用生长型构架进行中考复习——“增长率问题”复习案例，本文主要内容关键词为：构架论文,增长率论文,中考论文,生长论文,案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文定位于中考第二轮复习，以复习“增长率问题”作为呈现的教学个案，以《数学课程标准》为准绳，以苏科版课标教材为主要素材，精选焦点问题，筛选热点题型，解析问题生长过程，提供问题解决方案。
一、教学构架
设计生长型构架。以教材基本内容（基本知识、基本技能、典型例、习题）为起点，揭示这些基本题或基本模型如何通过各种变化成为中考重点考题。通过这种方式搭建立体式、生长型内容构架，让所有学生能够借助构架中的“梯子”，达到一定的认知高度，并通过知识的生长过程，让学生看清数学本质，学会应变方法，切实提高解题能力。
二、呈现的案例
1.知识点揭秘
从知识背景看，增长率问题是反映国民经济持续、快速发展的常用指标之一，涉及方方面面，关系到千家万户，因此它具有丰富的社会、生活背景，势必成为中考命题的热点背景。
从知识结构看，增长率问题是《数学课程标准》要求掌握的基本问题之一。在初中这一学段的主要内容有：同一数量，经过一次增长（降低）的增长率（降低率）问题；同一数量，经过两次相同增长（降低）的平均增长率（降低率）问题；两个数量，每一个数量经过各一次增长（降低）的增长率（降低率）问题等。
2.问题原型
(1)增长（降低）率原型。
例1 （苏科版课标教材七年级上册习题4.1第3题）春节期间，鲜花店里的某种鲜花价格上浮了20%，小明花了18元买了一束这种鲜花，求它原来的价格。
例2 （苏科版课标教材七年级上册习题4.1第4题）某果品仓库存放的水果运出了25%后，还剩余3150kg，这个仓库原来有多少水果？
剖析：上述两道习题都分别涉及同一个数量，并且是同一个数量经过一次变化的增长率（降低率）模型。解决此类问题的关键是要弄清楚增长（降低）的含义是什么？问题的原始状态的数量关系是什么？经过一次变化（增长、降低）后的最终状态的数量关系是什么？这些问题弄清楚了，则此类问题就得以“解模”了。
事实上，同一个数量中，经过一次增长（降低）的增长率（降低率）问题的数学本质是：a(1±x)=b，其中a为原始状态的数量（有时我们称之为“起始数”），b为经过一次变化（增长、降低）后的最终状态的数量（有时我们称之为“终端数”），x为经过一次变化的增长（降低）的百分率，符号“+”“－”分别表示要解答的问题的性质是“增长”和“降低”。
(2)考题剖析。
同一个数量中，经过一次增长（降低）的增长率（降低率）问题，通常可以通过下列变式呈现中考考题。
例3 （2005年重庆卷）受国际油价上涨的影响，某地2005年4月份93号的汽油价格是每升3.8元，5月份93号的汽油价格是每升3.99元，则4～5月93号油价上涨的百分数是______。
剖析：此题“起始数”a是3.8元，“终端数”b是3.99元，待求数是上涨的百分数x，根据a(1±x)=b，可求出上涨的百分数x。
例4 （2006年山东·青岛卷）某商店的老板销售一种商品，他要以不低于进价的20%的价格才能出售，但为了获得更多利润，他以高出进价80%的价格标价，若你想要买下标价为360元的这种商品，最多降价______元，商店老板才能出售。
剖析：解答此题，首先要弄清楚商品经营中的“进价”“标价”“售价”的含义，然后根据a(1±x)=b解决问题。
3.问题生长
(1)“同一数量经过两次增长（降低）”——平均增长（降低）率问题。
例5 （苏科版课标教材九年级上册第96页问题2）某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？
剖析：因为从6月份到8月份要经过两次（两个月）变化，所以利润必须经过两次增长。若每次的增长率相同，那么就把这相同的增长率，称为平均增长率，故此题又可称为“平均增长率”问题。平均增长率问题可通过列表（此例中可列表1）的方法来构建出问题变化的本质。
表1
从表1中可以清楚地看出平均增长率的变化过程：同一个数量经过一次增长为a(1+x)=b（例1的问题），在一次增长后再以相同的百分率增长一次，那么就有
。
对于这个模型，仍有a为“起始数”，b为“终端数”，x为增长过程中的相同增长百分率。
若问题涉及减少（降低）时，则有
。由此可见，平均增长（降低）率问题，实质是同一个数量至少经过两次相同增长率（降低率）的问题。
若在同一个数量上，经过n次相同增长率（降低率）的问题，则有
。
(2)考题剖析。
例6 （2008年江苏·南通卷）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改造工程”予以一定比例的补助。2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改造工程”1176万元。
(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率。
(2)从2008～2010年，A市3年共投资“改水工程”多少钱？
剖析：问题(1)是一个标准的平均增长率问题，利用平均增长率模型，问题便可迎刃而解；问题(2)即要求求出2008年、2009年、2010年这三年投入“改水工程”的资金的和，若将平均增长率求出来，此题就是一个“纯算术求和”的问题了。
(3)平均增长率问题的变式。
变式1 已知“平均增长率”“终端数”，求“起始数”。
例7 （2007年青海·西宁卷）某商品连续两次降价10%后价格为a元，则该商品的原价为()。
(A)
(B)1.12a元
(C)
(D)0.81a元
变式2 已知“起始数”“平均增长率”，求“终端数”。
例8 （2007年辽宁卷）某商场2006年的销售利润为a，预计以后每年比上一年增长b%，那么2008年该商品的销售利润将是()。
变式3 已知“起始数”“三年的总和”，求“平均增长率”。
例9 某农场去年种植的棉花总产量为20000kg，根据市场需求，计划将3年的累计总产量提高到140000kg，求今、明两年的平均增长率。
注意：(1)不能错误地将方程列为
，这里的140000是3年的总产量的和，而非“终端数”。“终端数”是指某一个数量经过一次或多次变化的数量，而绝非是变化后的几个数量的和，这一点要弄清楚。
