王顺芝 浙江省杭州市富阳区东洲中学 311401
摘 要：数学不仅仅是一种重要的“工具”或者“方法”，更重要的是一种思维模式，表现为数学思想。分类讨论不仅是一种非常重要的数学思想，而且它还是一种非常有效的解题策略，其主要体现在“集零为整，化整为零”的思想和归类整理思想这两个部分。在初中数学教学中，如果教师对分类讨论思想加以运用，可以使学生对数学知识有更加深入的认识和理解，同时它能够进一步培养学生的思维能力及数学素养。就此笔者在本文中对分类讨论在等腰三角形中的运用作了一些思考和实践。
关键词：数学思想 分类讨论 等腰三角形
在数学课堂中进行数学思想方法的教学，不仅能够提高课堂教学效益，有利于学生素质的提高，也是数学核心素养的一个重要内容。而分类讨论思想是在中学阶段需要掌握的重要思想方法。在初中几何题目中出现分类讨论比较多的是与等腰三角形有关的知识。浙教版数学八上第二章学习等腰三角形，而等腰三角形是一种既特殊又重要的三角形，就因为这种特殊性，处理问题时很容易出现错误。即使到了初三也会出现很多有关等腰三角形分类讨论的问题。虽然平时的教学中也经常渗透数学思想，但等腰三角形分类的标准比较多，而且经常同一题中出现多次分类，这使很多学生遇到此类题就很茫然，经常出现漏解等。就此笔者认为在等腰三角形这章的教学中很有必要让学生理解等腰三角形的各种分类及为什么要分、怎么分等。这不仅有助于等腰三角形各个知识点的理解，更为以后知识的迁移及再创造打下坚实的基础。
一、分类讨论的重要性
1.分类讨论在初中数学解题中的重要作用。分类讨论本质上就是一种逻辑上划分的思维方式。其在教学中具体表现为对题目“化整为零”，一个一个地进行击破，这样就实现了积零为整的教学方式。它不仅是一种独特的数学逻辑方法，而且在进行数学知识教学时更是一种有效的解题策略。在解答数学题时，如果因为题目的题意中存在着一些不确定因素，进而导致无法解答的情况，就可以将题目分为若干个小问题，对其进行分类讨论，使相对复杂的问题变得简单化。
2.分类讨论在数学中考中的地位。纵观近几年的中考数学试题，分类讨论思想贯穿其中，几乎在全国各地的中考试卷中都会有这类试题，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度。既然中考重视，教师和学生必然也重视，但是由于涉及要分类讨论的问题一般都具有比较强的逻辑性、综合性、探索性，大部分学生往往难以入手，得分率低，历来是教学和学生学习的双重难关，也是考生的严重失分点。
二、等腰三角形分类讨论的策略与实践
分类讨论思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，当被研究的问题包含多种可能不能一概而论时，就要按照可能出现的各种情况进行分类讨论，从而得出各种情况下的结论。而等腰三角形往往出现各种情况的可能性比较多。八年级学生之前遇到的分类讨论题相对简单且不多，这部分知识对于接触几何知识较少的学生来说确实是个难点。于是把等腰三角形的几种典型分类讨论题集中在一起复习，让学生去体会、去感悟。
1.遇边需讨论。数学教材对等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫等腰三角形。而等腰三角形相等的两条边叫腰，所以，等腰三角形的两条腰相等。但在实际问题中具体哪两条边是腰具有不确定性，所以当等腰三角形的腰不具体时都要进行分类讨论。于是把书本上的一些有关等腰三角形边的分类题进行适当加工放在一起进行课堂复习，让学生通过老师的引导和自己的练习领悟什么情况要分类、怎么分等。
例：已知等腰三角形的两边长分别是4和6，求它的周长。（浙教版八上P55作业题1）
分析（图1）：已知条件中并没有指出4和6谁是腰长谁是底边长，因此4和6都有可能是等腰三角形的腰。当4是腰时底边长是6，则此时周长是14；当6是腰时底边长是4，此时周长是16。故周长是14或16。
腰
分类讨论思想→等腰三角形的边
底边
图1
变式练习：已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求它的周长。（浙教版八上P85目标与评定第7题）
学生1：12或15。老师立马叫是此答案的同学举手，结果有将近一半的同学举起手。老师：哪位答案不同的同学来说说理由？学生2：15。因为腰为3底为6时，此时3、3、6不能构成三角形。所以腰为6底边为3，此时周长为15。老师：非常好。教师小结：对于腰和底边不确定的等腰三角形，要对其进行分类讨论，还要运用三角形的三边关系来验证是否能组成三角形。
