一堂优质“三角函数诱导公式”课例的点评，本文主要内容关键词为：诱导论文,公式论文,函数论文,点评论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
近日，笔者有幸观看了在南通举办的2009年江苏省中学青年数学教师优质课观摩与评比活动的录像光盘。众位来自全省各地的教师展现了自己的风采，在教师们激情洋溢中感受到了新课改课堂教学的魅力。其中，南京师范大学附属实验中学刘洪璐老师的“三角函数诱导公式”一课给笔者留下了深刻的印象。细细品味，刘洪璐老师对问题式教学方法的灵活运用，带领学生们成功地获得了一次对数学本质的体验。这让笔者体会到，只有让学生的思维真正的活跃起来，让学生真正体会探究的乐趣，才能让学生生长出自己的“智慧”。
一、教学过程简录
教师：同学们在前面的学习当中，咱们已经将角的概念由锐角扩充到任意角了，而且也已经知道了任意角三角函数的定义。那么任意角三角函数值怎么去求呢？咱们先来看一个具体的问题：求390°的正弦、余弦值。
教师：那么和30°角终边相同的角的同名三角函数值都相等吗？
：相等，可以根据三角函数的定义，只要终边相同，同名三角函数值一定相等。
教师：对，由三角函数的定义得到，如果两个角的终边相同，它们的同名三角函数值一定相等。这样我们就得到了一组公式：
sin（α+k·360°）=sinα，
cos（α+k·360°）=cosα，
tan（α+k·360°）=tanα，其中k∈Z。（公式一）
有了这组公式，我们就可以把任意角诱导到0°～360°之间。所以这组公式称它为三角函数的诱导公式，今天我们就来研究三角函数的诱导公式。
既然，终边相同，同名三角函数值一定相等，那么反过来呢？如果两个角的同名三角函数值相等，他们的终边一定相同吗？看一个具体的问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？
：单位圆中，正弦值就是角终边与单位圆交点的纵坐标值，所以可以作一个150°，两个角终边与单位圆交点的纵坐标相等，但终边不同。
教师：我能再问你一个问题吗？150°从哪里来的？
：作30°角终边关于y轴的对称过去。
教师：根据这位同学说的，我们得到sin150°=sin30°，那好，是不是非30°不可，我们换个角α行不行？为什么？
：锐角α的终边关于y轴对称过去，以得到的对称边为终边的角就是π-α，两个角终边与单位圆交点纵坐标相等，就是sin(180°-α)=sinα。
教师：哦，那两个角的余弦值有什么关系呢？
：余弦值就是对应的点的横坐标，它们是相反数。
教师：就是cos(180°-α)=-cosα，很好！这位同学将。特殊化了，将它换成了第一象限角，那这个角α是不是一定要是第一象限的角？前面我们已经学过角α和角π-α，它们的终边始终关于y轴对称，这个性质是不会变的（几何画板演示：两角保持关于丁轴对称关系时，角α任意改变时横、纵坐标的关系），得到正弦值相等、余弦值相反之后，也就得到tan(180°-α)=-tanα，这三个等式就构成了公式二。
sin(180°-α)=sincα
COS(180°-α)=-cosα
tan(180°-α)=-tanα（公式二）
教师：请大家回头想想，刚才咱们是怎样获得这组公式的？回顾一下自己的思考过程，能用你自己的语言叙述一下吗？
图1
：先作单位圆，作两个角的终边，找到两终边与单位圆的交点，再确定交点的横纵坐标关系。
教师：换句话说，咱们的研究路线是这样子的
我们注意到，角α如果是第一象限角的话，那180°-α就是第二象限角，那么用公式二咱们就可以把第二象限角的问题通通地都化到我们熟悉的第一象限去，很好啊！
刚才咱们研究了关于y轴对称的两个角的三角函数值之间的关系，接下来大家还想研究什么？
学生：（齐）关于x轴对称，关于原点对称。
教师：那好，那么如果两个角的终边关于x轴对称，你有什么结论？……两个角的终边关于原点对称呢？……自己先独立研究，如果觉得需要可以和你周围的同学相互讨论一下。
