三角形全等教学设计的新视角，本文主要内容关键词为：角形论文,教学设计论文,新视角论文,全等论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
笔者集二十余年的数学教学经验，在平面几何推理入门阶段中，曾经作了许多构想和尝试，从公理线条所搭建而成的结构与适应这种结构的学生心理序列环节活动过程中，都进行过比较深入的思考，获得了一系列的研究成果，本人与自己所带的几个实习生的教学实践也充分证明了，我们所采用的三角形公理（定理）教学设计的方法是行之有效的，对于学生平面几何逻辑推理论证的起始学习的入门带来了极大的帮助.这里简要谈谈作者对平面几何定理（公理）教学一些看法，以求教于同行.
我们都知道，公理与定理都是为几何证明或几何计算提供依据的，几何推理所得到的每一个结论都要有依据，于是我们如果从任何一个正确命题结论，追溯其成立原因的话，要找寻的原因总是不能无限地进行下去，必然在某一个地方会终止，也就是说，那个原因不可能由逻辑来提供，它必然是来自人类的经验，这是不加证明的一个真命题，于是，我们便把这样的真命题叫做公理.就是说，平面几何的公理不是来自于证明的逻辑链条，而是来自于千万年、千万次作用于我们感觉的空间，是我们对它正确体验的凝结，给逻辑链条展开提供了最基本的原因.
稍作分析，我们就知道，公理法对公理的要求是十分严格的，初中几何教材所说的公理是扩大了的公理体系中的公理，事实上，其中一些在严格公理体系几何中是可以被证明的定理（例如，判定两三角形全等的“SAS”公理，定理是证明了的真命题）.然而，如果我们打开一本初中平面几何教材，就会发现，许多已经被证明了的真命题只是作为习题，而并没有称之为定理.
那么，在教材中，什么样的真命题称为定理呢？让我们作一个类比：我们把解决问题（证明题或计算题）中推理过程的逻辑链条看作一张交通网络的话，那么，我们就是把处于交通枢纽位置上的真命题叫做定理，由这些真命题可以把逻辑链条中转到四面八方.而一般命题没有这种功能，因此，它只是一个普通真命题.如果在一道题目推理过程中，需要用到普通真命题时，从严格意义上讲（如在考试中）必须把这个命题重新证明一次，否则，在他人看来，你所提供的解法是不全面的.
如何在教学中引导学生进行定理（公理）的学习呢？它甚至引起了制定“数学课程标准”的巨大争论.但笔者多年几何教学经验表明：初中生学习定理（公理）及其逻辑推理是必要的，也是完全可能的.虽然，我们在实际平面几何教学中，对学生逻辑推理论证的学习在起始课会出现如下比较艰难的几项问题：
其一，学生在定理的学习及其应用中，对定理的理解很难达到准确的地步，对定理结构层次也难于精确把握，对几何定理中各种元素所处位置与关系也不能准确辨别清楚，这些就给它的应用造成巨大困难.
其二，他们在应用定理（公理）解决问题时，对问题的把握也往往是混沌一片：分不清命题题设和结论，作不出比较准确的几何图形等.
其三，他们虽然可以解决这一切外围问题，但却选择不出主攻方向，往往只能将条件进行堆砌和拼凑，即使得到了正确结果，也实在是存在着几分侥幸，而对已经解决了的问题过程并不是真正理解与正确把握.
所有这些都不利于他们平面几何学习进一步发展，我们仔细分析三角形全等公理教学疑难的深层次原因，绕不过对这些公理的图形结构、语言结构、前因后果的逻辑结构进行分析探讨.为此，分析一下证明一个命题的一般过程是必要的，如下页表所示：
从这张表中，我们发现所要证明命题结论，最终都由已知构成，但在寻找这些已知时，对于稍微复杂一点的命题，不可能一次性地就成功达到目的，而是要配合所用定理（或公理）首先寻找出“需知”，利用这些“需知”来调控已知对结论的决定性作用.这些“需知”便组成了“中途点”，它是至关重要的，正是这些“中途点”使已知和结论形成了“接龙”，也就是大数学家彭加莱所说的“序的安置”.由此把学生寻找证明的思路从混沌一片转换成了线性序列，从而大大降低了学生逻辑思维强度，使他们对逻辑推理论证不再畏之如虎.
