关于巨灾债券定价模型的研究，本文主要内容关键词为：债券论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
引言
巨灾债券是伴随着全球巨灾事件的频发而产生的一种新型的金融工具。它克服了传统巨灾再保险的缺陷，缓解了再保险机构的压力，将巨灾风险在保险人、被保险人和其他风险偏好者这一更广阔的范围内加以转移和分摊，从而有效地提高了保险业的承保能力和抵御风险的能力。巨灾债券自1997年由汉诺威再保险公司首次发行以来，已成为发展最快的金融产品之一。目前，全球共发行了超过98种债券，筹集资金突破了100亿美元。作为一种新的金融工具，巨灾债券的定价问题成为巨灾债券能否顺利发行的核心问题。本文从规范学的视角和实证学的视角引入模型来分析巨灾债券的定价问题，希望对巨灾债券的发行有一定的指导意义。
一、基于金融衍生品定价方法的巨灾债券定价模型
巨灾债券是一种用来分担某种灾难性风险而具有违约性的债券。由于巨灾债券与违约债券类似，因而巨灾债券的定价模型和方法可以借鉴目前比较成熟的违约债券的定价模型[1]。在无套利定价理论下，证券的价格等于到期支付在等价鞅测度Q下的期望折现值（测度Q是对应于真实测度的唯一等价鞅测度）。期限为[0,T]且期满时产生不确定现金流
的巨灾债券，在时间t内，可获得的信息为
为条件的定价公式为：
在t=0时刻，价格为：
假设无风险利率为常数r，这样问题就简化为：
（一）巨灾发生时间服从指数分布的债券定价
巨灾风险过程决定了支付结构的变化，如果在时间T之前巨灾发生，投资者没有支付；反之投资者在时间T获得全部支付F。巨灾发生时间为随即变量X，假定它服从强度为λ的指数分布，即：
（四）标准债券加看涨期权差价的定价
巨灾债券风险一般包括两种随机性来源：巨灾债券过程和利率风险过程，由于两种风险过程是相互独立的，可以将巨灾风险过程变成一种期权，而将利率风险过程结构化为一种标准债券。所以巨灾债券分解为标准债券和期权两个组成部分。标准债券的价格可以根据债券的票息、期限、当前市场收益等特点，用利率随机性模型估算出来；期权价格则与巨灾发生的概率和损失大小预计利率随机性等联系在一起，可以采用期权定价模型求出具体价格。巨灾债券在t期和0期的估值分别对应式(9)和式(10)用数学公式表示为：
根据上述四种巨灾债券定价模型，显见
。这具有经济学涵义：一是由于巨灾债券中含有巨灾风险，巨灾债券价格应该小于标准债券价格；二是采用标准债券中嵌入巨灾期权的方法，巨灾债券价格与整体计算方法一致；三是运用Black-Scholes期权定价模型来实现对巨灾债券的定价，模型虽然简单，但是方法和理念却是直接明了。然而，由于Black-Scholes模型对数据的要求相当高，而巨灾债券问世的时间仅有10年，受时间短和数据少的限制，实证研究采用这四种定价模型就显得不很合适。同时又因为这四种模型对风险分布的假定又过于简单化，因而对现实的描述就显得不足。正是由于这些原因，人们才不得不把研究的视角转向Wang变换和双因素变换模型[6]。
二、基于精算学定价方法的巨灾债券定价
定价风险证券的共同原则是：价格应该等于期望损失加风险附加。在保险领域中，最常见的风险附加公式是“期望损失加标准差的一部分”，即标准差保费原则。Kreps[2]首先建立了巨灾债券实证模型，其中标准差附加部分是包括利率在内的许多变量的一种函数。
（一）LFC定价模型
受Kreps模型的“模型加附加”的启发，Lane[3]认为，附加部分应该考虑分布的形式且损失频率和幅度是一种比较标准差更合理的测度系列。他应用Cobb-Douglas函数作为针对巨灾债券的期望超额收益的一种实证基准，提出了将EER（期望超额收益）和PFL（首次损失概率）所定义的频率与CEL（条件期望损失）所确定的幅度联系在一起的LFC(Lane Financial)巨灾债券定价模型，即：
其中，EL为期望损失；γ，α和β是从数据中估计出的参数。LFC定价模型对于比较巨灾债券的过去价格和确定未来价格具有一定的启示意义。但很多学者据此构建的线性方程模型，都未获得理想的实证效果[7]。
（二）Wang变换定价模型
比较不同资产类别的风险调整绩效需要一种适用于所有风险类型的基准。若使用夏普比率来衡量巨灾债券的相对价值，夏普比率只适用于收益服从正态分布的资产。由于巨灾债券的收益是偏倚的且跳跃的，并且绝大部分概率时间都集中在0损失处，而重大负收益的概率较小。Wang[4]提出的比例因素变换(proportional hazards,PH)模型，是将夏普比率测度从正态分布资产推广到更具普遍意义的偏倚分布资产的一种广义形式。即：
式(13)中，
