说谎者悖论的恶性循环，本文主要内容关键词为：说谎者论文,悖论论文,恶性循环论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引论
承袭彭加勒的思想，罗素提出：“所有的悖论都源自于这样的事实，指称某个类的整体的表达式自身又表示这个类中某个元素。”（Russell,p.101）这便是被后人称为悖论根源于“循环”的思想。这一思想对悖论——尤其是语义悖论——后来的研究产生了重要影响：在诸多处理语义悖论的方案中，悖论与循环的关联始终是一个无法回避的问题，虽然这些方案对循环的界定有所不同。
本文基于同样的思想考虑悖论。不同的是，本文对循环的界定借助了图论中的循环概念，在熟知的克里普克框架（以下简称“框架”）中对循环之于悖论的意义进行分析。作为一个初步的尝试，本文的分析主要围绕一个既简单同时又费解的语义悖论展开，它就是说谎者悖论。考虑下面的语句：
语句（1）是假的。 （1）
我们知道，当试图对这一语句进行真值指派时，会导致下面的矛盾：如果说谎者语句为真，那么据其所说，它必为假；但如果它为假，它与其所说相符，故又必为真。这一现象就是通常所说的说谎者悖论。语句（1）因而得名“说谎者语句”或“说谎者”。
本文将通过分析如何对说谎者语句进行真值指派而又不会导致矛盾，证明循环性的确如罗素所指出的那样，乃是说谎者悖论产生矛盾的条件。中心的论点是：说谎者语句具有一定的“相对矛盾性”，即它是矛盾的，但它之矛盾性是相对于特定条件的，这个条件正好表现为框架的特定循环性，而此循环性条件可通过图论中的着色法子以确定。更进一步的分析还会发现，不同的悖论对应的循环性条件可能会有所不同，因而，悖论语句的特殊性恰恰可由它导致矛盾的循环性条件来进行刻画。
本文的结构如下：第二节首先给出分析说谎者悖论的出发点，然后在框架中对说谎者语句的真值进行考虑，从而明确说谎者语句的相对矛盾性。第三节对这种相对矛盾性进行技术性的刻画，证明本文的主要结果（定理1）。第四节对这一结果背后的方法论进行说明，指出悖论的本性正是具有特定的相对矛盾性。
本节最后对本文将用到的循环概念进行说明。这一循环概念源于图论，其规定可参见任何一本图论教材（例如可参见Diestel,p.7）。为适应本文的要求，下面将在框架中引入这个概念。框架乃是关系语义的基本概念，其规定如常。需要注意的是，框架可看作图论中没有重边的有向图。这也是图论中循环概念可假借于框架的原因。
二、相对矛盾性
为了防止说谎者语句出现矛盾，加拿大逻辑学家赫兹伯格（H.G.Herzberger）和美国逻辑学家古普塔（A.Gupta）沿袭克里普克的思想，在阶段性的过程上对说谎者语句的真值进行确定。基本的想法是，按赫兹伯格的说法，说谎者语句导致矛盾的过程是一个“圈” （如图2所示）。它可分阶段“展开”如下：“最简单不过的说谎者命题即‘我为假’，它断言在一个阶段为真，则在下一阶段为假，从而～［在下下一阶段］～又为真，如此等等”（Herzberger,1984,p.135）。赫兹伯格认为这个展开可看作是说谎者语句特有的“赋值模式”（ibid,1982,p.492）。
图2
从可能世界语义的观点看，过程的阶段可看作是可能世界，而阶段之间的后继关系则可看作通达关系。由此，关于说谎者语句的上一“赋值模式”可一般化为：如果说谎者语句在某个点为真，那么它在这个点所通达的任何点都为假；如果说谎者语句在某个点为假，那么它在这个点所通达的任何点都为真。这便是本文分析说谎者语句的出发点。当然，上述赋值模式还有更深层次的哲学考虑，并且类似的赋值模式可延伸到任何含有真值谓词的语句。限于篇幅，对此容另文讨论。以下仍然把上述模式称为说谎者语句的赋值模式。
说谎者语句的赋值模式可看作是在对说谎者语句进行真值指派时，说谎者语句相对于可能世界的真值应满足的条件。由此，对于说谎者语句的指派而言，框架的介入就是不言而喻的。下面就在框架上考虑说谎者语句的指派情况。一个基本的发现是：并非所有的真值指派都能满足说谎者语句的赋值模式，在某些框架上甚至会出现所有的真值指派都不能满足赋值模式的情况。现在就图1中的三个框架来说明这一发现。
首先，在框架
中，不管对说谎者语句指派何种真值（本文的讨论限于二值逻辑），都不可能有任何指派满足赋值模式。原因是任何满足赋值模式的真值指派都会导致下面的矛盾：如若说谎者语句在u为真，那么由赋值模式及u的通达自身性，立刻得到说谎者语句在u为假；反之，如若说谎者语句在u为假，也可类似地推得说谎者语句在u为真。显然，矛盾的这一导出过程实则再现了说谎者悖论中那个熟知的推导过程。
