关于《九章算术》进入中学数学教材的思考，本文主要内容关键词为：算术论文,中学数学论文,教材论文,九章论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、解读2011版新课标
2001年，国家启动了新世纪基础教育课程改革.经过十年的实践探索，课程改革取得显著成效，构建了有中国特色、反映时代精神、体现素质教育理念的基础教育课程体系，各学科课程标准得到中小学教师的广泛认同.同时，在课程标准执行过程中，也有一些标准的内容、要求有待调整和完善.为贯彻落实《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》，适应新时期全面实施素质教育的要求，深化基础教育课程改革，提高教育质量，教育部组织专家对义务教育各学科课程标准进行了修订完善，并于2011年12月28日正式印发义务教育阶段19个学科课程标准（2011年版），新课标将于2012年秋季学期开始执行.纵观修订后的课程标准，在很多方面发生了变化.如在课程容量控制上，进一步精选了内容，减少了学科内容条目.在课程难度控制上，直接删去了过难的内容；降低了一些知识点的学习要求，从“认识”和“理解”调整为“了解”；对难度较大又不宜删除的内容，以“选学”方式处理，既增加了课程弹性，也控制了难度；还按照学生的认知特点，适当调整了不同学段的课程难度，使梯度要求更加清晰，更好地体现了循序渐进的原则.
修订后的义务教育课程标准结合学科特点和学生的年龄特征，进一步加强了德育.一是各学科把落实科学发展观、社会主义核心价值体系作为修订的指导思想；二是进一步突出了中华民族优秀文化传统教育，如数学建议将《九章算术》列为教材内容；三是进一步增强了民族团结教育的针对性和时代性；四是强化了法制教育的内容.修订后的义务教育课程标准特别强调能力培养.一是进一步丰富了能力培养的基本内涵，如数学课程把传统的“双基”目标发展为“四基”，增加了“基本活动经验、基本思想”的新要求；二是进一步明确了能力培养的基本要求，如针对教师反映对“探究学习”指导有困难的问题，提炼了“探究学习”的基本步骤和一般方法，以加强对能力培养的指导；三是理科课程强化了实验要求.
如上所述，新课标在很多方面都进行了较大幅度的调整，本文仅就《九章算术》融入数学教材这一主题进行论述.实际探索《九章算术》的教育功能，及其融入教材的手段等.
二、关于《九章算术》进入中学数学教材的思考
1.《九章算术》简介
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种.该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.同时，《九章算术》在数学上还有其独到的成就，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题.“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则.《九章算术》是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系.
《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术.这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章.原作有插图，今传本只剩下了正文.
《九章算术》九章的主要内容如下：
第一章“方田”：主要讲述了平面几何图形面积的计算方法.包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法.此外还系统地讲述了分数的四则运算法则，以及求分子分母最大公约数的方法.
第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为“今有术”.
第三章“衰分”：提出比例分配法则，称为“衰分术”；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致.这是世界上最早的多位数和分数开方法则.它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础.
第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等.
第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法.
第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题.“今有术”、“衰分术”及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论.西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法.
第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法.这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大.
第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致.这是世界上最早的完整的线性方程组的解法.在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则.这一章还引进和使用了负数，并提出了“正负术”，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法.这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系.国外则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数.
第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题.其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的.提出了勾股数问题的通解公式.在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了.“勾股”章还有些内容，在西方被发现却还是近代的事.例如该章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论专家迪克森得出.
《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格.其影响之深，以致以后中国数学著作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例著书.甚至西算传入中国之后，人们著书立说时还常常把包括西算在内的数学知识纳入九章的框架.然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明.魏景元四年（263年），刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷.
2.《九章算术》与中学数学课程的整合
（1）在教材相关章节呈现《九章算术》原题及现代文翻译，并附情景图画
通过翻阅现行数学教材，也能发现《九章算术》的踪迹，如人教版教材、苏教版教材以及北师大版教材都或多或少地包含了一些古算题.据统计，人教版初中教材的课后习题中共引用了12道古算题，且大多数取自《九章算术》.遗憾的是，现行教材对于这些古算题的处理仅此而已，在教学中未能凸出其教育价值.结合2011版新课标的理念，我们认为，以《九章算术》为代表的古代算经与教材的整合应更加深入.首先，教材对于这些古算题的使用，不仅要呈现现代白话文的问题表述，还应附上古代文言文的历史原题，并且要附有与问题内容相关的情景图片，此外还应介绍问题出自哪部算经及其相关历史信息.以《九章算术》“勾股”章第14题为例.已校14题为：
题曰：今有二人同所立.甲行率七，乙行率三.乙东行.甲南行十步而邪行东北与乙会.问甲、乙行各几何？
答曰：乙东行一十步半；甲邪行一十四步半及之.
