面向基本数学活动经验的教学设计，本文主要内容关键词为：教学设计论文,数学论文,经验论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、一个值得并且需要研究的课题
尽管《全日制义务教育数学课程标准》（修订稿）尚未颁布，但是随着相关研究成果的发表，关于修订稿的一些思想逐渐被广大教师了解，其中关于数学“双基”拓展为数学“四基”的建议颇受关注。在《全日制义务教育数学课程标准》的修订过程中，东北师范大学史宁中校长曾提出，在注重“基本知识”和“基本技能”的同时，要积累“基本数学经验”和发展“基本数学思想方法”[1]。这意味着我国数学教育的目标一方面强调“能够继续保持促进学生理解数学的基本知识，训练学生掌握数学的基本技能”，另一方面“要启发学生领会数学的基本思想，积累数学活动的基本经验”。这是我国数学教育上的一个重要进展，尤其是“基本数学活动经验”的提出，对我国数学教育发展是一个挑战。为使这些未来的数学教育目标得以落实，我们一方面需要了解什么是基本数学活动经验，另一方面要思考如何在数学教学中体现这一思想，当然更重要的是将这些思考变为实践。这里关键是如何重新进行数学教学的设计并加以实施。
二、关于基本数学活动经验
史宁中曾经指出，“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。”[1]张奠宙也曾撰文指出，“数学其实不完全是从现实生活情景中直接产生的。人们基于日常生活经验，还必须通过一些感性或理性的特有数学活动，才能把握数学的本质，理解数学的意义。”因此在他看来“基本数学活动经验”是指“在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。”[2]
由此可见，“基本数学活动经验”是学生经历数学活动之后所积淀的内容，它既有学生针对有关数学活动而获得的那些直接经验，也有学生经过不同程度的自我反省而提炼出来的个体知识。另外相对丰富的数学基本活动经验，经过不断积淀和升华，可以形成数学的直观能力。[3]
我们还可以将基本数学活动经验进一步细化，它包括基本的数学操作经验；基本的数学思维活动经验（归纳的经验，数据分析、统计推断的经验，几何推理的经验等）；发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的经验。
1.基本数学操作
基本的数学操作可以包括：
几何操作经验。例如经历“图画还原”活动之后，学生可以获得有关图形的平移、旋转、轴对称等图形运动的活动经验。
数学表征工具的直接操作。例如让学生使用示意图、插图、照片、真实事件的草图、统计图表、程序语言等表达数学内容，有助于学生积累数学表达的活动经验。
数学公式和符号的直接操作，直接利用简单的数学工具（如公式表、计算器等），这些操作将有助于学生认识和应用数学定义、规则、算法或者公式，形式化地应用变量、项、等式或者函数等。
2.基本数学思维活动经验
基本数学思维活动经验可以包括：
代数归纳的经验。对于有些问题，可以通过特殊情况归纳发现规律，而后再通过一般性的推理，验证自己的发现，进而感悟数学的严谨性，增强数学学习的兴趣。有关这种思维方式的基本经验，不仅是数学系学习所必需的，也是学生终生可持续发展所必需的。
数据分析、统计推断的经验。经历数据分析、统计推断的过程，获得相应的直接经验，进而发展其数据分析观念，是其学习的核心目标，对于学生获得数学上的全面发展，具有其他数学内容所不能替代的作用。让学生体验和掌握数据分析观念的最有效方法，就是让他们真正投入到产生和发展数据分析观念的活动之中，使学生在收集、整理和描述数据的活动中，探索如何以简单而直观的形式最大限度地描述数据，作出合理判断等。
几何推理的经验。它一方面包括归纳、类比、猜想在内的推理，即合情推理。另一方面包括演绎推理，有典型的不完全归纳推理，其结论仍是“猜想”，这种推理常用来佐证、猜想。例如借助图形直观的操作（图形运动），有时可以用来进行不严格意义的证明，在某些条件下也可以用来进行严格的证明。
3.数学地发现问题、提出问题并解决问题的经验
