品读佳作后的思考——也谈“3种思路”破解中考压轴题，本文主要内容关键词为：佳作论文,中考论文,也谈论文,思路论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
文[1]从初中数学新课程要求的角度，全面、深入、细致地研究了2009年山东中考压轴题的多种证法.笔者在阅读后，很受启发.
一、对原题和文[1]的认识
原题已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于点F，连接DF，G为DF中点，连接EG、CG.
（1）求证：EG=CG；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转450°，如图2所示，取DF中点G，连结EG、CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）
命题组提供的参考答案.
第（1）题：在Rt△FCD中，因为G为DF的中点，所以CG=
FD.同理，在Rt △DEF中，EG=·FD.所以CG=EG.
第（2）题：（1）中结论仍然成立，即EG=CG.
证法1：如图4，延长CG至M，使MG=CG，连接MF、ME、EC.
在△DCG与△FMG中，因DG=FG，∠CGD=∠MGF，CG=MG，所以△DCG≌△FMG.所以CD=MF，∠DCG=∠FMG.所以MF//CD//AB.在Rt△MFE与Rt△CBE中，因为MF=CB，EF=EB，所以△MFE≌△CBE.所以∠MEF=∠CEB.所以∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.所以△MEC为直角三角形.因为MG=CG，所以EG=MC.所以EG=CG.
证法2略.
第（3）题：（1）中的结论仍然成立，即EG=CG.其他的结论还有EG⊥CG.
中考压轴题通常由几个小题组成，小题之间存在某种联系，此题亦然.第（1）题考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知识，第（2）题采用由第（1）题旋转变换而来.命题者提供的两种证法对第（2）题来说算不上最佳，证法1不惜作4条辅助线，这样做有何深意呢？
命题人似乎在玩魔术师的障眼法.在第（1）题的基础上，旋转变换得到第（2）题，给人一个错觉，误认为第（2）题要用到第（1）题的知识，其实第（2）题的△EFB不一定要从第（1）题旋转而来，完全可以自由设置一个适度大小符合题意的△EFB，这样解题不易受限，思维空间更加广阔，照样可用文[1]的18种证法，甚至更多.
文[1]的主要解题观点是：综合性几何题的困难主要集中在两个方面：一是怎样作辅助线，二是怎样探索证明思路，而图形变换的思想方法能较好地解决这两个问题.文[1]认为该压轴题主要困难集中在第（2）题，故其主要内容是用3种思路18种证法探究第（2）题.3种思路分别是：旋转变换、对称变换和剪贴重合法，其中旋转变换证法11种、对称变换证法4种、剪贴重合法证法3种，辅助线有1条到4条不等.
文[1]的18种证法有何特点呢？用四个字概括：以虚探实.为什么这样讲？因为这些证法思路都是在假设成立的情况下想象出来的.笔者在品读文[1]时，见其多种证法均采用旋转90°，曾不以为然，欲提出质疑，待读完全文，方知作者的“匠心”，文[1]独特的视角正体现在这里.旋转是虚拟的，旨在“帮助产生数学想象，导出辅助线与启迪证明思路，而非实际的旋转操作，证明中没有直接应用旋转的性质”.实际的证明过程书写与平时无异.虚拟为何成立呢？这是因为在题设下第（2）题不仅有结论EG=CG成立，还有结论EG⊥CG成立.作者知道了EG⊥CG成立，看到了问题的本质，所以才能居高临下.命题者要求只证EG=CG，把结论EG⊥CG隐藏起来，意欲何在呢？是为了不给第（3）题做暗示，递点子，试想第（2）题证明了结论EG⊥CG，第（3）题还有味道吗？然而，第（3）题只是要求观察猜想出结论，不要求证明，这就谈不上什么难度，结论好猜，证明较难，原题那样设计压轴作用不大.笔者赞成文[1]“此题的难度被许多人夸大了”的判断，不赞成某些专家“此题作为综合性的压轴题，其综合性是无可比拟的”说法，也不赞成文[1]“第（3）题的结论判断与新结论的发现对学生的数学思维提出了更高的要求”的观点，因为有第（1）、（2）题垫底，凭经验与直觉，第（3）题的结论判断与新结论的发现，是水到渠成的事，即便是“懵”也不难“懵”出结果.
全方位多角度深入细致地研究一个题，源于什么？源于对数学的热爱，因为“数学好玩”（陈省身语），因为我们所做的一切都是为了学生.“数学解题无禁区，数学教学有讲究”（罗增儒语）.由此笔者想到这18种证法有没有最佳证法，还有没有其他较好的证法，如何教学和拓展这道题？
什么是最佳证法？对纯粹解题而言，就是思维回路少，解题长度短，自然简易，能揭示题目本质的证法；对教学解题而言，还要注意体现通性通法，注意学生是否容易想到，容易接受.如果过程复杂，技巧生僻，学生难以想到，难以接受，这样的证法就最好不要用于课堂教学.