术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率.邪行率减于七自乘，余为南行率.以三乘七为乙东行率.置南行十步，以甲邪行率乘之，副置十步，以乙东行率乘之，各自为实.实如南行率而一，各得行数.
刘徽注：此以南行为勾，东行为股，邪行为弦.（股率三）并勾，（弦并）率七，欲引（知弦率）者，当以股自乘为幂，如并而一，所得为勾弦差.加（差于）并，（而）半之为弦率，以（弦）减（差）并率，余为勾率.如是或有分，当通而约之乃定.术可以使无（勾弦并率为）分母，故令勾弦并自乘为朱黄相连之方.股自乘为青幂之矩.以勾弦并为袤，差为广.今者相（令其矩）引之直，加损同之.其图大体，以两弦为袤，勾弦并为广.引横断其半为弦率，列用率七自乘者，勾弦并之率，故弦（率）减之，余为勾率.同立处，是中停也.（列用率）皆勾弦并为袤（弦与勾各为之广），故亦以股率同其袤也.
现代白话文翻译如下：
题：假设甲、乙二人站在同一处.（他们在相同时间内行程之比是）甲行率为7，乙行率为3.乙向东走，甲（同时出发）向南走10步而后斜向东北方恰与乙相会合.问甲、乙的行程各多少？
答：乙向东走10又
步；甲斜向东北走14又步追及乙.
算法：令7自乘，3也自乘，两数相加而除以2，所得之数为甲斜行率.以斜行率去减7自乘之数，所得余数为南行率.用3去乘7为东行率.取南行步数10，用甲斜行率乘它；另取步数10，用乙东行率乘它，各自作为被除数，除以南行率，各得其所行步数.
刘徽注：这里南行为勾，东行为股，邪行为弦（股率为3），勾弦并率为7，要想引而申之，应当取股之数自乘为股矩之幂，除以勾弦并，所得即为勾弦差，它加上勾弦并，除以2即为弦率；以弦率去减勾弦并率，余数为勾率.这样计算可能出现率为分数，应当通分而后约简为确定之比率.以上算法可以使各率无分母，所以令勾弦并自乘作为朱、黄二色相连的正方形面积，股自乘作为青色的“股幂之矩”.它以勾弦并为长，以勾弦差为宽.此乃将“青矩”伸直为横放长条形之故.以上所绘图形的整体，以2倍弦长为长，以勾弦并为宽.引水平直线割取它的作为弦率；列用率7自乘，乃勾弦并之率，所以用弦率去减它的余数作为勾率.图中朱、黄二方所同在的那条水平线，恰是图形整体的中位线.弦率与勾率皆以勾弦并为长，所以也应当使股率有相同的长.南行步数10，即为已知的“见勾”.要求弦与股，故用弦率、股率乘它，再徐以勾率.
该题是关于整勾股数一般公式推导的问题.在教学过程中，向学生呈现关于该题的所有信息（包括刘徽的注释），不仅开阔了学生的视野，也使学生了解了我国古代数学的博大精深，有助于学生的课堂学习和课后自学.此外，古算题的呈现既可以作为课中例题，也可以作为课后习题，还可以作为学生的课外作业，以研究性学习的形式让学生自我探究.
（2）以《九章算术》为代表的古代算经的教育价值
以《九章算术》为代表的古代算经实际上就是一部部“问题集”，但这些问题和教材中传统的习题却有天壤之别，这些古算题包含了众多教育因素，具有重要的教育价值.对于学生来说，以《九章算术》为代表的古代算经中的问题是真实的，因而更为有趣；这些算经中的问题的提出一般来说都是非常自然的，它或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或者揭示了实质性的数学思想方法，这对于学生理解数学内容和方法都是重要的；许多问题的提出与解决与数学家有关，让学生感到他本人正在探索一个曾经被数学家探索过的问题，学生会感到一种智力的挑战，也会从学习中获得成功的享受，这对于学生建立良好的情感体验无疑是十分重要的.通过向学生展示这些算经名题，让他们了解到数学不是一个静止的、已经完成的领域，而是一个开放性的系统，认识到数学正是在猜想、证明、错误中发展进化的，数学进步是对传统观念的革新，从而激发学生的非常规思维，使他们感受到，抓住恰当的、有价值的数学问题将是激动人心的事情.
