小学二至六年级数学困难儿童数学认知能力的培养_数学论文

小学二至六年级数学困难儿童数学认知能力的发展，本文主要内容关键词为：数学论文,认知论文,二至论文,困难论文,能力论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、问题提出

      数学学习困难也叫数学学习不良（mathematical learning disability，简称MD）是指在接受正常的教育和教学条件下，一般智力正常，且无明显的感官缺陷和情绪障碍，但数学成绩显著低于同龄与同年级学生的数学成绩[1].MD的研究属于学习障碍（learning disabilities，LD）的分支，是从学科分类的角度进行划分的，也有研究者称其为数学障碍（mathematic disabilities）.“障碍（disabilities）”是被健康部门所采纳的术语，“困难（difficulties）”则是被教育部门所采纳，两者的区别在于轻度（mild）和中度（moderate）的不同意义（Berney，2006）[2].因此，“困难”这一表述可以更紧贴学校教育，且不涉及病理因素.

      数学认知能力作为人类最重要的高级认知功能之一，是个体正确认识客观世界所必需的基本能力.数学认知结构在学生的数学学习过程中发挥着重要的作用[3].Brewer指出，早期数学认知能力包括数字以及计算、数学推理、概率与统计、测量、几何与模式认知能力，其中数字以及计算是最为核心的能力[4].MD儿童在数学认知能力上具有多种困难表现.MD儿童中存在着数字理解、计算、算术事实提取困难（Geary，1999[5]；Geary，Hamson & Hoard，2000[6]）.这些缺陷展示了不同的发展模式，比如数字理解与产生缺陷在一年级中最为普遍，但是提取缺陷却有着持续性.对二年级、三年级的MD儿童的追踪研究（Hanich et al，2001[7]；Jordan & Hanich，2003[8]；）表明，在基本计算（basic calculation）、数字组合的精确计算（exact calculation of number combinations）、故事问题（story problems）、近似算术（approximate arithmetic）、数位（placevalue）、计算规律（calculation principle）、数字事实提取（forced retrieval of number facts）、十进制概念（base-ten concepts）、多位纸笔计算（written multi-digit computation）等一些直接与数学教学相关的数学认知能力（与更为一般的认知能力相对而言）上，MD影响的不仅是算术事实的掌握、计算步骤，也影响那些需要操纵定量的数字意义的任务，比如估算算术题的结果.数学儿童在基本数字知识和概念性知识上存在困难，原因可能在于有计算障碍的儿童不能完全理解计算原理（counting principles）（Geary et al，2000）[6]，MD儿童有着差的或不完善的概念性知识（Perry，2000）[9].这一点也可以从另一个角度来加以证明，MD儿童在对数、数量的命名上速度较慢，但是对于字母或几何图形却不存在此种表现（van der Sluis，de Jong & van der Leij，2004）[10].数学儿童除了在基本的数字常识方面有困难，他们对于基本的加法、减法、乘法、除法数学事实的提取要慢于正常发展的同伴（Swanson & Beebe-Frankenberger，2004）[11].在空间能力上，很多研究均表明他们的能力均差于正常儿童[12～13].

      大多数研究者都关注基本算术技能，把数学的核心内涵缩小了，更适合的称谓是算术困难（Dowker，2005）[14].而应用题解和更高级数学思维是数学教育实践中的一个重要问题.Bryant等人（2000）[15]对8岁到18岁MD儿童的调查结果表明，MD儿童最大的困难是数学应用题（word problems）（国内一般称应用题）解决.随着身心发展，年级的升高，数学学习任务的发生了变化，认知能力也在发生变化.数学的不同方面包含着不同的认知能力（Geary et al，2000）[6].而且认知发展具有领域特殊性，不能脱离认知活动所依赖的背景和任务本身来考察认知能力.需要以整体的视角考察MD所涉及的认知因素，也就是说要考察MD儿童在不同数学领域的认知加工特点[16].同时，也要发运用展的视角来考察MD儿童的数学认知能力的发展趋势与特点.

      对于MD的筛选，通常采用IQ和成就测验之间的差距来判定.排除智力的因素下，MD儿童在成就测验上应该具有低成就.这一做法虽然具有表面效度，却将成就测验低下等同于认知能力低下，这将导致错误地选中一些非MD儿童.因此，有必要设计一份专门的数学认知能力测验作为测查工具.梳理众多研究者（Zheng Zhou et al，2005[17]；Desoete et al,2004[18]；刘兰英，2000[19]；王权，1993[20]）对解决数学问题所需要的认知能力的结果及MD研究中所涉及的认知能力，考虑到中国小学数学教育的实际情况，经与专家、一线教师评定，统计分析验证，最终提出数学认知能力包括4个方面：数量估计能力、空间想象能力、推理能力、应用能力，组成了“数学认知能力问卷”.

