学会数学化，切实提升数学学科素养，本文主要内容关键词为：数学论文,素养论文,切实论文,学科论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
为什么需要学习数学化 如众所知，教是为了不教，教师的教是为学生的学服务的.对于学生的数学学习，正如国际上极负盛名的荷兰数学家、数学教育家弗赖登塔尔（H.Freudenthal，1905-1990）的经典观点“（对学生而言）与其说学数学，倒不如说学习数学化”[1]，这个观点道出了数学学习的本质.正是由于弗赖登塔尔对20世纪国际数学课程的改革发展做出的重大贡献，他对国际数学教育的影响，从20世纪中叶到今天，仍持续不断. 如何理解数学化 1.数学化：数学地组织现实世界的过程 数学化是弗赖登塔尔数学教育思想的核心.在弗赖登塔尔看来，数学地组织现实世界的过程就是数学化，数学化有横向（水平）数学化和纵向（垂直）数学化之分，“横向数学化把生活世界引向符号世界.……在符号世界里，符号生成、重塑和被使用，而且是机械地、全面地、互相呼应地，这就是纵向数学化.”[2]也可以这样理解：横向数学化的产物是生成生活与数学的联系，纵向数学化的产物是生成抽象的数学知识之间的联系. 2.数学化的三个具体阶段 无论“数学地组织现实世界的过程”，还是“横向（水平）数学化、纵向（垂直）数学化”，尽管道出了问题的本质，但是并没有明确具体地给出数学化的本质内涵和具体任务.何谓“数学地组织”呢？ 基于弗赖登塔尔关于数学、数学化的基本观点“数学源于现实并寓于现实”“因为我们的主题是建模，并把它作为数学化的一个方面……”[3]，以及“应当在数学与现实的接触点之间寻找联系”“数学依附于现实结构，虽然起初似乎与数学无关，在成长过程中这种联系会得到发展”[4]，我们认为，学习数学是为了更好地理解、运用数学，建立数学与现实之间的关联；数学化不仅包含从现实世界走向数学世界，而且包含数学世界的内容的数学化，还包含从数学世界回到现实世界，即“从现实问题抽象到数学问题”过程的逆向过程，这既是数学教育的根本目的之一，也是数学科学赖以发展的不竭的动力源泉之一.而数学世界既包括（数学）符号世界，也包含图形世界、数字世界、随机世界等.数学本质上是研究关系，包括数量关系、图形关系、随机关系.因此，“数学化”的两个类别“横向数学化”“纵向数学化”并非仅仅包含“从现实世界走向符号世界”与“符号世界内部的生成、重塑和被使用”，而是涵盖多重含义—— 一方面，“横向数学化”实际上刻画了“现实世界”与“数学世界”之间的相互关联，而这种关联是双向的，并非单向的，既包括从现实世界走向数学世界，也包括从数学世界回到现实世界；另一方面，“纵向数学化”既包含归纳思维的过程，也包含演绎思维的过程. 从而，基于长期的中小学数学课程、教学的实践，特别是我国中小学数学课程教学实际，我们认为，数学在本质上是研究抽象的东西，而这些抽象了的东西来源于现实世界，是被人抽象出来的.真正的知识是由感性的经验通过直观和抽象而得到，并且，这种抽象是不能独立于人的思维而存在的. 同时，数学化其实就是从（数学外部的）现实（世界）到数学内部，从数学内部发展，再到现实中（以及应用于其他学科之中）的全过程.这个过程可以分为三个阶段. （1）现实问题数学化，即将现实问题抽象、概括为数学问题，其本质在于数学抽象. （2）数学内部规律化，即数学内部的发展得益于数学推理和公理化.推理包括演绎推理与广义的归纳推理.发现（发展）数学新知，主要凭借（广义的）归纳推理，找到数学思维的对象、目标；而验证数学真理、数学新知，必须借助演绎推理.