这些古算题还展现了广阔而生动的人文背景，学生可以获得丰富的文化和社会信息.题设本身的情景内容切实反映了各个时期人们的生存状况、生活情趣、劳作艺术、道德礼仪、战争徭役、教育审美等方面的内容.这些问题让学生回到问题提出的时代，反映当时人们所关心的数学主题，学生在解决数世纪以前的数学问题时，会经历某种激动和满足.除了受到人文教育以外，还可能实现多元文化教育.如以下三个例子：
[问题1]“一棵高为10的竹子，被折成两部分，竖直部分、折断部分和地面恰好构成一个直角三角形，并且两部分的地面距离为3，求竹子竖直部分的高度.”（《九章算术》“勾股”章的“竹折抵地”问题，中国，约公元前300年）
[问题2]“一棵芦苇依墙而立，若其顶端沿墙向下移动3，则底部向外移动27，求芦苇和墙的高度各是多少？”（巴比伦，约公元前1800年-公元前1600年）
[问题3]“一只长为20的矛竖直地依墙而立，若其底部向外移动12，求这只矛能达到的墙的高度.”（意大利，约公元1300年）
可以发现，这三个问题尽管最后的求解不同，但都是关于勾股定理（在西方称之为毕达哥拉斯定理）的具体运用，问题的出处和出现的不同时间，反映了不同年代、不同文化背景下的学者对勾股定理的关注.其中[问题1]更可看作是不同社会文化在数学知识方面相互借鉴和转化的典范.这个问题最早出现在我国汉代的《九章算术》一书中，后来又出现在由Mahavira（约公元850年）编著的梵语数学经典《Ganita-Sara-Sangraha》中.最后，在1491年，Filippo Calandri的《算术》书里又发现了它的存在，说明它在欧洲也得到了应用.
再有一点，数学的发展离不开问题的提出和解决，问题构成数学的心脏.提出问题并不断寻求解决问题的方法的过程构成了数学的发展过程.人们在生活和生产实践中遇到的问题是产生数学成果的源泉，在解题过程中，每一种方法的提出都闪烁着思想的火花.把以《九章算术》为代表的古算题的今昔解法进行比较，使学生认识到每一种方法的特点，理清解题方法演变的脉络，明晰何种方法更适合于何种脉络，哪种策略应该向什么地方迁移.现代心理学研究表明，全面系统地了解知识是最有助于牢固掌握的，而相互之间做细致的两两比较又是有助于深刻理解和广泛迁移的，因为通过比较可以清楚地看出其中的指导思想和总体思路，有助于拓宽学生的视野，培养全方位的认知能力，在更高层面上理解和把握知识.
最后，以《九章算术》为代表的众多古代算经在很大程度上是重要数学思想方法的演变记录.因此，对于算经中的古算题的应用的最终是强调学生对于数学思想的领会和掌握.数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识，它蕴涵于具体的内容和方法之中，又经过提炼与概括，成为理性知识，它直接支配数学教学的实践活动，数学概念的掌握、数学理论的建立和解题方法的运用，无一不是数学思想方法的体现和应用.以数学思想方法为指导进行教学有助于我们将数学课讲活、讲懂、讲深.因此，教师应充分利用算经中的“术”开展数学思想方法的教学，以及利用算经中的问题进行数学解题的“变式”教学，相比传统的“题海战术”演练，则更容易实现教学目标.
总之，把以《九章算术》为代表的古代算经整合进中学数学教材意义重大，但也有许多相关问题尚待探讨，如这些古算题及其求解进入数学教材的广度和深度应如何把握；如何与具体教学内容相匹配等.但无论如何，古代算经融入中学数学课程是具有现实意义而又亟需继续开展广泛研究的课题，需要数学史家、数学教育家、一线教师共同关注.