高中数学新教材第七章教学问答（一），本文主要内容关键词为：第七章论文,新教材论文,高中数学论文,问答论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
129.解析几何学是怎样产生的？它要研究的基本问题是什么？
答：在17世纪，从封建社会内部产生出来的资本主义生产关系，处于它的上升时期，曾促进了社会生产力的迅速发展。远洋航行、矿山开采、机械制造以及资本的对外扩张，向自然科学提出了大量的问题，例如天体运行、钟表摆动、炮弹弹道、透镜形状等。所有这些，都已超出欧几里得几何学中综合法的范围。法国数学家笛卡儿（Rene Descartes，1596年～1650年）由于亲自参加社会实践，重视对机械曲线的探讨，终于突破了用综合法研究静止图形的局限性，在他所著的《方法论》一书的附录《几何学》中引进了变数，开始用解析方法来研究变化的图形的性质。他的基本思想方法是借助数形结合和坐标（方）法，把反映同一运动规律的空间图形（点、线、面）同数量关系（坐标和它们所满足的方程）统一起来，从而把几何问题归结为代数问题来处理。运用这种坐标法，可以研究比直线和圆复杂得多的曲线，而且使曲线第一次被看成动点的轨迹。从此，由曲线或曲面求它的方程，以及由方程的讨论研究它所表示的曲线或曲面的性质，就成了解析几何学的两大基本问题。学生在中学只学习平面解析几何的基础知识。
法国的另一位数学家费马在创立解析几何学中也做出了杰出的贡献，限于篇幅，这里就不作介绍了。
130.在教学直线的倾斜角这一概念时，要让学生注意些什么？
答：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角。为此应让学生注意以下三点：
（1）由于我们已将角的概念作了推广， 所以要使坐标平面内每一直线有惟一的倾斜角，就只能以“取最小正角”作为对应法则。
（2）上述定义是对于与x轴相交的直线做出的。凡与x 轴平行的直线，都不具有向上的方向，所以应补充规定它们的倾斜角为0°。 这时才可以说，坐标平面内每一直线有惟一的倾斜角。
（3）当直线与x轴相交时，它的倾斜角的终边作为射线，就是朝着向上的方向的，所以倾斜角的范围是0＜α＜π。于是，对于坐标平面内所有的直线来说，倾斜角的范围是0≤α＜π。
131.在教学斜率这一概念时，要让学生注意些什么？
答：（1）顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”。 过去学生在学习解直角三角形时就已知道，斜坡坡面的铅直高度h与水平宽度l的比值i叫做坡度；如果把坡度与水平面的夹角α叫做坡角，那么i＝h/l＝tanα；坡度越大
所以i＝tanα可以反映坡面倾斜的程度。现在学生学习的斜率k， 等于所对应的直线（有无数条，它们彼此平行）的倾斜角（只有一个）α的正切，可以反映这样的直线对于x轴倾斜的程度。实际上， “斜率”的概念与工程问题中的“坡度”是一致的。
（2）解析几何中，要通过点的坐标和直线方程来研究直线， 斜率可以直接通过坐标计算求得，使方程形式上较为简单。如果只用倾斜角一个概念，那么它实际上相当于反正切arctank， 难于直接通过坐标计算求得，并使方程形式变得复杂。
（3）坐标平面内，每一条直线都有惟一的倾斜角， 但不是每一条直线都有斜率。倾斜角是90°的直线（即x轴的垂线）没有斜率。 在学生今后的学习中，经常要对直线是否有斜率分情况进行讨论。
132.直线方程的整体结构是什么？
答：我们把学生在初中学过的一次函数y＝kx＋b（其图象是一条直线，其中k是一个非零常数）称为直线方程的斜截式（k就是斜率，b 是此直线与y轴的交点的纵坐标）， 并结合本章中涉及的直线方程的其他三种形式，可以合起来表示如下：
一般式（方程为Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0）
从此结构图可知，点斜式、两点式、斜截式方程主要用于有斜率的直线，特别是与两条坐标轴都斜交的直线。
133.如何让学生归纳两条直线位置关系的性质与判定？
135.怎样帮助学生考虑解析几何问题的一题多解？
答：我们举一个例子：已知两平行直线l[,1]，l[,2]的方程分别为3x＋2y－6＝0，6x＋4y＋3＝0，求与l[,1]，l[,2]平行且与它们等距离的直线l[,3]的方程。
解法3既是通法（待定系数法是通法， 其中用到的知识也都是基础知识），又是妙法（巧妙地把以x，y为变量的坐标平面转化为以c 为变量的直线，即把“二维”降为“一维”，运用了化归这一基本数学思想）。值得指出，为了学生易于理解，此处有意写得很详细。深谙此法的学生
136.除了用二元一次不等式组来表示的线性规划问题，还有没有用方程组表示的线性规划问题？
答：有。我们举一个这样的问题作为例子。已知甲、乙两个煤矿每年分别产煤35（单位为10000t，下同）、80，煤矿周围的三个城市A、B、C每年分别需从煤矿调煤25、50、40。由于两矿三市之间的距离、 运输条件不同，运费也就不同。现列表如下：
求一个调运方案，使总运费最小（表中运费为每10000t需要的万元数）。
如果随便制定一个调运方案，例如从甲矿运25到A市，余下的10 运到B市，再从乙矿运40到B市，运40到C市，那么所需的总运费为
5×25＋2×10＋7×40＋4×40＝585（万元）。
＋4y[,3]取最小值。上面的方程组是一个六元一次方程组，一次方程组也叫做线性方程组。“线性规划”是一个数学分支，把解决上面的问题也作为它的基本问题之一。解决的方法是：
把上面的运费数据排成一个2行3列的长方阵（高等代数中叫做“矩阵”，其中横向排列的数从上到下分别叫做第一行、第二行，竖向排列的数从左到右分别叫做第一列、第二列、第
根据上面最后一个长方阵第一行的第一个数是3（≠0），我们就不把甲矿的煤往A市调运；第二个数是0，我们就把甲矿全部所产的煤35调运到B市去。再看第二行，第一个数是0，我们就把乙矿的煤25调运到A市去，满足A市的全部需求；第三个数也是0，我们同样把乙矿的煤40调运到C市去，满足C市的全部需求；乙矿还剩煤15，那就调运到B市去，满足B市的剩余需求。这时3x[,1]＝0，4y[,2]＝4×15＝60，所以S′＝60。于是
S＝350＋60＝410（万元）。这是最合理的调运方案，比上面第一个方案节约了175万元，将近30 ％。
当然，实际问题不会这么简单，应要求学生善于分析，善于实践，才能掌握这一方法。
思考题
1.如何帮助学生把学过的一次函数的图象与直线方程的斜截式联系起来，并弄清两者的区别（前者x是自变量，y是x的函数；后者x、y是并列的变量）？如何帮助学生认清直线方程的截距式可作为两点式的特例？
2.怎样使学生理解线性规划所要解决的两类问题？教科书上介绍的“图上作业法”的依据和特点是什么？