      因此，研究将以整体的视角考察MD儿童在不同数学领域所涉及的认知因素，以发展的视角考察小学二～六年级MD儿童数学认知能力的发展趋势与特点.

      二、研究方法

      预测的样本为二～六年级学生264人，有效样本246人，男生136人，女生110人，各年级儿童平均年龄为：7.9岁、8.5岁、9.1岁、10.2岁、11.2岁；正式测量样本为二～六年级学生1515人，有效样本1231人，男生643人，女生588人.各年级平均年龄为：7.8岁、8.7岁、9.7岁、10.8岁、11.7岁.

      2.调查程序

      首先，梳理MD研究文献中的测量手段与内容、结合教育部颁布的数学课程标准，参考PISA关于数学素养的解释，构建数学认知能力的结构并编制纸笔测验；其次，对测验问卷进行预测与修订，形成正式问卷；最后，正式施测，对数据进行分析.

      3.数据分析

      使用IRT软件PARSCALE 4.1，采用部分计分模式（partial credit model，PCM）与二元计分模式对数据进行单参数LOGISTIC模型进行项目信息函数的估计，用SPSS13.0软件进行因素分析、相关分析等.

      4.调查工具

      “瑞文智力测验”，用以测查智商正常与否；“数学认知能力问卷”，包括4个维度，数量估计能力、空间想象能力、推理能力、应用能力.数量估计是估计的主要类型之一，其本质是一种导致数字判断的数学解决问题的形式，它反映的是一种高水平的认知加工过程.采用Sielger研究中的数字线估计任务.一条25厘米长的线，左端标为0，右端标为100，代表数字从0排列到100.在线段的中间画一条竖线，让被试估计这条数线所代表的数值.空间想象能力包括3个方面，分别是图形辨别、图形旋转、折叠展开.图形辨别的题干是一幅多种图形组合在一起的图形，4个题支中有3个是图形在题干中出现过，只有一幅图没有出现过.要求被试选出那幅未出现过的图形.图形旋转的题干是一幅图形，要求被试从题支的4幅图形中选出那幅经过旋转之后与题干相同的图形.折叠展开是题干是一幅三维立体的图形，要求被试在4个题支中选出针对题干图形的正确展开图.推理能力主要包括数字推理、图形推理.数字推理是给出一系列按某种规律排列的数字，要求被试在给定的4个选项中选出正确的答案填写到数列的空白处.数列类型分为单系列与二重系列.图形推理是要求被试根据已呈现的图案间的关系，推出未知区域中所需要的图案，以完成其中的推理概念.应用能力主要采用应用题的方式，将日常生活中一些需要运用数学知识或计算的场景通过文字表述出来，并列出相关结果，让被试进行选择.包括数量关系、实践推理、空间能力3个方面.数量关系主要体现的是日常生活中需要进行数学计算的问题；实践推理的题目是那些不需要精确答案，需要运用某些条件进行推断问题结果的问题.空间能力在日常中的具体表现为对了空间方位的认知正确与否.因此，应用能力中的空间方位是利用给定的模拟日常生活中的不同物体方位，让被试以某一物体为中心来辨别其他物体的方位.

      对于数量估计部分，为了精确检测儿童的估计能力，采用的指标为绝对错误的百分比（percent absolute error，PAE），计算公式为PAE=｜估计值-被估计值｜/估计尺度.然后，按照PAE的大小进行等级计分，若PAE=0或0.1，记5分；PAE=0.2，记4分；PAE=0.3，记3分；PAE=0.4，记2分；PAE≥0.5，记1分.对于其他3个分测验的题目，均采用0、1记分，答对记1分，答错记0分.

      总量表的信度系数为0.887.以瑞文智力测验分数、数学成绩为效标，计算相关.结果分别为

.可以看出，测验与数学成绩相关比较低，而与智力相关较高，说明这个测验确实不是在考察数学学习成就的成就性测验，而是数学学习背后的数学的认知能力的测验.

      三、结果与分析

      1.MD儿童的检出率

      对于MD的筛选标准，通过瑞文智力测验、数学认知能力测验、语文成绩加以选出.选定标准如下：

      （1）瑞文智力量表的智商得分在70分以上.

      （2）数学认知能力诊断测验的测验总分——T分低于312分（也就是低于两个标准差）.

      （3）语文测验达到该年级组的通过率.