进一步说，正是归纳推理与演绎推理的综合运用，才使得数学科学自身得以迅速发展. 数学内部的发展需要借助推理来完成，而数学内部结构的奠基性工作需要借助形式化、公理化.特别地，数学结构的建立得益于公理化，借此将数学整理成一个内部条理、简捷、完备的体系. 小学数学中渗透了一点点的公理化思想，而初中数学已经有明确的公理化思想，并建立了明确、相对完备的几何公理体系.从而，推理的基本思想包含（广义的）归纳推理思想、逻辑推理思想和公理化思想. （3）数学内容现实化，即从数学的概念、命题、思想、方法、观念等走向数学的外部世界（即现实世界以及其他学科）.这需要构建恰当的数学模型，模型是联结数学与外部世界的桥梁. 数学的一个重要任务（也是数学赖以发展的重要动力），就是“数学内容现实化”，亦即主动寻找数学内容的现实原型，主动利用数学发现现实世界中的问题、提出数学问题，并加以分析和解决，其中的核心工具就是数学模型. 小学数学能进行数学化及其教学吗 真理的发现主要靠归纳（即广义的归纳），而验证、确认真理需要依靠演绎.创新本质上源于归纳，而归纳能力是建立在实践基础之上的，归纳能力的培养可能更多地依赖于“过程的教育”，依赖于经验的积累.这种积累主要依赖基本思想、基本活动经验的积淀和升华. 小学阶段是发展学生数学思维的最佳时期.无论是归纳思维的初步建立，还是演绎思维的初步渗透，都是在小学阶段奠基的.正所谓，如果一个人在18岁之前从来没有过独立思考、归纳发现的直接经历，那么这个人长大以后成为创新人才是绝对不可能的. 因此，在小学阶段，不仅需要学习数学化，而且许多教育经历一旦在小学阶段缺失，将直接制约学生的终身发展，有些方面（诸如数学化的意识、数学归纳发现的直接经历等）可能是永远无法弥补、修复的. 数学化教学的侧重点及案例展示 数学化是学生自己的数学活动，在数学化过程中，教师的任务首先是创设数学情境，并组织和引导学生展开与数学情境的对话性实践.无论是经验的积淀、基本思想的初步形成，还是数学抽象能力、推理能力、建模能力的培养，都离不开学生的主动参与、独立思考和亲身实践，都离不开学生的自我建构. 1.帮助学生经历现实问题数学化的过程，发展数学抽象能力和建模能力 【案例1】“鸡兔同笼”问题的分析过程 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何. 采取列方程法解决问题，关键在于建立方程“模型”的抽象过程. ①发现问题中的等量关系，即“鸡脚数与兔脚数之和，就是总脚数；鸡头数与兔头数之和，就是总头数；每只鸡的脚数比每只兔的脚数少2”，并用自然语言表达出来. ②用等式表达关系，即： 鸡脚数+兔脚数=总脚数； 鸡头数+兔头数=总头数； 每只鸡的脚数=每只兔的脚数-2. ③用符号语言表达关系，即
④用方程表达关系. 设笼中有兔x只，由第二个关系知道鸡有（35-x）只.于是，免的总脚数为4x，鸡的总脚数为2（35-x）.将这个关系代入另一个等式，得 4x+2（35-x）=94. 上述案例的核心在于建模过程，即“现实问题→数学问题→数学问题的解→现实问题的解”.在实际教学中，教学的重要任务之一，在于帮助学生获得数学建模的直接经验和体验，进而逐步形成模型思想. 2.精心设计概念的抽象过程，在概念形成过程中发展抽象能力 【案例2】“周长的概念”教学设计[5] （1）教学首先从两个现实情境切入. 出示下页图1——一只小蚂蚁正在围着一片树叶的边缘爬行，一边爬一边自言自语：“我爬过一周的长度就是树叶的周长.” 出示下页图2——一只手正握着一支笔，笔尖不离开纸面，一笔画出一只飞翔着的和平鸽的轮廓，配以画外音：“图形一周的长度就是图形的周长.”
