数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。数形结合的结合思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性。以数思形，以形想数，做好数形转化。
运用数形结合思想应遵循的原则：
（1）等价性原则；
（2）双方性原则；
（3）简单性原则。
数形结合思想常解决以下问题：
（1）构建函数模型结合图像研究参数的取值范围，方程根的范围，量与量之间的大小关系，函数的最值问题和证明不等式等；
（2）构建立体几何模型研究代数问题；
（3）构建解析几何中的斜率，截距，距离等模型研究最值问题；
（4）构建方程模型，求根的个数等。
例1：设函数f（x）= ，若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是（ ）。
解析：如下图作出函数g（x）=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A（-1，2），O（0，0），B（1，-2），由g`（x）=3x2-3，知x=-1是函数g（x）的极大值点。
①当a=0时，f（x）= ，因此f（x）的最大值是f（-1）=2。
②由图象知当a≥-1时，f（x）有最大值是f（-1）=2；只有当a<-1时，由a3-3a<-2a，因此f（x）无最大值，所以所求a的范围是（-∞，-1），故填：（-∞，-1）。
点评：分段函数含字母参数求最值问题，通过把“数”化为“形”来解决，直观形象。
例2：（2017浙江，21节选）如右上图，已知抛物线x2=y，点A（- ， ）B（ ， ），抛物线上的点P（x，y）（- <x< ）。过点B作直线AP的垂线Q。求|PA|·|PQ|的最大值。
解析：联立直线AP与BQ的方程 ，
解得点Q的横坐标是xQ= ，因为|PA|= 1+k2(x+ )= 1+k2(k+1)，|PQ|= 1+k2(xQ-x)=- ，所以|PA||PQ|=-（k-1）（k+1）3，令f（k）=-（k-1）(k+1)3，因为f`（k）=-（4k-2）（k+1）2，所以f(k)在区间（-1， ）上单调递增，（ ，1）上单调递减，因此当k= 时，|PA|·|PQ|取得最大值 。
点评：本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，通过把“形”化为“数”，利用函数f（k）=-（k-1）（k+1）3求出|PA|·|PQ|的最大值。
例3：（2017课标II，理12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·（PB+PC）的最小值是（ ）。
A.-2 B.- C.- D. -1
解析：以BC为x轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立坐标系，则A（0， 3）,B（-1，0）,C（1，0），设P（x，y），所以PA=（-x， 3-y）,PB=（-1-x，-y）,PC=（-1x，-y），当PB+PC=（-2x，-2y），ＰＡ（PB+PC）=2x2+2（y- ）2- ≥- P（0， ）时，所求的最小值为－ 。
点评：“形”“数”互化，把向量“数”的问题通过坐标表示出来，再把“形”化为代数恒等式来解决。
课后练习：
1.（2017课标II，理1）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|______。
2.（2017课标，理12）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值为（ ）。
A.3 B.2 2 C. 5 D.2
论文作者:尹帅
论文发表刊物:《素质教育》2018年12月总第292期
论文发表时间:2018/11/13
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