      （4）排除其他障碍及环境因素的影响：借由观察学生并访谈该班主任，以确定学生的学习问题不是受到生理、感官缺陷及文化环境、教学不当所影响.

      各个年级MD儿童检出率如表1.

      

      2.不同性别MD儿童在数学认知能力测验上的比较

      不同性别MD学生在数学认知能力测验上的比较结果如表2所示.

      表2中显示，虽然在数学认知能力测验总分上或是在各种不同能力的得分上，女生的表现都要劣于男生，但两者之间并不存在显著差异，也就是题目在被试间不存在性别差异.

      3.不同年级MD儿童在数学认知能力测验上的比较

      不同年级MD儿童在数学认知能力上的方差分析结果如表3所示.

      

      

      经由单因素方差分析（ANOVA）统计分析表明，各年级的被试在数学认知能力测验上的表现有显著性差异存在.不同年级的MD儿童的4种数学能力的发展趋势如下页图1.

      

      由图1可以看出，随着年级的升高，MD儿童的4种能力都会随之发展.无论哪种能力，整体都呈现出上升的趋势，只是各自提高的幅度是不相一致的.在四年级之前，4种能力水平的发展从高到低分别为数量估计能力、空间想象能力、应用能力、推理能力；在四、五年级时，变为数量估计能力、应用能力、空间想象能力、推理能力；到了六年级，变为数量估计能力、应用能力、推理能力、空间想象能力.采用Turkey HSD方差多重比较方法，对各年级MD儿童进行两两比较的结果如表4.

      结果发现，在空间标准分上，二年级与五年级（F（4，40）=2.91，P＜0.05）、六年级（

=3.25，P＜0.05）之间存在显著差异，二年级的均分显著高于五年级和六年级的均分.在空间标准分上，三年级（

=3.45，P＜0.01）与六年级（

=3.73，P＜0.01）之间存在显著差异，三年级的均分显著高于五年级和六年级的均分.在其他数学认知能力的指标得分上，年级之间的均分都不存在显著差异.

      

      1.MD儿童的鉴定与检出率

      对于MD的判断方法参照的是“智商—成就差异模式”，此模式要求被试智商正常、数学成绩要低于均值两个标准差.调查中将成就指向数学认知能力测验的成绩，而非数学科的学业成绩，进一步明确了成就的具体意义.而且为了尽量保证不会出现“阅读—数学混合型障碍”，对被试的语文成绩也进行了限制，确保被试的阅读能力正常，出现MD不是因为语文理解上的原因.对于数学认知能力测验的均值，并未采取统一的标准，而是在不同年级内部来进行标准化.由于被试年龄跨度较大，受时间、教育等因素的影响，二年级与六年级儿童之间的差异可能十分明显.若采用单一标准，有可能导致标准对于低年级儿童来说过于严格.而按年级内部来进行标准化，就会减少时间等因素干扰，使处于同一年级的被试接近同质水平.

      从各个年级MD儿童的检出率来看，二年级MD儿童的检出率为8.03%，这一数值与以往文献中提到6%～11%（Ramaa & Gowramma，2002[21]；Mazzocco & Mayers，2003[22]）的检出率是比较一致.然而三年级至六年级MD儿童的检出率却在2.26%～3.32%之间，这一数值明显偏低.之所以出现这种状况，有如下几个原因，一是测量数学能力的工具各异，不同的研究者所采用的测验不一样.二是更重要的在于被试群体的变化.以往研究中所研究的群体多集中于小学前或刚上一、二年级的儿童，而很少有涉及更高年级的被试群体.二年级MD儿童的检出率基本上与以往研究一致，这就说明了对于低年级或学前儿童来说，MD的发生率会保持在6%～11%左右.对于更高年级的儿童来说，MD的发生率约为3%左右.三是在不同的发展阶段，数学的作业要求以及相应的数学技能是不同的，对儿童的认知挑战也是不同的[23].

      2.MD儿童的数学认知能力表现

      通过对MD儿童数学认知能力的分析，可以看出4种能力在不同年级间的发展状况并不一致.总体来说，MD儿童的推理能力最弱，最有优势的能力是数量估计能力.

      估计是一种非常重要的数学认知过程.估计存在于各种领域，似乎就实际需要解决的数学问题而言，估计在课堂和日常生活中的使用比其他数量加工更多、更普遍.Carpenter等人（1976[24]，1980[25]）指出儿童缺乏基本的、必要的估计技能很难适应实际生活的需要.数量估计是估计的一种主要类型.依托这一具有代表性的估计模式，研究发现，随着年级的升高，MD儿童的估计能力是不断发展的，对于数量估计的准确度越来越精确.而且更为重要的是，不论是在哪一个年级，MD儿童的估计能力都要强于其他3种能力.这也说明数量估计能力对于MD儿童来说，是一种相对比较稳定的能力.