二、对原题的再探究
这道中考压轴题还有哪些证法？哪些证法更有利于教学呢？
1.容易想到的两种证法（思路一）
如图5，过点G作MN//AD，交AE于点M，交DC于点N.易证△GME≌△CNG（SAS），所以EG=CG且EG⊥CG.这两个结论是同时得到的，原题却只求证EG=CG，若不是为了给第（3）题增加点难度，岂不显得太做作？这种证法只作了一条常见的辅助线，只证了一次全等，清爽，学生容易想到，容易接受，教学中应该予以考虑.
如图6，连结GA，过点G作GM//AD，利用GA搭桥，GA=GC太显然，GM又是梯形AEFD的中位线，由线段垂直平分线性质，得GA=GE，故GE=GC.这种证法自然简易，有平时经验可借鉴，教学中也应该予以考虑.
2.数形结合的一种证法（思路二）
数形结合是中学阶段重要的数学思想方法，在解题中的威力随处可见，中考复习时应当强化数形结合法.此题用数形结合法非常简明.如下页图7，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.直线BD是正比例函数y=x的图像，因此可设直线BD上的三点坐标为F（a，a）、G（x，y）、D（b，b）.显然x=y=
（利用梯形中位线或中点坐标公式），则有E（0，a）、G（b，0）.用勾股定理或两点间的距离公式算得：
.所以GE=GC，而
，所以∠EGC是直角，即EG⊥CG.这种证法，沟通了几何与代数之间的联系，为高中数学学习作了铺垫，解题功能强大，干净利索.
3.彰显题目本质的一种证法（思路三）
文[1]称该压轴题的主要困难集中在（2）题，故用3种思路18种证法探究第（2）题，又说第（3）题对学生的数学思维提出了更高的要求，但又没说要求高在何处，如何在中考复习中解决思维发展的问题，让人觉得有点遗憾.要求高在何处呢？高在不是“懵”出结论了事，而是高在“知其然，还要知其所以然”.开头时笔者提出了这样的问题：命题者提供的两种证法对第（2）题来说算不上最佳，其证法1不惜作4条辅助线，这样做有何深意呢？此时有答案了.因为证法1是通性通法，能揭示出题目本质.命题者是想让你循着证法1的思路去理性地得出第（3）题的结论.第（1）题之法非通法，它不能用于证明第（2）题，第（2）题证法1是通法，它不仅可以用于第（1）题，还可用来证明第（3）题的结论.
4.对此题的拓展研究
原题可作下列拓展：已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于点F，连结DF，G为DF中点，连结EG、CG.
（1）求证：EG=CG；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图2所示，取DF中点G，连结EG，CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.EG与CG还有何特殊位置关系？
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连结相应的线段，问（1），（2）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论.
这样拓展，难度增加了，即便不适合作考题，但未必不是一道好的思维训练题.证明如下：
如图8，延长CG至点M，使MG=CG，连结接MF并延长交BC于点N，连结ME、EC，在△DCG与△FMG中，因为DG=FG，∠CGD=∠MGF，CG=MG，所以△DCG≌△FMG.所以CD=MF，∠DCG=∠FMG.所以MF//CD//AB.所以在△MFE与△CBE中，因为MF=CB，EF=EB，∠EFM与∠EBC都与∠EFN互补，所以∠EFM=∠EBC.所以△MFE≌△CBE.所以∠MEF=∠CEB.所以∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°.所以△MEC为直角三角形.因为MG=CG，所以EG=MC.所以EG=CG.又由△EFM≌△EBC，得EM=EC，所以EG⊥CG（等腰三角形三线合一）.
与命题者的证法1比较，不是一样吗？的确一样，只是∠EFM与∠EBC由直角变成了钝角，所以证法1是通法.
三、结语
中考复习，经常会遇到压轴题，如何进行教学需要认真研究，方法多未必就好，一切要以有利于学生发展为核心.上述3种思路是笔者长期实践与研究的心得，还望同行指教.文[1]在教学反思中也谈到：“由于旋转中心、旋转角、对称轴、平移的直线可能都不唯一，这在思路的选择上既是机遇又是挑战”.那18种证法，作为教师的研究成果，是值得称道的，但若不顾学情，盲目地用在教学中，可能适得其反，特别是用虚拟手法分析，一定得当心，谨防弄巧成拙.