在框架
中，情况与类似，同样不存在真值指派满足赋值模式的情况。只不过这一点的验证要稍微曲折一些：在某个真值指派下，若说谎者语句在
为真，则因通达
知说谎者语句在必假，于是由通达
又知说谎者语句在为真，再由通达可得说谎者语句在为假；同理，若说谎者语句在为假，则它在为真，于是在为假，最终又得到在为真。这都是不可能的。
然而，在框架
中，却可对说谎者语句进行真值指派，使得赋值模式成立。例如，任何使说谎者语句在
上为真、但在
上为假的真值指派，都显然符合赋值模式。另一种满足条件的指派使得说谎者语句在上为假，但在上为真。还要注意的是，中的指派不都能满足赋值模式，例如，如果指派使得说谎者语句在、都为真，那么赋值模式并不能得到满足。
如上所见，可以在框架中像考虑通常语句那样考虑说谎者语句的真值，前提条件是一切对说谎者语句的真值指派都应满足其赋值模式。我们看到，在框架和中，不论说谎者语句在可能世界上被赋予何种真值，矛盾都将不可避免地出现。而在框架中，却存在说谎者语句的真值指派。另外，中的情况正好是说谎者悖论中矛盾出现过程的再现。
这样，就一方面保持了说谎者语句会产生矛盾的特性，特别地，由说谎者语句导出矛盾的非形式过程（在框架以及任何含有自返点的框架中）可得到重现，另一方面还揭示了说谎者语句不同于矛盾语句的一面，即在某些框架中的确可对说谎者语句进行适当的真值指派而不至于导致矛盾。简言之，说谎者语句含有矛盾，但其矛盾仅仅在某些场合才是不可避免的。在这一点上，可以认为说谎者语句与那些自相矛盾（绝对的矛盾，或在任何场合都不可避免的矛盾）的语句相比，具有一定的相对矛盾性。
说谎者语句的相对矛盾性导致了一个技术问题：究竟在何种框架中，说谎者语句才会不可避免地出现矛盾？这正是下一节要回答的主要问题。
三、刻画说谎者语句
为了解决上一节末留下的问题，下面首先把前面提出的分析说谎者悖论的思想进行形式化。这里用L来表示说谎者语句。L可看作是一个命题常元，其特殊性在于对它的任何指派都应符合赋值模式。
取定一个框架K＝〈W，R〉，如果用V表示对说谎者语句的一个指派，即对L指定W的一个子集这样的映射，那么V满足赋值模式可等价地表述为：对满足uRv的任何u，v∈W，u∈V（L），当且仅当u
（L）。
定义1 给定框架K＝〈W，R〉，K上的指派V如果对使得uRv成立的任何u，v∈W，都有u∈V（L），当且仅当uV（L），那么就称V在K中实现了说谎者语句。
注意，说谎者语句在框架、、中的情况可重新表述如下：在框架中，真值指派只要满足V（L）＝｛｝就实现了说谎者语句，另一个可行的指派是V（L）＝｛｝。但是，不论是在框架还是中，都不会有指派实现说谎者语句，不然的话，说谎者语句会出现矛盾。
定义2 对某个框架而言，如果没有任何指派实现说谎者语句，那么就称说谎者语句在这个框架上是矛盾的。
现在可陈述关于说谎者语句的一个基本结论：
定理1 说谎者语句在一个框架上是矛盾的，当且仅当这个框架含有奇循环。
这个结论回答了前一节最后提出的问题，一般性地解释了说谎者语句在框架、、上出现的情况。这个定理表明，说谎者语句的相对矛盾性的确与框架中通达关系的循环特征密切相关：说谎者语句在框架中的真值指派是否出现矛盾，完全取决于特定的循环在框架中是否出现。在这个意义上，可以认为这些含有特定循环的框架刻画出了说谎者语句的悖论特性。因而，可以把这些框架当作是说谎者语句的刻画框架。同时，那些导致矛盾出现的循环可按彭加勒、罗素之言说成是“恶性的”。
一个框架如果使得说谎者语句在其中是矛盾的，那么称之为是说谎者语句的刻画框架。一个循环如果使得说谎者语句在它所出现的任何框架中都矛盾，那么称之为说谎者语句的恶性循环，否则，称之为良性循环。这样，定理1可表述为：说谎者语句的刻画框架恰好是那些含奇循环的框架。换言之，说谎者语句的恶性循环刚好是奇循环。
本节往后将完成定理1的证明。证明要用到图论的着色技巧。为此，先引入相关的着色概念。框架K＝〈W，R〉上的一个着色c指的是从W到｛0，1｝的一个函数，它满足：对W中任何相邻的两点u、v，c（u）≠c（v）都成立。如果把0、1看作是两种不同的颜色，那么着色所满足的条件说的是：任何相邻的两点必须被着上不同的颜色。
着色概念的引入是要把一个关于说谎者语句在框架上是否含有矛盾这样的逻辑问题，转换为框架上着色是否存在这样的图论问题。
引理1 说谎者语句在一个框架上不矛盾，当且仅当此框架上存在一个着色。
证明：取定框架K＝〈W，R〉。首先，假定K中存在指派V实现说谎者语句。定义从W到｛0，1｝的映射c如下：