数学是初中课程中相对薄弱的学科，部分学生对数学存在着畏难心理，对分类讨论思想的畏难心理就更严重了。这也导致其在进行数学学习中缺乏自信心。为了更好地解决这种情况，教师应该营造出良好的课堂气氛并对学生进行及时的肯定和鼓励，充分发挥出学生的主观能动性，使学生能够愉快地学习分类讨论思想，并对其进行熟练的运用。它不仅可以使学生有效地解决一些问题，同时还可以培养他们的观察能力和全面思考问题的能力。
2.遇角需讨论。俗话说得好，“数学是思维的体操”。要想进行数学学习，就一定是离不开思维运用，在对数学进行的每一步探索都是需要思维来完成。 因此，在数学教学中，教师要对学生慢慢地进行数学思想方法的渗透，使学生的思维能力得到进一步的提升，使其能够形成一个良好的数学思维习惯。这样不仅符合新课改的新要求，而且还是实施数学素质教育的一个很好的切入点。 基于前面有了对等腰三角形边的分类讨论，学生基本有了分类的原则和标准，于是对等腰三角形的角分类采用由易到难的形式呈现：例题1：已知等腰三角形的一个内角为70°，底角的度数为____。例题2：已知等腰三角形的一个内角为100°，底角的度数为____。这两题比较简单，学生快速做完，直接请同学来说出答案并分析原因，不完整的地方请同学补充。最后再简析一遍，以便照顾基础比较薄弱的同学，并对此题进行小结。
小结：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论（图2）：先确定已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。特别注意:当已知角为锐角时，它既可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；当已知角为直角或钝角时，它只能是顶角。
顶角
分类讨论思想→等腰三角形的角
底角
图2
变式练习：在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是____。
有了例题的分析，学生明白了怎样对等腰三角形的角分类，变式练习看似与例题相似，但此题很容易漏解，于是让学生先思考并画出草图，做好的同学再思考能想出几种方法？在学生做的同时查看他们画的图，发现有画两个有画三个的，两个图的比较多，而且基本是50°或20°于是叫了一个此答案的同学把自己的图画在黑板上（图3），并说出怎样分类，当说到∠A为底角时∠B为顶角，马上有同学说∠B还可能为底角。很快大家都明白了三个答案50°或20°或80°才是正确的。学生分析时老师以框架形式进行梳理（图4）。
图3 图4
小结：因为等腰三角形有两个底角，所以当∠A为底角时还要进行二次分类：∠B可能为顶角或为底角，而等腰三角形只有一个顶角，所以∠A为顶角时，不用再第二次分类了。当问到还有没有另外的方法时立马有同学来回答：因等腰三角形有两个角相等，所以可以这样分类：∠A=∠B或∠A=∠C或∠B=∠C。非常精彩的回答，让大家再一次明白选不同的标准有不同的分类。
通过以上两种边和角的分类，学生已经有较好的分类意识，但知识进行迁移后不一定考虑得全面。于是将一道作图题放在这里：拓展练习：如图5，
点A在直线l上，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形。请找出所有符合条件的点C，保留作图痕迹。
基于尺规作图是前一章学的，部分学生有点遗忘，于是对此题设置如下几个提问：（1）等腰三角形有没有什么不确定？需要分类吗？（2）如果分类，我们应该怎样进行分？（3）尺规作图怎样作出等腰三角形？（4）作出图形，看看答案是多少？
图5 图6
设置第一和第二问题是使学生有分类的意识。对于这两个问题，很快有学生回答边不确定，按边分类。因学尺规作图时还没学等腰三角形，很多学生具体怎么作还不清楚，于是进行提示：当AB为底边时怎样作出点C使AC=BC？马上有学生说：作AB的中垂线。问：依据是什么？大家都异口同声地说：中垂线上的点到线段两端的距离相等。第四个问题是个难点，让学生自己在作图过程中体验。学生开始作图时巡视他们做的情况，发现答案为两个点和三个点的较多，四个点的非常少。然后将其中一个同学四个点的答案投影出来（图6），让大家一起观察是否正确。很多同学恍然大悟：原来以AB为腰时，顶角和底角不确定，所以还要分∠A为顶角和∠A为底角两种情况。
