期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆 程俊云(湖北省黄冈市蕲春县毓华中学 湖北省 黄冈市 435327)
中图分类号:G688.2文献标识码:A文章编号:ISSN0257-2826 (2019)09-127-02
1. 反证法的概念与来源
1.1 反证法的概念
反证法是一种间接法,证明定理的一种方法,先提出和定理中的结论相反的假定,然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来,这样就否定了原来的假定而肯定了定理,也叫归谬法. 反证法是一种间接证法,它不直接证明论题“若A则B”(即A→B)为真,而是从反面去证明它的否定命题“既A且B”为假,从而肯定“若A则B”为真的证明方法.
1.2 反证法的来源
1.2.1 古希腊的反证法
反证法,无论是逻辑上的还是数学上的,它的概念都是一致的.即是反证法是证明的一种方法.西方数学在毕达哥拉斯学派的影响下,认为万物皆数.但随着这个表征数学史第一次危机“根号 2”的问题的出现,使得希腊人重新审视了自己的数学,这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何.
1.2.2 中国古代数学的反证法
在我们中国的传统数学中,本身对于演绎的证明一般就不太重视,而且中国传统逻辑学的不完备,尽管我们中国的先辈们认识到了一些逻辑规律,并且在魏晋时期就已经大兴辩难之风,但是他们大多使用的都是类似于反驳,在他为《九章算术》作注释时也多次采用了归谬论证法,墨子也使用归谬法.但是应该指出,明确的反证法的用法却是凤毛麟角,在这一点上与西方存在着差别极大,而在中国数学中,即便是刘徽这位我国古代在理论与逻辑方面都很擅长的数学大师,也只是用到了反驳(如:举反例).
1.2.3 反证法的其他来源
① 墨子的“归谬法”
例如:“学之益也,说在诽者.”通过证明“学习无益”是假,而得到“学习有益”的命题是真.这是一个非常有意思的反证法的特例.而将其归为归谬论证欠妥切,归谬是反驳的一种方法,显然在这里是证明一个命题为真.
② 刘徽的“证伪法”在我们的数学中,我们都只将证明与反驳对应为直接证明、归谬法(如反例法)与间接证明(如反证法).从这意义来说,刘徽他并没有使用过反证法,他仅仅只是在使用归谬法,只是在推翻一些假命题,即在证伪.
1.3 反证法的一般步骤
学习反证法应把握它的一般步骤:
反设:假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;
归谬:将“反设”作条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾.
结论:因为推理正确,产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.
具体方法:
命题r=在C下,若A则B
反证:若A则¬B,证明¬B与A的矛盾
例1求证 A(原论题)
证明 (1)设非A真(非A为反论题)
(2)如果非A,则B(B为由非A推出的论断)
(3)非B(已知)
(4)所以,并非非A(根据充分条件假言推理的否定后件式)
(5)所以,A(非非A=A).
例2如果a是大于1的整数,而所有不大于a的素数都不能整除a,则a是素数.
证明 假设a是合数,记a=bc (b、c∈Z,且b, c>1),由于a不能被大于1且不大于a的素数整除,所以b>a,c>a,从而bc>a,这与假设a=bc矛盾,故a是素数.
2. 反证法的适用范围
究竟什么样的命题可以用反证法来证呢?当然没有绝对的标准,但证题的实践告诉我们:下面几种命题一般用反证法来证比较方便.
2.1否定性命题
即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题,直接证法一般不易入手,而反证法有希望成功.
例3 求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角.已知:∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内角.求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个钝角.
证明 假如∠A,∠B,∠C中有两个钝角,不妨设∠A>900,且∠B>900,则∠A+∠B+∠C>1800.这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾. 故 ∠A,∠B均大于900不成立.所以一个三角形不可能有两个钝角.
2.2限定式命题
即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题.
例4 求证:素数有无穷多个.
证明 假设素数只有n个: P1、P2……Pn,取整数N=P1?P2……Pn+1,显然N不能被这几个数中的任何一个整除.因此,或者N本身就是素数(显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个),或者N含有除这n个素数以外的素数r,这些都与素数只有n个的假定相矛盾,故素数个数不可能是有限的.
2.3某些存在性命题
例5 设x,y∈(0,1),求证:对于a, b∈R ,必存在满足条件的x,y,使|xy - ax - by|≥31成立.
证明 假设对于一切x,y∈〔0 , 1〕使|xy - ax- by| <31恒成立,
令x = 0, y = 1 , 则|b|<31令x = 1 , y = 0,得| a| <31令x = y = 1,得| 1 - a - b| <31.但| 1 - a - b| ≥1 - | a| - | b| >1 -31-31=31产生矛盾,故欲证结论正确.
2.4一些不等量命题的证明
如:不等式,反证法是证明它的一种重要方法,但当结论反面有无穷多种情况时,一般不宜用反证法.
2.5基本命题
例6. 求证:两条相交直线只有一个交点.已知:如图,直线a、b相交于点P,求证:a、b只有一个交点.
证明 假定a,b相交不只有一个交点P,那么a, b至少有两个交点P、Q.于是直线a是由P、Q两点确定的直线,直线b也是由P、Q两点确定的直线,即由P、Q两点确定了两条直线a,b.与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾,则a,b不可能有两个交点,于是两条相交直线只有一个交点.
2.6整除性问题
例7. 设a、b都是整数,a2+b2 能被3整除,求证:a和b都能被3整除.证明 假设a、b不都能被3整除.
分三种情况讨论:
(1)a、b都不能被3整除,因a不能被3整除,故a2不能被3整除,同理,b2不能被3整除,所以a2+b2也不能被3整除,矛盾.
(2)a能被3整除,b不能被3整除,可得a2能被3整除,b2不能被3整除,故a2+b2也不被3整除,矛盾.
(3)同理可证第三种情况.由(1)(2)(3)得,原命题成立.
参考文献
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论文作者:程俊云
论文发表刊物:《教学与研究》2019年9期
论文发表时间:2019/9/5
标签:反证法论文; 素数论文; 命题论文; 归谬法论文; 矛盾论文; 直线论文; 结论论文; 《教学与研究》2019年9期论文;