：按上面的方法先作图，角α关于x轴对称的角是-α，利用两角终边与单位圆交点坐标的关系就可以得到两角的三角函数值的关系。
图2
sin(-α)=-sinα，
COS(-α)=cosα，
tan(-α)=-tanα。（公式三）
教师：于是，我们就得到了公式三，很好！那关于原点对称呢？
：同样的方法，如果假设一个角，它是落在第一象限，再由于点关于原点对称，关于对称的角的终边是在第三象限。设第一象限的交点是P(x,y)，第三象限P'(-x,-y)，利用定义，就有
图3
sinα=-sin（π+α），
cosα=-cos（π+α），
tanα=tan（π+α）。（公式四）
教师：很好，大家有没有注意到，刚才两位同学说得都非常好，如果咱们把α看成是第一象限角的话，那-α就是第四象限角，咱们把α看成是第一象限角，那π+α就是第三象限角。
好，今天咱们得到了这四组公式，利用这四个公式咱们就可以把第二、三、四象限的角通通的化到第一象限。咱们的研究路线都是什么？首先利用角和角之间的对称关系，然后，利用对称关系得到它们和单位圆交点的坐标之间的关系，进而就得到它们的三角函数值之间的关系。下面大家想不想小试身手？
（以下略）
二、对课堂问题设置的思考
“三角函数诱导公式”是求三角函数值的基本方法，解决的是如何将任意角的三角函数值转化为0°～90°角的三角函数值问题。本课例是该内容的第一课时，重点是四个诱导公式的推导，难点在于如何引导学生探究，领会探究的一般方法，体验数形结合、归纳转化等数学思想。
纵观整节课，教师围绕“任意角三角函数值怎么去求”这一课题，设计了三个问题、一个思考来驱动整个教学过程以环环相扣的问题串推进教学，层层设疑，不断地激发和调动学生进行探究的兴趣，既激发学生独立思考主动质疑的精神，又不露痕迹地进行着数学思想方法的渗透，同时还给学生怎样提出问题做出了一定的示范。
问题1 如何求任意角的三角函数值？具体地，求390°的正弦、余弦值？
“如何求任意角的三角函数值？”，教师在简短回忆所学知识之后以问题的形式直接提出了本节课的课题，简洁明了。面对问题，学生已有的知识基础是任意角的定义及任意角三角函数的定义，先提出任意角三角函数值怎么去求，进而提出求一个具体的390°角的三角函数值，由一般到特殊、由抽象到具体，学生利用以前的工具——直角坐标系及单位圆，通过作角，很自然地就能想到与390°终边相同的30°角，求390°的正、余弦值也就等价于求30°角的正、余弦值，问题随即也就解决了。解决完30°角后，再考虑一般的任意角情况，即学生很直接的可以借助解决特殊情况的方法，迁移为将任意角都转为终边相同的0°～360°角，自然得到了公式一。这时，教师指出这组公式就称为三角函数的诱导公式，引出了本节课的主题，一切自然流畅。
“数学教学应从问题开始”，上课始，教师就提出了一个问题，学生可以立即进入思维的状态。波利亚有这样一句话“从一个愿望联想起某些方法手段”[1]，就是说要解决问题的愿望激发了学生的学习动机，这样一个明确的目标启示着解决它的方法和手段，调动起了学生探索的主动性。当教师提出“如何求任意角的三角函数值”后，学生带着问题思考，带着疑问探究，让学生有了探究的心向、探究的兴趣，本节课才能真正发挥它的实效。
问题2 如果两个角的同名三角函数值相等，他们的终边一定相同吗？你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？
教师利用问题1的探究成果：终边相同，同名三角函数值一定相等。语气一转，进而问：同名三角函数值相等，终边是否一定相同，接着又具体的举了特殊的30°角。就在这一正一反的发问中，自然地将学生的注意力及接下来要研究对象转向了公式二。由特殊的问题，学生想到第二象限的150°角，教师再一问“150°从哪里来的”，学生进一步思考，得出两角关于y轴对称，再根据两角终边与单位圆交点的坐标关系，最后得出两角的三角函数值关系。这一系列的思考过后，当教师提出“是不是非30°不可，换个角α行不行”时，又将特殊的30°角一般化为任意角α，相应的学生自然将特殊的150°角一般化为180°-α，两角关于y轴对称，公式二也就水到渠成了。