一般两个三角形全等有如下四个判定：（1）两边和它们的夹角对应相等（SAS）；（2）两角和它们的夹边对应相等（ASA）；（3）两角和其中一角的对边对应相等（AAS）；（4）三边对应相等（SSS）.
在教学中，教师要合理布局、整体安排，分清轻重缓急，首先突破一点，以作为运用思维活动处理外在几何线性信息材料的典范，获得相应的分析证明几何题的方法，从而带动其他.
大多数教科书从“SAS”公理入手，把它作为三角形全等的第一个判定.俗话说：良好的开端是成功的一半.“SAS”公理结构严谨，应用广泛，学习好了这个公理，可以为今后学习全等三角形其他判定，在方法上和思想上起到示范作用.因此，教师就应该对这一公理认真对待、仔细处理，指导学生对这个公理内容透彻理解，对其文字语言、图形语言和符号语言及其图形特殊结构关系全方位把握.
一、引导学生动手操作探索体验公理来源和公理结构特征
上这节课前一天布置课外活动作业：在硬纸板上，画两个相等的角，在这两个相等角中，以这两个角顶点为一个端点在角的两边分别作出对应相等的线段，连结这两线段的另两个端点的，就构成了两个三角形，然后，剪下这两个三角形，把这两个三角形重叠在一起，如果一种重叠方式不行，多做几次，或经过一些变动，看看它们是否能够完全重合.在同样条件下，再制作几对三角形，看看是否完全重合.把这种制作结果保存下来，下一节课要汇报自己所制作的材料.
上这节课首先请同学们汇报自己按要求制作好了的那些对三角形，并且说明自己所制作的三角形重叠时是否可以完全重合.结果，绝大多数人都汇报自己按条件所制作的两个三角形是可以完全重合的.教师还需要在他们的观察下，自己当场作演示，得到了所作的两个三角形是完全重合的结论.同时，板书图形，带领他们试图将图形语言转换成文字语言，在这种转换过程中，教师应对照图形，一点一点地解析给他们看和听，在这儿教师要舍得花时间，因为使感知客观材料关系转化成为抽象图形再进入思维结构，没有时间让他们观察、对他们解释与引导是难以奏效的.最终，我们得到了“两边和它们的夹角对应相等的三角形全等（简记成‘边角边’或‘SAS’）”.
教师在设计教案时，应想方设法让学生掌握公理语言叙述的结构：并不是“两边和一个角对应相等的两三角形全等”，这里的角是有限制的，那就是这个对应角是两组相等对应边的夹角，而不是任意角.如此，就与易混淆的假命题：“两边及其中一边对角对应相等的两三角形全等.”进行了比较严格的区别.向学生提供如图1，△ABC≌△DEF，但是△ABC与△DEG不是全等三角形，尽管在△ABC和△DEG中，条件AB=DE，AC=DG，∠ABC=∠DEF.这样就可以使学生能更直观地认识这一问题.
要辨别清楚公理结构与其混淆形式命题结构的本质区别在于公理的条件是“两边和它们的夹角”，而混淆形式命题条件是“两边和其中一边的对角”.
二、公理应用中条件的逐步确定
在应用定理（公理）进行逻辑推理证明命题入门阶段，“SAS”初步应用，教科书所设置的练习题要学生寻找三组对应元素中，比较容易获得两组对应元素（边、角）相等，第三组对应元素（角或边）相等，往往需要依据“两边夹一角”的条件结构来确定出判定公理所需要的第三个条件，这就是“需知A”，它作为一个“中途点”来调控寻找满足它的已知条件.这时，就应该引导学生挖掘题设中隐含条件，公理成立的第三个条件是一定会找到的，它们又可以分为以下的两种情形：
其一，当题设条件中有两组对应边相等时，只要找出这两组相等对应边夹角也对应相等，这样就满足“边角边”公理的条件了.
例1 （p.29，例4）①已知：如图2，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE.求证：△ABC≌△ADE.
分析 要证明△ABC≌△ADE，由于AB=AD，AC=AE，可知△ABC和△ADE有两组对应边相等了.由“边角边”公理条件结构要求，知需要找寻到AB、AC的夹角∠BAC与AD、AE的夹角∠DAE也对应相等，即只要证明出了∠BAC=∠DAE（这是“中途点”）就找到了满足“边角边”公理的“两边夹一角对应相等”的条件了.由∠BAD=∠CAE，知∠BAC=∠BAE+∠EAC=∠BAD+∠EAB=∠DAE.这就是∠BAC=∠DAE.