问题解决经验是指：拥有适当的数学策略去发现问题解决思路或方法，并加以反思。这里的策略不仅仅是数学算法的使用，还包括各种数学原则和辅助工具的使用，如利用分解原则、类比原则，或者根据已给数据进行推导；收集数据进行证明；系统尝试；用数学图象、表格等将问题直观化。
另外，让学生经历数学建模过程，也将有助于学生积累问题解决经验。因为数学建模过程强调用数学方法去理解与现实相关的情景，提出解决方案，并认清和判断现实中的数学。数学建模过程分为如下步骤：(1)理解现实问题情境；(2)简化并结构化所描述的情景；(3)将被简化的现实情景翻译为数学问题；(4)用数学手段解决所提出的数学问题；(5)根据具体的现实情景解读并检验数学结果。
以上是关于基本数学活动经验的具体内涵，这些内涵将随着理论与实践研究的深入而不断拓展。
三、面向基本数学活动经验的教学设计
为了使“积累基本数学活动经验”的教育目标在实践中加以落实，关键是进行合理的教学设计。
1.关于教学设计
教学设计是把学习与教学的原理转换成教学材料、活动、信息资源和评价方案的过程。简而言之，教学设计也就是一个解决教与学问题的过程。这一过程包括一系列相对固定的环节(ADDIE)，即分析(Analysis)、设计(Design)、开发(Develop)、实施(Implement)和评价(Evaluate)。
分析环节旨在评定学习者需求，确定学习环境中的问题，分析学习任务，确定教学目标。设计环节主要是写出教学目标的操作性定义，将学习分成不同类型，确定具体的学习活动，以及具体的媒体等。开发环节的任务是准备学生及教师用的各种形式的教材，开发教学策略，为学习者能达到预期表现作好安排。实施环节即指，在不同场景中实施教学方案。评价包括形成性评价、总结性评价，以及根据具体信息反思与修正设计方案。其实评价贯穿上述每一环节。
面对具体的教与学理论，我们要将教学设计的各个环节具体化、可操作化，由此就形成一个个具体的教学设计模型。本文的教学设计模型着重体现基本数学活动经验的思想，具体步骤如下。
2.面向基本数学活动经验的教学设计模型
根据上述基本数学活动经验的内涵，与之对应的教学设计模型包括如下环节：
(1)教师围绕相关的数学概念或目标提出学生可操作、可探索的活动建议。注意分析教学目标、学生已有的数学经验等。
(2)学生分组根据各自的兴趣和能力选择学习活动，或者提出自己想探索的活动。注意明晰具体的学习活动，能体现要落实的具体教学目标。
(3)师生共同商谈从事学习活动可能涉及的数学知识。同时与教师商定可能的活动方式以及预期提交的学习活动成果。如果需要可以与学生签订学习合同。
(4)学生分组进行学习活动。教师提供学习支架，让学生有足够的空间进行数学操作、数学思维活动，经历数学问题的提出、分析、解决等过程。
(5)学生展示多元的学习成果，包括所用到的各种数学知识或技能，让他们认识到数学活动可以源于日常生活，但是高于日常生活。
四、教学设计的案例
当前不少学校结合数学内容，应用该设计模型思想，设计并实施若干数学教学案例，在此与大家分享。
来自某初中的案例
A.教师的设计
教师提出的驱动性问题是：如何寻找生活中的一次函数。
根据学生已有经验，教师提出可能的学习任务：杆秤与函数；弹簧秤与函数；出租车计价器是如何计算的？水、电以及煤气费是如何计算的？商场打折隐含着哪些函数问题？
可能涉及的数学知识：一次函数，正比例函数，反比例函数，分段函数，常值函数，对应关系，相似性等。
对学习成果的要求：一方面要发现杆秤、弹簧秤、计价器、商场打折等日常情景中的函数关系；另一方面根据函数知识制作出实物或者解决实际问题，同时用函数知识精确地说明这些实物的作用原理或解决问题的途径。
课时安排：至少3个课时（每周一个课时，共持续三周）。
第1课时，教师作为引导者和组织者，让学生明确要完成的学习任务，并着手解决问题。教师将未完成的学习任务作为家庭作业布置。第2课时，教师作为咨询者，就学生在一周中收集数据、处理数据并从中提取数学知识时遇到的困难做适当的解答，积极鼓励学生树立信心。第3课时，教师作为导演和点评者，让每组学生展示相应的学习成果，教师做适当点评。如果时间允许，教师应该将学生在项目学习活动中暴露出来的学习错误进行系统分析，和学生共同梳理项目学习中涉及的数学知识或技能。
B.教学设计模型的实施及主要学习成果
·实施过程
