数学表象教育价值探析，本文主要内容关键词为：探析论文,表象论文,数学论文,价值论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学表象是表征数学知识的一种重要形式，它贯穿于数学学习的全过程。同时，数学表象的直观性，很容易掩盖其深刻的内涵与复杂性。另外，由于数学概念、定律、性质、法则、公式、定理等知识都有其相应的数学表象，因此，探究数学表象的教育价值，具有广泛的现实意义。数学教育价值的内容一般是通过数学教育目的呈现出来的，而数学教育研究者认为，数学教育的目的必然涉及相应的利益群体。这一点在理论和经验的探讨上已经得到了诸多研究者的认同。如代表人物Ernest列举了三个利益群体：(1)教育者；(2)数学家；(3)企业和社会界的代表。其中每个群体都有自己的数学教育目的。归纳起来这些目的是：(1)个人的发展；(2)纯数学知识的获得；(3)实用的目的[1]。内地的数学教育价值是以数学课程目标的形式呈现出来的，数学课程目标是数学教育一切活动的起点和归宿[2]。鉴于以上分析，本研究将数学表象的教育价值归纳为以下方面。
一、借助数学表象的直观性，帮助学生形象、快速地认识抽象的数学知识
数学具有高度的抽象性，这种抽象性常制约着学生对数学知识的理解，影响着学生学习数学的兴趣。借助数学表象，充分利用数学表象的直观性，能有效地解决这一问题。例如，小学生理解抽象的、语言表征的圆的概念几乎是不可能的，即“在同一平面上，和定点距离为定长的点的轨迹”。但是，教师可以通过精心设计教学活动，让学生在画圆、剪圆和摸圆的过程中认识圆，建构圆的直观图形表象，并借助圆的图形表象，直观形象地认识圆的本质属性以及其他知识。
斯诺的“折纸测验”，说明了表象表征可以压缩人们的工作记忆容量，这也是其他表征形式难以做到的。表现在数学学习中，借助数学表象，能帮助学生迅速回忆起相关的数学知识。例如，在解决与三角形有关的数学问题时，解题者都习以为常地先画出一个三角形，然后结合数学问题中提供的信息，迅速、条件反射似的想起有关的三角形的知识，如定义、分类、内角和为180°、两边之和大于第三边……并以此尝试寻找解决问题的不同方法，从中筛选出有效、简捷的解决问题方法。这种帮助学生压缩记忆数学知识容量、迅速回忆起数学知识的功能，是数学表象教育价值的重要内容之一。
二、借助数学表象的表征功能，优化学生的数学认知结构
分析当前学生的数学认知结构，不难发现，数学陈述性知识的命题及其网络表征受到了教育者的普遍重视，而数学表象的教学被忽视，也是不争的事实。结果是，学生的数学认知结构中逻辑化成分很突出、很强，而学生的直感能力乃至创造力都受到了不同程度的压制，数学表象在学生数学认知结构中的地位没有得到教育者的充分重视。从这个意义上说，我们应该解决当前数学表象教学中存在的问题，发挥数学表象在知识表征过程中的作用，实现优化学生数学认知结构的目的。
首先，教师要引导学生经历数学表象由具体到抽象的概括过程，帮助学生认识到数学表象是直观性和概括性的辩证统一。分析学生在数学表象学习过程中出现的问题，多数是由于他们只看到了数学表象的直观性，而忽视或遗忘了数学表象的概括性。按表象的概括性分，表象可以分为个别表象和一般表象。我们通常说的某知识的数学表象是指它的一般表象。学生在经历数学表象由具体到抽象的概括过程中，需要分别考察某数学知识的个别表象，需要通过个别表象的概括，抽象出某数学知识的一般表象。因此，学生在这个过程中可以充分认识到某数学知识的个别表象和一般表象之间的辩证关系，克服学生只见数学表象直观性的片面性。
其次，发挥语言表征的协同作用，帮助学生准确把握数学表象所表征的意义。特别是图形表象教学中，小学生经常把图形表象所反映的非本质属性当作了它的本质属性。如，学生把“四个角不是直角”看成是平行四边形的本质属性，就是一例。为了解决这个问题，现代认知心理学认为，表象既可以用图像编码，也可以用语言编码。具体地说，教学中可以发挥语言的协同作用，借助语言把握数学表象所表征的意义。