当要证明全等的一对三角形中，已经有两组对应边相等.在这种情况下，配合“边角边”公理的条件结构要求，就逐步确定出了要找寻对应相等的两组对应边所组成夹角也对应相等，这就确定出了一个“中途点”，从而由“中途点”来代替原来结论.如果从已知条件中得出了这一个“中途点”，那么“边角边”公理中的三个条件就都得到了，问题便已经解决了.如此，我们便找到了解决这种问题的“线性”推进的方法：从已给的条件——经过“中途点”——到要证明的结论，同时也寻找到了解决问题的突破口，使学生能从诸多条件与结论纠缠在一起所形成的茫无头绪的混沌中解脱出来.
其二，当题设条件中有一组对应角相等，且夹这组对应角的两组对应边中有一组对应边相等时，只要找到夹这组对应角的另一组边也对应相等，这样，就满足了“边角边”公理的三个条件了.
例2 （p.30，第2题）已知：如图3，点A、E、F、C在同一条直线上，AD=BC，∠1=∠2，AE=CF.求证：∠B=∠D.
分析 要证明∠B=∠D，我们会想到全等三角形性质：“全等三角形对应角相等”，于是便想在图3中，寻找到一对全等三角形，使∠B、∠D成为一组对应角，就达到目的了.而图3很简单，只有两个三角形，于是试图找到△BCE≌△DAF（这是第一个“中途点”）.由∠1=∠2，AD=BC，知所要证明的这一对三角形已经有一组对应角相等了，并且还有夹这组对应角的一组对应边相等.于是，由“边角边”公理条件结构要求，知只要寻找到夹∠1、∠2这组对应角另一组对应边CE与AF也对应相等，即要证明CE=AF（这是第二个“中途点”）就达到目的了.因为，CF=AE，所以，CE=CF+EF=AE+EF=AF，问题已经解决了.
在含有三角形的题设图形中，常常利用全等三角形性质证明线段相等或角相等，找寻出一对三角形，作为一个“中途点”；而在要证明的两个全等三角形中，当已知条件中有一组对应角相等，且夹这组对应角的两组对应边中也有一组对应边相等时，由“边角边”公理条件结构，只要找夹这组对应角的另一组对应边也相等，作为一个“中途点”.例2就由两个“中途点”所组成，由这两个“中途点”便能使解决问题的思路过程变成了围绕“中途点”的“线性”推进.这样，降低了学生推理的难度.
三、一般三角形全等公理（定理）教学
有了“边角边”公理的样板，学生对另外两个公理与一个推论及其简单应用的学习就容易多了.当他们学习了这些公理和推论之后，教师要即时总结与归纳在解决较为复杂习题时（往往不只是应用一个判定公理），如何应用全等三角形的这些判定.其实就是在较为复杂问题中怎样找寻“中途点”，并利用这些“中途点”来调控从已知条件到所要证明结论的路径.在实践中，可以如下的设计：
其一，当已知条件中出现两组对应边相等，此时，只要找出第三组对应边相等，或者找出两组对应边夹角相等，就可以用“边边边”或者“边角边”公理来论证两个三角形全等.
例3 （p.41，第1题）已知：如下页图4所示，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF.求证：∠A=∠D.
分析 要证明∠A=∠D，我们选择证明以∠A、∠D为对应角的一对三角形全等，通过观察已知图形可知，需要证明△ABC≌△DEF（第一个“中途点”）.由在△ABC与△DEF中，有条件AB=DE，AC=DF这两组对应边相等了，现在只要找到由这两组相等对应边所夹的一组角也对应相等，就是需要证明AB、AC的夹角∠BAC与DE、DF的夹角∠EDF对应相等，即要证明∠BAC=∠EDF，就可以应用“边角边”公理了，但这正是我们所要证明的命题结论，有了它，整个问题便都已经解决了，因此，它不能作为一个“中途点”.于是，我们找寻这两个三角形第三组对应边相等，即证明BC=EF（第二个“中途点”）.由BE=CF，知BC=BE+EC=EC+CF=EF.
其二，已知条件中出现了一组对应角相等，且夹这组相等对应角的两条边中有一组对应边相等.这时，只要找出夹这组对应角的另一组对应边相等，或者再找出一组对应角相等，就可以应用“边角边”，或“角边角”，或“角角边”公理来证明全等三角形.