这道题不仅有边分类还有角分类，而且是将知识迁移到作图题里来应用，对八年级的学生来说难度较大。让学生先思考再动手操作去发现问题、解决问题，不仅加深了学生对这道题的理解，还通过这道题目将问题延伸到其它题目，更为学生在今后的学习中知道什么时候分类、怎么分、分几次有了明确的指导。这样在以后遇到等腰三角形与函数结合及动点问题打下了扎实的基础，到时他们不仅可以按照分类标准进行分类，还可以用尺规作图来帮助解决。同时也达到了本教材的知识技能目标：能在理解的基础上，把对象运用到新的情境中。
3.遇高需讨论。在渗透分类讨论思想的过程中，首要的是分类。教师要培养学生分类的意识，然后才能引导学生在分类的基础上进行讨论。我们仔细分析教材应该不难发现，教材对于分类讨论思想的渗透是一直坚持而又明显的。比如三角形按角分类为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。三角形的高线虽然比较熟悉，但每次作高的三角形都是题目中画好的。由于这次设置的题目没有图形，加大了难度，所以先出示例题让学生小组讨论再根据讨论的结果画出图形。
例：等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45度，求这个等腰三角形顶角的度数。
有了之前的分类意识的培养，再通过激烈的讨论后，发现大部分小组都能在小组合作后正确画出图形。直接投影一正确答案并用框架图(图7)进行分析：
图7
小结：当三角形的形状不确定时，我们要对其进行分类，等腰三角形的形状可分为锐角等腰三角形、钝角等腰三角形和直角等腰三角形。本题很明显排除了直角等腰三角形。
变式练习：在△ABC中，AC=AB=5,一边上高为3，求底边BC的长。
有了例题的详细分析，大部分学生看到此题马上就开始画图，这样的习惯让我感到很欣慰。但变式题比例题多了一个不确定因素，不仅要考虑三角形的高在外部还是内部，还要考虑是等腰三角形腰上的高还是底边上的高。于是先请同学说出不确定因素，再思考怎样分类，最后画图算出三种情况的结果。
本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能，紧扣条件，分类画出符合条件的图形。不仅要考虑三角形形状不确定，还要考虑三角形高线有不同边上的高。从功能上看，这种分类讨论思想可以避免漏解、错解情况的出现；从学生的思维品质上看，有利于培养学生思维的严谨性与逻辑性。渗透分类讨论的思想方法，有利于提高学生分析问题和解决问题的能力，对培养学生全面观察事物、灵活处理问题的能力有积极的促进作用。
三、分类讨论中重要的注意事项
在初中数学教学中，通过分类讨论思想的渗透，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性。而分类是按照数学对象的相同点和不同点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解是十分重要的。正确的分类必须是周全的，而要正确分类需要注意以下几点：
1.什么样的题会出现分类讨论情况。一般是在题目中出现了“条件不确定或无法进行下一步”。
2.分类讨论的关键是“不重，不漏”，特别要注意分类标准的统一。
3.分类讨论的易错点：讨论有重漏，讨论之后不检验。
在初中数学中，分类讨论思想几乎把所有的知识点都贯通起来了，教师在制订教学目的、采用教学方法时都应有意识地突出分类讨论思想，并在具体教学过程中努力体现。根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐近、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学。 通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。
参考文献
[1]徐仁杰 等腰三角形中的分类讨论（初二）[J].数理天地（初中版），2017，（09），12-13。
[2]张彩艳 数学学科核心素养探析:内涵、价值及培养路径[J].教育导刊，2017，（01），60-64。
论文作者:王顺芝
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年1月总第253期
论文发表时间:2018/1/18
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