很高。由于对同学们的思维要求高，故在解题时出现的问题很多。本文归类总结破解策略，旨在对同学们有所帮助。
一、简单涂色问题：以分步为主，分类为辅
例1 如图1，一个地区为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色。现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种。
图1
解析 本小题在各类资料上都能找到影子，但在所给图形变化后，需要有敏锐的观察力。本题的区域1较特殊，它与其他4个区域都相邻，故本题采用分步计数原理时，先涂区域1，有4种涂法；涂2、4区域时可同色与不同色，若区域2、4同色有3种涂法，此时区域3、5均有2种涂法，涂法种数为4×3×2×2=48种。若区域2、4不同色，先涂区域2有3种，再涂区域4有2种，此时区域3、5都只有1种涂法，涂法总数为4×3×2×1×1=24种，因此共有48+24=72种。
破解策略 简单的涂色问题可以直接用乘法原理处理，但附加条件较多时应根据已知条件将分步原理和分类原理结合。特殊的区域优先考虑，故本题先处理区域1，以分步为主，2、4区域和3、5区域处理时又作适当的分类，分步与分类相辅相成。
类比拓展 本题可类比为花坛种花，画画配色等。如将例1改成：如图2，一环形花坛分成A、B、C、D4块，现有4种不同的花供选种，要求每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为______。
图2
不难发现，本题虽是种花问题，但与涂色问题的本质是一样的，解题的关键是将4部分分步与分类相结合着色，答案为84种。
二、复杂涂色问题：以分类为主，分步为辅
例2 如图3，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______种。
图3
破解策略 首先考虑根据用色的多少来分类，尤其是用色多少要看题目的表达，本题若用3色时还需进一步分类，若没有最多使用3种颜色的条件，则问题较复杂，可作进一步思考，分类往往能将复杂问题简单化。
类比拓展 如图4，用5种不同的颜色分别为图中的A、B、C、D、E 5部分涂色，每个格子涂一种颜色，使用颜色种数不限且相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______种。
图4
本题由于有5个格子，相邻情况较为复杂，故根据用色数先分类后分步为好，答案为540种。
三、空间涂色问题：以平面为主，空间为辅
例3 如图5（下页），四棱锥P-ABED，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？
解析 这种立体化的空间涂色问题可转化为平面区域涂色问题，如图6（下页），区域1、2、3、4相当于4个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
图5
图6
破解策略 立体图形中的点线面涂色问题比较复杂，相邻区域比较多，一般可将立体问题平面化后再根据用色的多少来分类解决。
类比拓展 从给定的6种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每2个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？答案：
种。
例4 将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
解法1 满足题设条件的染色至少要用3种颜色。
(1)若恰用3种颜色，可先从5种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的4种颜色中任选2种涂A、B、C、D 4点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有
种方法。
(2)若恰用4种颜色染色，可以先从5种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的4种颜色中任选2种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有
种染法；再从余下的2种颜色中任选一种染D或C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有
种方法。
(3)若恰用5种颜色染色，有
种染色法。
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法2 设想染色按S-A-B-C-D的顺序进行，对S、A、D染色，有5×4×3=60种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A(C)、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有1×3+2×2=7种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是60×7=420。
解法3 可把这个问题转化成相邻区域不同色问题：如图7对这5个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的涂色方法？平面化后，用例3的方法可解。
图7
类似涂色问题 四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的2条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共点的2条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为()。
A.96；B.48；C.24；D.56
解析 可将立体的四棱锥转化为平面图形（如图8）。
图8
现记侧棱为1、2、3、4；底面上的边为5、6、7、8。由题意知，不可能有3种物品放在同一仓库，故先将编号为1、2、3、4的化工产品放入编号为①、②、③、④的4个仓库，有
种。余下的5、6、7、8化工产品放入时，6或7只能放入①号仓库，若放6，则④号只能放5，③号只能放8，②号只能放7；若①号放7，同理可知其他仓库只有一种放法，故余下的5、6、7、8化工产品的放入方法只有2种，所以安全存放的不同方法种数为
种。故选B。
点评 此类问题表面上类似涂色问题，但与涂色问题有较大区别，8根棱上的8种化工产品的安全性要求不完全相同，其中侧棱上的4种化工产品每种不能与其他5种同放，而底边上的每种化工产品不能与其他4种同放，故此类问题以树形图列举为好。
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