关于数学教学的若干认识，本文主要内容关键词为：数学教学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2003年，笔者在“海峡两岸大学及中学科学教育论坛”上做了一个大会发言，谈及了笔者关于数学教学的若干认识，以下为大会发言中的主要内容，希望与各位同行进行交流.
一、数学的精神
素质教育统选课取名为“数学的精神、方法和应用”，目的在于使学生认识到数学的精神无处不在.笔者用5句话来概括数学素质教育课的目的：给你一双数学家的眼睛，丰富你观察世界的方式；给你一颗好奇的心，点燃你胸中的求知欲望；给你一个睿智的头脑，帮助你进行理性思维；给你一套研究模式，使它成为你探索世界奥秘的望远镜和显微镜；给你提供新的机会，让你在交叉学科中寻求乐土，利用你的勤奋和智慧去做出发明和创造.
目前数学教育的弊病何在？笔者认为有以下三个方面.
1.在初、高等教育中，特别在教材教学法中，就数学而言，过于偏重于演绎论证的训练，把学生的注意力都吸引到逻辑推理的严密性上去了.课堂上讲的基本上是逻辑，是论证，是定理证明的过程，而不是发明的过程，也不是发现定理证法的过程.用一句古话来说：鸳鸯绣出从君看，不与郎君度金针.这对培养学生的创造力来说是十分不利的.当然，必要的逻辑推理训练不可少，但对培养数学家来说，发明与创新比命题论证更重要.科学的发明与论证常常是两回事，课上应当讲讲数学的发现与发明.讲一个故事：
昔一人苦贫特甚，而生平虔奉吕祖.感其至心，忽降其家，见其赤贫，不胜悯之，念当有以济之.因伸一指，指其庭中磐石，粲然化为黄金.曰：汝欲之乎？其人再拜曰：不欲也.吕祖大喜，谓：子诚如此，便可授汝大道.其人曰：不然，我心欲此指头耳.
我们给学生的应当是点石成金的手指头，而不是帮他们点石成金.鸳鸯既要绣出，金针亦须度尽.
2.课上讲的东西都是成熟的，完美的.不讲获得真理的艰苦历程.有时有意回避问题，掩盖缺陷.因而学生获得的是片面的知识.
3.见木不见林，细节多，思想少.常常见不到整体，见不到本质，在一定程度上失去了“真”.其次，割断了数学与哲学，数学与艺术的联系，见不到各个学科间的联系与相互为用，这就在一定程度上失去了“善”.见不到整体结构的和谐与一致，这在一定程度上失去了“美”.结果使学生丧失了对理性的追求.
素质教育课应从弥补这三方面的缺陷入手.由于数学发展的历史贯穿着理性探索与现实需要这两股动力，贯穿着对真善美与对功利用的两种追求.所以我们将在文化这一更加广阔的背景下讨论数学的发展、数学的作用以及数学的价值，从历史的、文化的和哲学的高度鸟瞰数学的全貌和美丽.
首先是历史的.如果我们不知道我们从哪里来，那么我们也就不知道到哪里去.而且，“一门科学的历史是那门科学中最宝贵的一部分，因为科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧.”（傅鹰）所以我们要讲一点历史.并且，将力量集中在划时代学科的诞生与重要概念的发展上，考察数学科学的演变，并给出评价与展望，而不去过多地涉及细节.
其次，我们要讲述数学与各种文化的交互影响，从中认识到数学是理解当今世界的一把大钥匙，任何学科都离不开它.并将阐述数学与人文科学的联系.因为目前这方面的论述比较少.
第三，贯穿一种探索精神，研究治学之道.素质教育课应该是理性精神的一次再根植.我们要把每一个理性因素都铸成一个锐利的武器，使之成为征服自然的新工具.
目前是知识空前发展的时代，各门学科呈现相互交叉的趋势.只懂得一门学问是远远不够了.对全校开设公共素质课，不仅向学生提供一门知识，更是提供一种机会.各门学科的交叉点常常是新学科的发源地.要使数学成为对于怀着各种各样不同兴趣的同学都有吸引力的一门学科.