在实际教学中，教师给每个小组提供一个大的树叶作为教具（或者是真实的芭蕉叶、梧桐树叶等完整的叶片），引导学生分析思考：“如何确定哪一片树叶的轮廓线更长？”得出：采取用绳子围的方式，而采取近似测量的方法其实并不比围的方式更准确. （2）组织学生归纳概括：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长.随后，教师引导学生说一说生活中哪些地方涉及图形的周长. （学生可以举出大量生活实例，例如，我生活的小区道路是封闭的单行线，我爸爸每天晚饭后都要徒步走一圈，我想知道，与学校操场的一圈相比，他走的这一圈是长还是短？怎么验证呢？其实，这就是周长问题.再如，给一张照片镶一圈金丝线以提高照片的艺术感，这里的一圈金丝线长度就是图形的周长……） （3）动手操作. 组织学生摸一摸一片银杏树叶或一片枫叶的轮廓线，即边线，并描下来. 组织学生摸一摸课桌桌面、数学书封面的边线. 通过摸、描树叶的边线以及摸课桌面和数学书封面的边线，让学生对周长有更加深刻的亲身感受和初步体验，加深对周长表象的感性认识，初步感知周长的意义. （4）实践活动. 量一量你的腰围、头围，并与同桌说一说.或者采用绳子围的方法，测量北京城区图上三环线一周的长度，注意地图的比例尺，说一说三环线一圈共几千米长. 这一环节，学生选择自己喜欢的测量方法进行实践活动，再次体验周长的意义，加深对周长概念的认识和理解.最重要的是，让学生亲身体验周长就在我们身边，周长的现实意义重大. 就整体而言，上述设计通过生活中的不规则图形抽象出数学中的周长，属于典型的归纳式呈现方式.这种做法，期望通过学习让学生获得这样的认识：生活中的不规则图形有很多，不只是规则图形才有周长；图形的周长大量存在于我们的日常生活之中.此外，在上述设计中，创设测量周长的多种自然情境，旨在帮助学生感受测量方法的多样性. 这种设计试图将学生在日常生活（甚至游戏活动）之中与周长有关的零散的生活经验系统化，从中归纳、抽象出一般图形的周长的概念.更进一步地说，“周长”的概念并不是教科书的编者“硬塞给学生”的，而是帮助学生从已有的生活经验、数学活动经验中抽象出来的[6]，即帮助学生亲身经历从生活经验世界走向数学新知世界的完整过程，这个过程恰恰是数学抽象思维水平迅速提升的过程. 3.精心设计公式法则的抽象过程，在公式法则抽象过程、基本技能形成过程中，发展推理能力，特别是发展归纳思维能力、演绎思维能力 【案例3】一个两位数自乘规律的发现 一个两位数的自乘规律，指的是个位为5的两位数，自相乘得到的数，一定是个位为5、十位为2，而百位（或百位与千位）是这个两位数的十位数字与比其大1的数字的乘积.比如，75×75，7与比其大1的数字8之积是56，于是，自乘的结果一定是5625. 以下是教学设计片断. （1）计算15×15、25×25，你能发现什么规律？ （2）你发现的规律对其他类似问题成立吗？比如，45×45. （3）你发现的规律对更一般的形式成立吗？比如，◆5×◆5，这里的◆是1、2、3、…9中的某个数字. （4）对于任意一个两位数◆5，如何验证你的发现总是成立呢？ 此时，继续采用数字或者自己选定的符号◆，就无法与更多的人交流，必须采用字母.比如，用a表示十位上的数字，这个两位数可表示为10a+5.于是，◆5×◆5就变成了（10a+5）·（10a+5）.能由此验证你的发现吗？ 课堂教学实践表明，五、六年级的小学生凭借上述提示，大多可以完成如下过程： （10a+5）·（10a+5） =10a×（10a+5）+5×（10a+5） =10a×10a+10a×5+5×10a+5×5 =100a·a+50a+50a+25 =100a·a+100a+25 =100a·（a+1）+25. 