再次，帮助学生构建以数学表象为内容的知识网络结构。这种网络结构以揭示数学知识之间的关系为主要内容，包括数学命题和数学表象之间的关系等。具体分为两种情况：第一，某一数学表象表示不同的数学对象。例如，图式表象“a=bc”不仅可以用来表示长方形的长、宽与面积之间的关系以及平行四边形的底、高与面积之间的关系，而且可以用来表示时间、速度与路程之间的关系等。具有相同的图式表象，说明了这些知识之间一定存在着某种必然的联系，在一定条件下它们是可以相互转化的。比如，表现在解决行程问题时不仅可以用线段的长度表示路程，而且可以用长方形的面积表示路程，长和宽分别表示时间和速度等。第二，不同数学表象之间存在的联系。例如，图1就很好地反映了四边形、平行四边形、梯形、长方形和正方形等几何概念图形表象之间的联系。
图1
三、以数学表象为基础，发展学生的形象思维能力
形象思维指的是依靠人脑中对表象的意识领会，得到理解的思维方法。数学形象思维的基本材料是数学表象。数学形象思维能力主要表现为直感能力和想象能力两种形式。
1.在利用数学表象进行判别的过程中培养学生的直感能力
数学直感是指在数学表象的基础上对有关数学形象特征进行判别的思维过程。根据数学直感的定义，不难看出，数学表象是学生数学直感的依据。因此，数学表象对学生直感能力的培养起着关键的作用。同时，数学直感又可以划分为形象识别直感、模式补形直感和形象相似直感等形式，也就是说，培养学生的数学直感能力可以从这三个方面着手。
形象识别直感是指用数学表象的特征去比较具体数学对象的个象、判别个象特征的思维形式。教学实践经验显示，加强数学表象的变式训练，是提高形象识别直感能力的一条重要途径。例如，在三位数乘两位数的笔算教学中，当学生遇到变式后的问题“计算26×309=______”时，他们首先要对算式进行形象识别，这是解决问题的关键。当学生发现这个算式“26×309=______”可以化归为已学过的三位数乘两位数的笔算乘法（例如：144×15=______）后，他们才有可能在众多方法中选择适合的、简便的计算方法，如，竖式计算。在学生发现计算方法的过程中，图式表象“144×15=______”起着关键的作用，它是学生鉴别算式“26×309=______”特点的依据。教师在引导学生探索“26×309=______”计算方法的过程中，学生对三位数乘两位数算式的识别直感能力得到了进一步的提升。
模式补形直感是指利用人脑中已建构的数学表象，对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形、实施整合的思维形式。在形象识别的基础上，利用图形表象和图式表象分别对有关对象进行补形，是解题中常用的一种方法，教学中有大量的实例可以说明这一点。教师引导学生发现并对具体对象进行补形的过程，就是培养学生补形直感能力的过程。
形象相似直感是指以形象识别直感和模式补形直感为基础的复合直感。这种直感常出现在解决有一定难度的数学问题过程中，学生此时找不到同质的已有数学表象，也不能通过补形将该数学对象化归为已有的数学表象，而是需要学生筛选出最接近于目标的数学表象来进行形象识别的一种思维方法。因为在原数学问题中找不到同质的数学表象，所以需要解题者通过添加辅助线的形式，构造出能帮助有效解决问题的数学表象。
2.在对数学表象进行结合和改造的过程中发展学生的想象力
要说明的是，数学想象力是通过图形想象力和图式想象力两个方面表现出来的，两者缺一不可。其中，图形想象力是以图形表象为基础，学生通过改造和组合而展现出来的能力；而图式想象力则是以图式表象为基础，通过学生的改造和组合而表现出来的能力。教学中教师要兼顾学生图形想象力和图式想象力的培养。
四、以数学表象为桥梁，培养学生的抽象逻辑思维能力
表象虽然具有一定的概括性，但是以表象为依据进行的思维仍属于感性认识的范畴。数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性等特征。学生具备一定的抽象逻辑思维能力，是他们胜任数学学习的需要。培养学生的抽象逻辑思维能力，是数学教育的重要任务之一。数学表象在学生抽象逻辑思维能力的形成与发展过程中起着重要的作用。朱智贤和林崇德认为，表象是从具体感知到抽象思维的过渡和桥梁。没有这个过渡和桥梁，就不可能有抽象思维活动和理性认识[3]。因此，可以说，数学表象是由感知觉向抽象逻辑思维过渡的基础，它为学生抽象逻辑思维能力的形成与发展提供了可能。