      “数学是对现实世界的数量关系、空间形式和变化规律进行抽象，通过概念和符号进行逻辑推理的科学.”（史宁中等，2006）[26]以往有研究（Kulak，1993）[27]认为，MD儿童在解题上之所以出现困难，原因之一就在于缺乏抽象推理、类化的能力.研究发现MD儿童确实在推理能力上存在困难，并且是数学认知能力中最薄弱的能力.随着年级不断升高，MD儿童的推理能力也呈现出不断上升的趋势，不过在每一个年级段上，推理能力却依然排在4种数学认知能力的末尾.造成这种状态的原因可能在于从二年级到六年级这一学习时段内，学习内容发生重要的变化.在低年级时，更多的推理内容是寻找数字序列之间的规律，而到了高年级的推理问题，不仅对于寻找数字序列规律的问题变得更为复杂，同时还出现一些针对几何图形的推理内容.对于几何图形推理题目而言，虽然考察的关键是儿童的推理能力，但是这种能力必然要依附于一定的空间认知方面的能力.这样一来，就提高了对推理能力的要求，导致推理能力的发展显得要落后于前一阶段.

      若儿童存在视觉—空间缺陷，那么就有可能出现某些方面的困难，比如，看时钟的指针有困难；分辨运算符号有困难；对齐列式有困难，等等.Geary（1993）[28]发现具有空间计算失能（spatial acalculia）的儿童，在对数字信息的空间表征和一些概念性的问题上产生缺陷（如对位值的理解，列竖式等）.研究发现MD儿童的空间想象能力确实低于正常儿童.虽然随着年级的升高，空间想象能力总体趋势是不断提高，但是在三年级到五年级这一阶段，出现了四年级低于三年级，五年级略高于三年级的现象.不过总体而言，三年级至五年级这一阶段，MD儿童的空间想象能力没有太大的变化，这说明在这一段空间想象能力的发展非常缓慢，似乎步入了一个高原期.这可能与课程内容的设置有一定关联.在三年级之前，教学的主要目的是为了让学生建立初步的空间观念.因此，所教授的内容主要是对于简单几何体与平面图形的认知及感受一些空间运动的现象；而从四到六年级这段期间内，是对空间与图形的基本特征、图形变换等内容进行更为深入的学习.这样一来，自然四年级前后就成为了一个过渡时期.对于研究结果来说，最明显的特征就是在空间能力上四年级的得分要低于三年级与五年级.而这一阶段可能对于MD儿童来说会变得更为漫长，所以，三年级至五年级这一阶段内，他们的能力没有发生太大的变化.

      将数学知识应用到实际生活中是相当重要的，也就是说如何将实际问题抽象成为数学模型并进行解释与应用是一项相当重要的能力.MD儿童的应用能力要远远低于正常学生，虽然他们的发展趋势与正常儿童一样，都是随着年级的升高而不断发展的.值得注意的是，到了四年级之后，MD儿童的应用能力的发展仅次于估计能力，要高于推理能力与空间想象能力.MD儿童应用能力的发展状况，也许传输了一种信号.那就是对于MD儿童的教学要更注重与实际生活相联系.若是能够将数学知识的传授更多的与现实生活联系到一起，那么MD儿童也许就更容易掌握相关知识，提高数学成绩.

      从研究的结果来看，MD儿童的数学认知能力的发展总体趋势是随着年级的升高而不断增长的，这就间接地说明了MD儿童并不是天生就缺少某种能力，而导致在发展水平上要落后于正常儿童，可能更需要从外部环境寻找出现能力落后的原因.

      范叙保等（1999）[29]认为数学能力与性别存在一定联系，但男、女在不同的能力成分方面各有长短，此消彼长，总体差异不大.对不同性别MD儿童的数学认知能力的T检验表明，无论是在数学认知能力测验总分上还是在各种不同能力的得分上，女生的表现都要劣于男生，但两者之间并不存在的显著差异.这就说明对于MD儿童而言，数学认知能力的高低并不必然受到性别的影响.

      （1）MD儿童在二至六年级中的检出率分别为8.03%、2.26%、3.00%、2.75%、3.32%，平均检出率为3.41%.

      （2）女生的表现都要劣于男生，但两者之间并不存在显著差异.

      （3）MD儿童的数学认知能力随着年级的升高而出现不同程度的缓慢增长，但只有空间想象能力在二、三年级与五、六年级有比较明显的差异，其他年级并不存在明显差异.

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