是标准正态累积分布函数(CDF)；S(x)是损失变量x的生存函数(Survival Functions)，在保险中，也称为损失超额曲线(Loss Exceedance Curve)、生存曲线或尾部曲线；λ是风险附加，λ=1-1/ρ（ρ为风险厌恶水平）。这种概率变换方法（即Wang变换）使用一种确定性等价物和一种非期望效用框架以确定对保险风险收取的价格。
Wang变换扩大了不利结果的概率密度，同时缩小了有利结果概率密度，它结合了一定的风险调整或风险附加。但是，Wang变换没有考虑参数不确定性的问题，应用的效果也因此收到局限，所以有必要进行适当的技术调整。
（三）双因素变换模型
针对Wang变换模型的局限性，双因素模型对其进行了适当的改进。在Wang变换模型中假定了资产的收益是服从标准正态分布的，但在现实中很多资产的收益并非正态分布，而是出现一定的“厚尾”特征。因此双因素模型用t分布代替了标准正态分布。t分布具有厚尾、无尖锋的特征，这意味着出现巨额损失的概率要比正态分布的预测结果更高（t分布调整可以表现扭曲投资者理性行为的两种截然相反的力量：害怕和贪婪，即投资者害怕重大意外收益，结果导致尾部概率经常被扩大，且干扰大小在两端尾部也增加了）。用t分布代替Wang式中的标准正态分布[5]，则有：
。或者按照F(x)=1-S(x)等价为：
S*(x)=Q（φ(S(x))+λ）(14)
式(14)中，Q是一种自由度为k的t分布，其密度概率函数为：
式(15)作为Wang变换和t分布的结合，不仅针对二阶矩，而且对高阶矩和参数不确定性提供了风险保费调整，由此称为双因素模型。
三、实证研究：Wang变换模型和双因素模型的比较
要比较Wang变换和双因素模型的效果，具体方法如下：首先直接使用Wang变换进行估计，然后运用双因素模型（即t分布调整的Wang变换）来计算，最后对两种方法的效果或者精度进行比较。
（一）Wang变换模型与双因素模型的比较
为了对上述两种模型的效果进行比较，我们将采用SPSS应用软件，采用非线性回归的方法，分别拟合Wang变换和双因素模型到1999～2003年间全部巨灾债券98组样本数据（数据来自guycarp提供的全球巨灾债券报告(2005)，具体的样本数据，包括债券发行额、EL、PEL、PE、实际差价和模型差价，可参见附表1-4（表略，见原文）），进而比较两种模型的拟合优度，关于样本数据的描述性统计量见表1。
表1 1999～2003年巨灾债券描述性统计量
根据判定系数
（根据实际值与拟合差的平方和计算而得），Wang变换的拟合优度明显低于双因素模型，所以选择双因素模型进行拟合更符合现实情况（见表2）。但同时双因素模型的拟合优度仅为0.6477(＜0.8)，拟合本身并非优良，所以必须对样本数据进行筛选或者剔除。具体思路为：首先比较多年期限与单一年限；其次比较单一事件与单一期限内的单一事件。
表2 1999～2003年全部巨灾债券的非线形回归拟合结果
（二）多年期限与单一期限的比较
运用双因素模型评价全部单一事件和单一期限内的单一事件的拟合优度，并比较拟合结构，数据分别采用2002年27组数据样本和2003年27组数据样本。表3显示，双因素模型对于单一期限的拟合优度有明显的改观。但是，随着价差回调至一种适当水平，未来年度之间价差将趋于平稳，从而时间期限对拟合优度的影响有所减弱，因而我们可以运用双因素模型来评估跨时间期限的巨灾债券价差。从根本上说，双因素模型单一期限拟合度的改进主要是由于自由度的增加所致，而与样本容量变化相关度较小，因而从拟合优度提高的角度来看，正表明了该模型的适用性。这也是双因素模型比Wang模型要好的特点之一。相反，随着证券化市场规模的扩大以及证券化标的风险内容的增多，不同风险事件对拟合优度的影响应该逐渐增大。因此，通过对单一事件与单一年限中的单一事件来分析不同的风险事件对模型拟合度的影响。
（三）单一事件与单一期限内单一事件的比较
表3 2002～2003年全部巨灾债券的非线形回归拟合结果
运用双因素模型评价全部单一事件和单一期限内的单一事件的拟合优度，并比较两者的结果。以地震巨灾债券为例，采用1999～2003年所有的18组数据与2003年所有的8组地震数据作为样本，进行非线性拟合。表4显示，多年期限单一事件巨灾债券的拟合优度稍差（仅为0.5412），不及单一期限中单一事件的拟合优度。因此，双因素模型对单一期限中单一事件的巨灾债券定价效果最好，但却不宜用于评估多年期限单一事件的巨灾债券。
综合上述，由于单因素模型没有考虑到参数的不确定性，采用双因素模型具有更好的精度，能更好地拟合实际价差。同时，双因素模型对单年限的巨灾债券评价的拟合优度要高于多年限的巨灾债券的拟合优度；单一事件单一期限的巨灾债券也能获得较高的拟合优度，但却不宜评价跨年度的单一事件的巨灾债券价差。
表4 1999～2003年全部地震债券的非线形回归拟合结果