贝弗里奇在《科学研究的艺术》一书中指出：“如果研究的对象是一个正在发展的学科，或是一个新问题，这时内行最有利.如果研究的对象是一个不再发展的学科，那就需要一种新的革命的方法，而这种革命的方法更可能由一个外行提出.”
我们给出一个实例.
大约在1950年，一个名叫H.Hauptman的数学家对晶体的结构这个谜产生了兴趣.从20世纪初化学家就知道，当X-射线穿过晶体时，光线碰到晶体中的原子而发生散射或衍射.当他们把胶卷置于晶体之后，X-射线会使随原子位置而变动的衍射图案处的胶卷变黑.化学家的迷惑是，他们不能准确地确定晶体中原子的位置.这是因为X-射线也可以看作是波，它们有振幅和相位.这个衍射图只能探清X-射线的振幅，但不能探测相位.化学家们对此困惑了四十多年.H.Hauptman认识到，这件事能形成一个纯粹的数学问题，并有一个优美的解.
借助傅氏分析，他找出了决定相位的办法，并进一步确定了晶体的几何.结晶学家只见过物理现象的影子，H.Hauptman却利用100年前的古典数学从影子来再现实际的现象.前几年在一次谈话中，他回忆说，1950年以前，人们认为他的工作是荒谬的，并把他看成一个大傻瓜.事实上，他一生只上过一门化学课——大学一年级的化学.但是，由于他用古典数学解决了一个难倒现代化学家的谜，而在1985年获得了诺贝尔化学奖.
这个例子告诉我们，各门学科的交叉点常常是新发明的沃土.
二、教学三境界
1.授人以业.就是韩愈说的“授业”，传授知识给学生.这是最初步的要求，也是最基本的要求.
2.授人以法.这就是培养学生的能力，教给他们方法，使学生自己有能力去扩展知识.
3.授人以道.孔子讲：“吾道一以贯之.”我们教学的结果应使学生将他们掌握的方法和获得的知识贯穿起来.使他们既能高瞻远瞩，又能析物入微，并在继承传统的基础上，走创新之路.
三、实现四结合
1.历史与逻辑相结合.讲授数学科学发展的历史背景，实现数学的人文化.
2.数与形相结合.数学的两大主干是几何与代数，其特点如下：几何——空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力；代数——数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力.
认清几何与代数的基本特征对学好以后的课会有很大帮助.讲数学课，应当将数和形结合起来，使2种思维的优点都能发挥出来.例如，解析几何与线性代数有密切的联系，把它们结合起来讲会有很大好处.解析几何中的3张平面对应于代数中的三元一次联立方程组.3张平面有惟一交点对应于代数中的三元一次联立方程组有惟一解.3张平面有惟一交点的条件是3张平面的3个法向量不共面，它对应于代数中的三元一次联立方程组的系数行列式不为0.讲课时将它们结合起来，会使学生了解得深、透，并且容易记忆.同时，体现了数学科学的统一性与协调性.展示了数学的和谐美.我们可以用一首唐诗来描述这种和谐.
寄韬光禅师
白居易
一山门作两山门，两寺原从一寺分.
东涧水流西涧水，南山云起北山云.
前台花发后台见，上界钟声下界闻.
遥想吾师行道处，天香桂子落纷纷.
3.理论与应用相结合.我们把重点放在数学与人文科学的结合、数学与艺术的结合上，因为这方面的应用过去讲得少.例如，在课上我们介绍了数学与西方政治，透视画与射影几何，音乐之声与傅立叶分析等有关应用，学生对这些内容十分感兴趣.课后学生结合自己的专业写出了很好的论文：“将你的心灵数字化”（心理系）；“数学在语言学中的应用”（英语系）；“数学分析在国际关系中的应用”（国际关系学院）；“抽象艺术中的几何回归”（地质系）等.2002年，我们将部分学生的论文编辑成书，并请专家点评，由北京大学出版社出版，书名是《心灵之花》.
4.科学结论与方法论相结合.