(2)若今年比去年增长了100%，则可认为今年的数量与去年相比翻了一番；同理，明年的产量比今年的产量增长了100%，那么就可以说，明年的产量与今年相比翻了一番。由此可得，在上个世纪我国国民经济制定的翻番目标的真正含义了。
变式4 “问题原型”与“平均增长率模型”综合。
例10 （2007年浙江·宁波卷）某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250
，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%。从第二天开始，该项工程加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440。求：
(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数。
剖析：此题将“问题原型”与“平均增长率模型”结合在一起，以考查学生对模型的辨析能力和解决问题的能力。
4.问题再生长
(1)“两个数量中每一数量经过各一次增长（降低）”的问题。
在上述增长率、平均增长率的问题中，研究的是一个数量的变化，即某一个数量经过一次变化
或经过两次相同变化
的问题。而增长率问题往往还涉及不同数量的增长问题，对于这类问题该如何解决呢？我们可以从分析下列考题的过程中得到启发。
例11 （2007年江苏·南京卷）某农场去年种植了10亩南瓜，亩产量为2000kg，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜总产量为60000kg，求南瓜亩产量的增长率。
剖析：此题涉及到种植面积（亩）与亩产量(kg)这两个数量的变化，这是与上述几例的不同之处（上述几例只涉及到一个数量的一次或两次变化）。此题种植面积这个数量只经过一次变化，亩产量这个数量也只经过一次变化，我们可将这两个数量的变化关系通过列表的形式表示出来。若设南瓜亩产量的增长率为x，则可得表2。
故可得方程2000(1+x)·10(1+2x)=60000。
此题的本质是两个数量［亩产量(kg)与种植面积（亩）］各经过一次变化，而这两个数量内部之间存在着一定的制约关系（亩产量x亩数=总产量），那么我们就可以根据这种制约关系来列方程求解。
此题的数学模型为：a(1+x)·b(1+y)=c，且y=2x。
(2)考题剖析。
例12 （2008年安徽卷）某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%。求这个月的石油价格相对于上个月的增长率。
剖析：此题涉及石油的进口量和石油的进价这两个数量，要注意石油的进口量在原有基础上降低（降低率模型）及石油的价格在原有基础上增加（增长率模型），而进口石油的费用等于石油的进口价格与石油的进口量的积。若设这个月的石油价格相对于上个月的增长率为x，则有a(1+x)·b(1-5%)=ab(1+14%)。
(3)两个数量中每一数量经过各一次增长的问题的变式。
例13 （2009年安徽卷）某市2008年国内生产总值(GDP)比2007年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2009年比2008年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是()。
(A)12%+7%=x%
(B)(1+12%)·(1+7%)=2(1+x%)
(C)12%+7%=2·x%
(D)
剖析：此题将增长率的视角投向了时代感较强的国际金融危机，把平均增长率问题和两个数量中每一数量经过各一次增长的问题进行综合，充分体现了命题者命题立意的独具匠心和对数学模型的独特见解。
5.增长率问题与其他知识的综合
增长率问题与存（贷）款利率问题相关联的考题例举如下。
例14 （2007年江苏·无锡卷）某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率。
增长率问题与方程（组）模型相联系的考题例举如下。
例15 （2007年四川·宜宾卷）某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元。
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件，若该商品原来每月可销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？
解：(1)设降价率为x，
所以降价率为10%。
(2)设两次调价后，可多销售y件，
根据题意，
。
解得y=380。
所以两次调价后，每月可销售该商品500+380=880（件）。
三、注意要点
1.用生长型构架进行复习，要选准问题的起点与终点
用生长型构架进行复习，要认真研究《数学课程标准》和教材，创造性地使用《数学课程标准》和教材，要有打破教材结构的勇气，深刻反思和总结教学中相近或相邻的知识，从知识体系和知识结构上去把握初中数学教学内容和教学要求，选准问题的起点与终点。要以“典型问题”为起点，并以此为教学的基点，揭示从教材中的基本问题（问题的起点）演变成为中考中的焦点问题（问题的终点）的过程本质，以帮助学生寻找和总结应对策略（解题方案）。
2.用生长型构架进行复习，要设计好问题生长的路径
在选择好问题的起点与终点之后，要认真建构所要复习内容的生长过程，精心设计好问题生长的路径，创造性地提炼知识的生长链，充分展示模型变化、结构变化、背景变化、深度变化、复杂度变化的关系，将纵向与横向变化结合在一起，既注意如何变化（变化过程，纵向），又注意多种典型变化（变化型态，横向）；要注意揭示变化中的不变性的规律，彰显数学变式的魅力，先以简练的语言叙述某一种模型或某一种变化，而后紧接着进行典型变式。
3.用生长型构架进行复习，要精选生长链中的例、习题
用生长型构架进行复习时，应根据所复习的内容，精选生长链中的例、习题。例、习题的数量原则上够用即可，要注意精选，并提供有针对性的练习（提供的练习不一定要求全是中考题，也可以提供一些原创题），同时要注意所选习题的梯度。