抽象逻辑思维的基本形式有概念、判断和推理，三者是紧密联系在一起的，其中概念是基础，判断是概念的展开和发展，推理则是由一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式。数学学科理论体系的建立离不开抽象逻辑思维的作用，以数学概念为基础，进行判断、推理是形成数学学科理论体系的主要手段。下面以长方形概念的形成为例，探析长方形图形表象在整个过程中所起的作用。长方形概念产生与发展的历史显示，长方形的图形表征要先于长方形的概念而产生。人们认识长方形的活动最早开始于人类的生产与生活中，并且在相当长的时间内仅限于图形表象的直观认识，在随后漫长的历史变迁中，人们才逐步抽象概括出长方形的概念，即长方形对边相等，四个角都是直角。其次，当前教学实践显示，学生在长方形概念的建构过程中是离不开长方形的图形表象的。正是在学生折一折、量一量和比一比长方形纸片的边和角的过程中，他们才尝试用语言的形式来表征长方形的本质属性，经过师生的讨论，最终抽象、概括形成长方形的概念。因此，无论是从长方形概念产生与发展的历史还是从学生建构长方形概念的过程来看，长方形的图形表象都是其概念形成的桥梁。进而，以长方形概念为基础，才可能进行相关的判断或推理。
五、借助数学表象表征数学问题，提高学生解决问题的能力
培养学生解决数学问题的能力，是《数学课程标准》规定的重要目标之一。数学问题解决的过程是复杂的，信息加工心理学家把解决问题的过程归纳为四个步骤，并提出了“问题表征”是数学问题解决的第一步。数学表象是表征数学知识的一种重要形式，同样，它也是表征数学问题的一条重要途径。问题解决的心理过程研究显示，借助数学表象表征数学问题，可以帮助学生提高解决问题的能力。
首先，数学表象是表征数学问题的常用材料。解题者理解数学问题的过程一般包括：第一步，数学问题的字面理解。解题者需要把数学问题中的每一个陈述尝试转换为自己内部的心理表征，尝试着将数学问题与相应的数学知识和情境知识联系起来，为进一步理解数学问题做铺垫。第二步，数学问题的深层理解。心理学认为，问题深层理解指在问题表层理解的基础上，进一步把问题的每一陈述综合成条件、目标统一的心理表征。问题深层理解需要问题图式的知识[4]。数学图式是人脑对数量关系和空间形式的一般特征的概括，它是组成数学问题图式的重要内容，而数学表象又是数学图式的一种重要形式。因此，数学表象成为表征数学问题的常用材料太自然不过了。如，波利亚在关于“怎样解题”的论述中提出，“画张图，引入适当的符号”是解题者“弄清问题”的重要途径，而几何图形和符号都是数学表象的内容。
其次，借助数学表象，能够帮助学生直观、快速地发现解决问题的方法。例如，在解决与梯形有关的数学问题时，利用梯形的图形表象要比利用其命题表征的概念直观得多和快速得多。前者将要解决的问题与梯形的图形表象联系起来，问题变得直观了，随之解决问题的思路也就变得清晰多了。而后者则需要学生以梯形的概念等知识为基础，在判断与逻辑推理的过程中寻找到解决问题的方法。后者相比前者，对学生思维的要求要抽象得多和高得多，学生解决问题的难度要大得多，解题时间要长得多。当然，我们并不否认，后者更有利于学生抽象逻辑思维能力的培养。
第三，解题者以数学表象为对象，在探索解决问题方法的过程中提升解决问题的能力。Shepard的“心理旋转实验”令人信服地表明，人在完成某种作业或解决某些问题时，主要依赖于视觉表象或表象过程[5]。学生在借助不同数学表象来表征某一数学问题时，他们很可能探索出多种不同的解决问题的方法。例如，苏教版教材“两位数乘两位数的笔算”的内容：计算28×12=______[6]，教材给出了四种解决问题的方法（见图4）。分析这四种方法，不难发现，原数学问题的解决分别与图式表象“28×10=280”、“28×6=168和168×2=336”、“28×10=280、28×2=56和280+56=336”以及
有着直接的关系。另外，假设学生能想到12可以分解为1和11、3和9、4和8、5和7，想到12=3×4等图式表象，那么原数学问题至少又可以增加5种解法。总之，借助数学表象，可以帮助学生提高数学问题的表征能力，提高他们解决数学问题的能力。
图4