例4 （p.46，第13题）已知：如图5，AB=AC，DB=DC，F是线段AD的延长线上的一点.求证：BF=CF.
分析 要证明BF=CF，观察已知图形结构关系，我们可以选择证明△ABF≌△ACF，或者是△BDF≌△CDF（两者中任选其一作为第一个“中途点”），这里选前者.要证明△ABF≌△ACF成立.由于AB=AC，AF=AF，知这两个三角形中已经有了两组对应边相等了，以下要么找到第三组对应边相等，即证明BF=CF，但是，这正是要证明的命题结论，故不可能作为第二个“中途点”.于是，我们只得寻找这一对三角形中相等的两组对应边夹角也相等，即证明∠BAF=∠CAF①（第二个“中途点”）.①式仍然不是已知条件，还需要我们予以证明，由图形，考虑证明△ABD≌△ACD（第三个“中途点”）.因为AB=AC，DB=DC，而①又是待证明的结论，我们只能考虑证明AD=AD（这是第四个“中途点”）了，这是显然的.
说明 这个命题对学生来说是比较困难的一道题，原因是结论离题设很遥远，结论对于题设条件选择的调控变得较微弱了.因此，教学中在引领学生找寻这道题思路时，就必须要引入“中途点”来给思维展开补充动力，以缩短结论到题设的距离，从而，让思路一个“驿站”接着一个“驿站”地渡过去.教师在这个地方，一定要舍得花时间带领学生一点点地探索，一点点地找寻，只有下这样的工夫，学生才能从分析问题、找寻推理思路中有所收获：经验、方法、体验找寻的快乐.从而逐步过渡到自己独立寻找解决问题途径上去.
其三，当已知条件中出现两组对应角相等时，只要再任意找出一组边对应相等，这时就可以应用“角边角”公理，或者“角角边”推论.
例5 （p.46，第14题）已知：如图6，AD=AE，∠B=∠C，AB、DC相交于M点，AC、BE相交于N点，∠DAB=∠EAC.求证：AM=AN.
分析 要证明AM=AN，我们考虑证明以AM与AN为一组对应边的两个三角形全等，观察图形，可以选择证明△AMC≌△ANB①，或者证明△AMD≌△ANE②（这里选择①作为第一个“中途点”）.因为，∠C=∠B，∠CAM=∠BAN，这样，在△AMC与△ANB中，已经有了两组对应角相等，下面只要找到任意一组对应边相等就能达到目的.那么，怎样选择证明一组对应边相等呢？我们再来观察图形，揣摩已知条件，由AD=AE，∠B=∠C，把这两个已知条件放到△ADC与△AEB中时，然后证明△ADC △AEB（这是第二个“中途点”）.在这两个三角形中就有了一组对应边及其所对的一组对应角相等了，这时，再找到一组对应边相等是没有用的，因此，设法找到任意一组对应角相等.又由于∠DAB=∠EAC，于是下决心证明∠DAC=∠EAB（这是第三个“中途点”）因为∠DAB=∠EAC，∠DAC=∠DAB+∠BAC=∠BAC+CAE=∠EAB.
总结 在全等三角形的判定公理（定理）及其应用的教学中，着重引领学生采用分析法来找寻证明的思路，在找寻途径中，我们采用了“中途点”来调控从结论对题设的选择，而“中途点”的获取既要满足结论需求，又有题设条件的支撑，还有对直观图形的感悟，而这些都是对问题特征准确把握的结果，从具体给定的材料中分析和综合得到.对学生来说，纠缠在一起的这些材料处理起来比较困难.而全等三角形判定公理教学，意味着真正意义上的推理论证教学，引领学生利用直观图形，感受、体验、模仿和逐步掌握分析方法寻找“中途点”，是从操作型几何学过渡到推理论证型几何学至关重要的一步，因此，在教学研究和实际教学中，都不能忽略这一步的作用.从某种意义上说，几何推理论证入门，就是在引导学生用分析方法在找寻“中途点”上下工夫.本文所提供的都是作者长期平面几何教学的实践经验，而这些经验也是经过笔者实践所证实了的成功经验.②
注释：
①本文所标示例题或习题均选自九年义务教育三年制初中《几何》（第二册）[M].北京：人民教育出版社，2001.
②张昆.证明不是“神来之笔”[J].数学教学，2006，（6）：21.