古语云“授之以鱼，不如授之以渔”，对问题2的思考探索不仅使学生探究出了公式二，更重要的是教师对问题的处理再次给学生做出了一种示范：处理问题时往往可以从问题的一个特殊方面入手，突破困难，找到方法，最后再迁移至一般的情况，特殊往往启示着一般。这种思想方法对学生日后研究其他新问题大有裨益。
思考：回顾刚才咱们是怎样获得这组公式的？
这一问题的提出实际上起了阶段性小结的作用，是对公式二探究过程与方法的反思。教师先让学生自己回顾解决问题2的过程，用自己的语言叙述解决问题的思路，再由教师最后提炼总结，得出一般的解决模型：角的关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。通过这一回顾反思，学生重新认识自己的活动过程，一方面起到巩固知识方法的作用，另一方面也为解决问题4提供了研究的工具，做了铺垫。
我们知道具体的数学知识是不稳定、容易被遗忘，而一旦掌握了一般的数学思想方法、探究的一般科学方法，就等于培养了学生处理新问题、进行再学习的能力。而对阶段性方法、过程的小结与反思，是教学过程中的点睛之笔，学生在教师的引导下，回顾学习探究的整个思维过程，梳理知识、提炼方法，加深了对数学知识本质的理解。只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才能真正学好数学。[2]
问题3 如果两个角的终边关于x轴对称，你有什么结论？……两个角的终边关于原点对称呢？
有了探究关于y轴对称的两角终边三角函数值的经验，当教师问及“接下来大家还想研究什么？”，学生很自然联想到两角终边关于原点对称以及关于x轴对称的情况，然后利用问题3总结出的方法，一步一步地由角α与角π+α、角-α的关系，得出两角终边与单位圆交点的坐标关系，最后得出他们之间的三角函数值关系，即公式三、四。
数学教学中要尽量让学生自己提出要研究的课题，只有这样才能充分调动学生思维的主动性。教师可以运用一些元认知的提示语引导学生提出课题，“刚才我们研究了什么？接下来你们想研究什么了”等等，“让问题从学生的头脑中自然地流淌出来”，真正地参与到数学思维活动中去。
三、启示
1.教师要有“用教材教”而非“教教材”的意识
该教师所在地区使用的是苏教版教材，在该版教材三角函数诱导公式的设计中，使用的是一般意义上的三角函数定义，并且诱导公式探究的起始角是第二象限角，而本堂课的设计借用单位圆中的三角函数线，并且起始角设置为第一象限角，这样设计简化了诱导公式的探究，紧抓了诱导公式的几何本质，又符合学生的认知习惯，可以说是对教材的再创造。我们说教材是师生开展教学的主要工具，但并非是要“唯教材是举”，教师要有“用教材教”而非“教教材”的意识。
2.教师要将“重视学生主体地位”落到实处
，虽然课堂上没有热闹的学生活动，但学生的思维却没有因此受到限制。从问题的提出到解决再到解决方法的反思，以学生已有经验而层层设置的问题，时刻围绕学生思维的最近发展区，训练学生合情推理的思维习惯，培养学生提出问题的意识和能力。
同时，教学过程所体现的教师对学生认识事物方式的充分认识，如问题由特殊到一般、再由具体回归抽象的设计，符合学生的认知水平；又教学中紧扣单位圆定义图，数形结合，让学生掌握知识的同时体验数学思想方法。这些都体现了教师对学生主体地位的肯定，真正地将“重视学生主体地位”落到了实处。
3.教师要注意课堂知识发生、发展的衔接
实际教学中一些教师教学设计中的很多问题就像“帽子里蹦出的兔子”一样的突然，缺乏知识产生和发展的衔接，忽视学生的理解。而本节课教师一系列问题的合理设计，尤其是问题间的巧妙衔接，使整个课堂不仅阶段分明，而且自然流畅，一气呵成；探究后对知识发生、发展的反思，培养学生表征过程性知识的能力。课堂中的教学设计要的不仅是教师们眼中的合理，更重要的是让学生的思维“自然地流淌出来”。
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