该初中教师严格按照上述设计要素开展教学活动。学生被分为5组，分别从杆秤，弹簧秤，出租车计价器，水、电、煤费用单，商场打折等角度，寻找所蕴含的函数问题并应用相应的函数知识和技能制作实物或解决问题。在这过程中，学生需要经历收集数据、寻找资料、查阅参考文献、观察或测量实物、发现数学模型、绘制图表、进行书面或口头报告等过程。因此，学生除了规定的3课时外，需要有较充足的课外时间进行学习活动。从学生在第3课时上展示的学习成果可见，他们带着很大的兴趣，将一些课余时间也投入到这个一次函数的学习活动中。
·主要学习成果
在第3课时上，各组学生在课堂上展示了一次函数学习活动的成果。
如“探索出租车计价器与函数”一组。学生们观察多张出租车发票后，根据了解到的票价信息，发现一般情况，即：
白天一般情况下票价和里程数存在如下关系：
票价＝起步价（里程数≤3）；
票价＝起步价+（里程数－起步里程数）×每公里单价（3＜里程数＜10）；
票价＝起步价+（远程里程标准－起步里程数）×每公里单价+（里程数－远程里程标准）×远程每公里单价（里程数≥10）。
在上海白天小型出租车的起步价为11元，起步里程是3公里，超起步里程单价为每公里2.1元。载客运距超过10公里（不含10公里），超过部分按超起步里程单价加价50%。（这些信息适用2009年10月之前）
因此我们令票价为y元，里程数为x公里，则得到票价和里程数的一个分段函数：
而这其实就是一个关于里程数和票价的一个分段函数。学生还提到了，当司机碰到红灯或者堵车时计价情况满足另外一个函数，司机晚上出车时情况又不同。但是学生们没能找到具体的函数关系式。
如“从商场促销现象出发探索函数”一组。这组学生给出了两个商场促销的实例：商场A打出满199元送100元的口号，而商场B打出6折的口号。如果想买一件价格在200元到300元左右的衣服，应该去哪家商场购买？学生们列出了相应的函数关系式：
设衣服价格为x元，参加促销活动后的花费为了元，则
商场A：y=x-100(200＜x＜300)；
商场B：y=0.6x(200＜x＜300)。
那么当0.6x＞x-100，即x＜250时，选择去A商场买衣服，反之当x＞250时去B商场。当衣服价格为250元时，两个商场都可以。
学生们认识到，函数知识有助于人们理性消费。他们又给出例子：现在想去买一件衣服，只要价格在300元以内都可以接受。为了使花费最少，应该去那家购买？
学生们给出如下函数：
商场B：y=0.6x(0≤x＜300)。
显然当衣服价格在199元以下的时候，选择去商场B购买。当衣服价格大于等于199元小于300元时，又回到了上面那个问题。
C.收获与困惑
尽管我们还没有对学生进行访谈，但是观察学生的学习过程，可以发现，在这次数学学习活动中，学生们体会到数学学习并不仅仅是操练习题，而且是学会从数学视角分析现实问题，揭示并理解现实问题。例如学生在探索杆秤原理以及制作杆秤过程中，揭露了不法商贩的欺诈手段；在分析各种表的计费原理中，理解了国家出台的复杂的计费方法为了敦促人们节约能源；在分析“促销”现象时，学生们深刻地感受到理性消费的意义。
另外这类数学学习活动需要学生较强的自主学习能力、寻找问题的能力以及钻研精神，这些恰恰是学生相对薄弱的，因此在整个学习活动过程中，教师必须经常主导学生学习。
教师在这类数学学习活动中，需要不断调整自己的角色。在准备阶段，教师是设计者，需要设计出能够激活学生内在兴趣的问题。在实施阶段，教师则是组织者、咨询者或者点评者，帮助学生在主动探索活动中，发现数学知识的现实意义、应用价值等；帮助学生学会用数学的眼光看待现实生活背后蕴含的数学知识；帮助学生动手制作学习作品等。在学习活动的评价阶段，教师则是问题的发现者，他们在正面积极评价学生的同时，要善于发现学生在学习过程中存在的一些问题，例如看待数学问题浮于表面，不知道如何筛选信息，不善于从数学角度进行项目学习活动，有的是为了活动而活动。
另外这类数学学习活动对教师更是一种挑战，因为在设计活动时，需要教师有创意，敢创新。而创意来自扎实的专业知识和文化素养；创新来自对部分传统数学内容的挑战。
上述案例表明，面向基本数学活动经验的教学设计，在重视数学基础知识与基本技能的同时，很关注学生是否能用基本的数学思维、数学手段和数学方法去分析和解决数学具体问题及其他一些现实问题。