四、培养四种本领
1.以简驭繁.我们主要讲笛卡儿的方法.笛卡儿是近代思想的开山祖师，他列出四条原则.这四条是最先完整表达近代科学的思想方法.其大意是：①只承认完全明晰清楚，不容怀疑的事物为真实；②分析困难对象到足够求解的小单位；③从最简单、最易懂的对象开始，依照先后次序，一步一步地达到更为复杂的对象；④列举一切可能，一个不能漏过.
这四大原则对研究任何一门学科都有不容忽视的指导作用.笛卡儿一针见血地指出：“不可以从庞大暖昧的事物中，只可以从最容易碰见的容易事物中演绎出最隐秘的真知本身.”他还说：“当我们运用心灵的目光的时候，正是把它同眼睛加以比较的，因为想一眼尽收多个对象的人是什么也看不清楚的，同样，谁要是习惯用一次思维行动同时注意多个事物，其心灵也是混乱的.”所以当我们进行一项科学研究时，必须首先明确我们的目标，然后把研究对象分成若干环环相扣的简单事物，在理性之光的指引下，找到这些细分小单位的由简至繁的顺序，最后从最直观，最简单的对象入手，依照一条条理清晰的道路直捣真理之本蒂.总之，笛卡儿给出一条由简入繁的路，告诉我们如何以简驭繁.用老子的话总结，就是“天下之难作于易，天下之大作于细”.
2.审同辨异.即同中观异，异中观同.异中观同就是抓住本质，抓住共性.领域不管相隔多远，外表有多大不同，实质可能是一样的.实质认得越清楚，做出新发明的可能就越大.例如，庞加莱对Fuchs群的研究，高斯对数论的研究.最近的例子是，1998年8月号的《科学的美国人》刊登了阿德尔曼的一篇文章“让DNA作计算”.
阿德尔曼写道：“我正躺着叹服于这个令人惊奇的酶，并且突然为它们与图灵发明的机器之相似而大为震动.”想到这一点使他“彻夜难眠，想办法让DNA作计算”.这就是DNA计算机的发明.
另一方面是同中观异.恩格斯说：“从不同观点观察同一对象……殆已成为马克思的习惯.”法国雕塑家罗丹说：“所谓大师就是这样的人，他们用自己的眼睛去看别人见过的东西，在别人司空见惯的东西上能够发现出美来.”所以必须训练自己的观察力和对事物的敏感度，否则你只能停留在常人水平.同中观异似乎更难.
3.判美析理.即庄子的“判天地之美，析万物之理”.
判美.数学理论体现了真与美的结合.要讲出数学科学的韵律与和谐.希腊箴言说，美是真理的光辉.因而追求美就是追求真.著名物理学家海森堡说：“当大自然把我们引向一个前所未见的和异常美丽的数学形式时，我们不得不相信它们是真的，它们揭示了大自然的奥秘。”
析理.讲析理不可能不讲证明.数学证明在数学理论中具有重要的地位.但证明是论证的手段，而不是发明的手段.一节数学课忽视后一点将是一个巨大的损失.那些伟大的数学家在逻辑证明尚未给出以前，就知道某个定理肯定是正确的.
4.鉴赏力.鉴别真与假，好与坏，美与丑，重要与不重要，基本与非基本，非常重要.有鉴别力的学生会区分主次，自然学得好.鉴赏力可以在教学过程中逐渐加以培养.如何培养？在数学课程的讲述中，加强“点评”.使学生：①理解数学的概念和原理；②解数学的探究过程；③理解数学与一般文化的关系；④理解数学的用场.
五、经验与教训
1.上好第一堂课.毛泽东与拿破伦都重视初战，第一堂课上得好，整个学期都会很顺利.
2.及时吸取教训.自己在教学中经常犯经验主义错误.笔者第一次给文科学生开数学课是1994年，这是文科学生自己提出来的.当时北大的领导问笔者肯不肯开这门课，笔者就欣然答应了.开课后学生积极性很高.在一个学期（每周4学时）之内，笔者不但讲了微积分、线性代数、概率论初步，居然还讲了双曲几何.但是当第二个学期再开这个课时，同样的教法失灵了.所以必须不断地调整教学内容、教学方法，以适应不断变化的形势.