上述教学设计，在巩固“两位数乘两位数”基本技能的过程中，让学生再次经历归纳、猜测、验证的思维过程、推理过程，获得“个案1、…、个案n→归纳出一个共性规律，猜测其普适性→验证自己的猜测→得出一般结论”的直接经验和体验，经历一次“数学家式”的思考过程，感受智慧产生的过程.学生从中体验创新的快乐，进而真正体会从归纳猜想到演绎论证的过程，感受字母表示数的魅力，发展符号意识和归纳推理能力、演绎推理能力.而上述过程恰恰是一种典型的数学化——表现在“数与代数”领域中的数学化. 4.培养用数学分析处理生活问题的意识和能力 【案例4】车轮为什么需要做成圆的在“圆的概念”形成之后，需要进行圆的概念的类化（即“从圆的现实原型抽象为圆的概念”的逆向过程）. 以下是教学设计片断. （1）车轮为什么做成圆的而不是方的？其中有何道理？分别用硬纸做一个圆纸片、一个方纸片进行演示，给出你的判断. （2）在现实生活中，下水道的盖子有做成方的，也有做成圆的.做成哪种形状更科学、更安全呢？利用书本作井盖进行演示，说明其中的道理. 对于上述问题的分析思考过程，正是运用圆的概念的过程，这个过程就是概念的类化，即圆抽象的逆过程. 对于第（1）个问题，其中的关键在于，圆心（即车轮的轴）到轮子接触地面的接触点的距离保持一样长，如此轮子受力均匀；而方的车轮由于其轴与地面接触点的距离不一样长，车轮滚动起来将是颠簸的，既不舒适也极易损坏车子. 当然，车轮做成圆的，还有别的科学原理.例如，物体在地面上滚动要比在地面上拖动（即滑动）更省力，这是由于滚动摩擦力比滑动摩擦力小.任何事物都不是绝对的，如果我们希望转动不均匀，就要用非圆形轮了.凸轮就是自动化生产中常用的一种零件，在凸轮转动时，先是将机件外推，然后又把它收拢，这样不断重复，就可以自动控制某个动作了. 对于第（2）个问题，组织学生分组演示、讨论，学生可以给出许许多多的答案.其中，比较有代表性的有： “圆形的井盖可以由一个人搬动，因为它可以在地上滚.” “圆的周长小、面积大.”“圆的每一条直径是相等的，井盖做成圆形的话，无论从哪个角度盖子都不会掉到井里去.如果把井盖做成方形，方形的对角线就比边长长一些，井盖极有可能沿对角线的角度掉下去.” “圆的容易嵌合进地面，以免留下棱角伤人.” “一个完美的圆柱体，因为下水道的那个口是圆的.” “圆形切去四个角可以最大限度地节约成本.” 与圆的概念抽象的过程正好相反，上述教学设计恰恰体现圆的概念抽象的逆向过程，即圆的概念的类化.其中，问题（1）（2）本质上是等价的，都是体现运用圆的概念诠释现实生活中相关现象的具体过程.对于这两个问题，既可以进行思维的实验，也可以进行操作的实验.而设计的核心目的在于，突出学生亲身体验、动手动脑思考，充分展示运用圆的概念分析处理生活问题的过程，进而培养学生主动运用数学的意识和能力. 总之，学习数学本质上就是学会数学化，也就是学会“戴一副数学的眼镜”去思考问题、分析处理问题.无论是小学数学的学习，还是中学数学的学习，都是为了提高学生的数学素养，为学生自身的可持续发展，也是为了人类的可持续发展做出贡献. 从教育的视角，“数学化”的根本目的，在于让学生拥有从数学视角思考问题、分析处理问题的实际本领；在数学课程教学中实施数学化，在于提高学生的数学素养，即发现问题、提出问题、分析和解决问题的综合素养.
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