根据循环性条件，易见c是K上的一个着色。
反过来，假设c是K的着色，那么在K中可规定说谎者语句的指派V如下：V（L）＝｛w∈W｜c（w）＝0｝。由着色定义，容易验证V在K上实现了说谎者语句。证毕。
下一步是要给出框架存在着色的充分必要条件，这是一个纯粹的图论问题。
引理2 框架上存在着色，当且仅当此框架不含奇循环。
显然，定理1是引理1和2的一个直接结果。余下只需证引理2。这个引理实际上等价于图论的一个基本定理：一个图是二分的，当且仅当它不含奇循环（Diestel,p.15）。但引理2的表述用了框架语言，为适应这一情况，下面给出完整的证明。
这里还需要若干图论概念。框架称为是连通的，如果其中任何两个点都是某条通道的两个端点。框架论域的一个子集，若其本身是连通的并且论域中不存在连通的集合真包含它，则称之为论域的一个连通分支。框架上存在着色，当且仅当它的每个连通分支都存在着色。并且，框架中不含奇循环，当且仅当它的每个连通分支中都不含有奇循环。因而，对连通的框架证明即可证明引理2。
在（连通的）框架K＝〈W，R〉中，取定两点u、v，规定它们之间的距离为以u和v作为端点的通道的最短长度，并记之以d（u，v）。
引理2的证明：取定框架K＝〈W，R〉，不妨假设K是连通的。
注意到d（u，w[,i]）对i＝1，2都是偶数，通道…和…的长度必定是同奇偶的，这样就得到了一个长度为奇数的通道v……v，其中的点除了v之外显然都是不重复的，因而该通道就是一个奇循环，这与假设矛盾。证毕。
四、悖论性所在
悖论因为会导致矛盾，所以人们通常把悖论看作“病态的”，要求找出其“病根”，达到“避免”、“禁止”或者“消除”其中矛盾的目的。这已成为悖论研究的一个共识：处理悖论的方案层出不穷，但其中的绝大多数都持有上述对悖论“先诊断后治疗”的态度。
本文认为，视悖论为“疾病”这种态度其实是缺乏根据的。本文承认悖论中含有矛盾，而且在某些场合下矛盾还是不可避免的；同时也认可矛盾的出现为逻辑所不容。然而，因为含有矛盾，我们就有理由认为悖论是一种“病态”，而千方百计地拒斥它吗？根据定理1，这种看法是武断的：仅就说谎者悖论而言，其矛盾的出现非但不是什么“病态”，而且还是一种“常态”，即在特定场合必然出现的事态。更为重要的是，人们恰恰是通过说谎者悖论出现矛盾的场合，来判定其悖论特性所在的。
推而广之，我们既然都承认悖论是这样的一种论证，“它始于明显可接受的前提，通过一些明显有效的推理规则，最终止于矛盾”（Chihara,p.590），那么为何反而把矛盾的出现看成是悖论中发生的反常现象，甚至视之为悖论的“症状”呢？可见，对悖论所持的这种弥漫着强烈医药味的观点失之于本末倒置，它不但误把体现悖论本质的东西当作有害的“病灶”，而且还试图“切除”之。
因而必须强调，本文对悖论的处理不但在技术上与传统的处理不同，而且在方法论上也与主流观点完全相反。在本文看来，矛盾的出现之于悖论并不是“病态”的显现，而恰恰是悖论本性的表露。在考虑悖论时，矛盾出现的场合非但不应被拒斥，反而应成为判定悖论本性的参照。在这个意义上，相对矛盾性乃是悖论的本质特征。因而，对悖论产生的矛盾我们大可不必恐惧，而是应竭力去确定悖论中出现矛盾的所有场合，以便对悖论的相对矛盾性有完全的刻画。
作为对照，有必要指出，不是所有类似于包含真谓词的语句都具有相对矛盾性。一个简单的例子就是说谎者语句的对偶——诚实者语句，即下面的语句：
语句（2）是真的。 （2）
其赋值模式为：如果诚实者语句在某个点为真，那么它在这个点所通达的任何点都为真；如果诚实者语句在某个点为假，那么它在这个点所通达的任何点都为假。由此不难看出，不论什么框架，其中的指派只要使得诚实者语句在论域中的每点都为真，其赋值模式一定得到满足。在这个意义上，诚实者语句在任何框架上都不是矛盾的，它并不具备相对矛盾性。
更有意思的是，悖论不但都具有相对矛盾性，而且不同的悖论所具有的相对矛盾性可能有所不同。作为一个例子，考虑下面两个语句：
语句（3－1）是真的，（3－0）
语句（3－0）是假的。（3－1）
众所周知，一旦试图对这两个语句同时进行真值指派，就会导致矛盾（如图3所示）。此即所谓的明信片悖论或佐丹卡片悖论。不妨把这两个语句构成的序列称为明信片序列。
图3
明信片序列的赋值模式如下：如果语句（3－0）在某个点为真（分别地，假），那么语句（3－1）在这个点所通达的任何点都为真（分别地，假）；如果语句（3－1）在某个点为真（分别地，假），那么语句（3－0）在这个点所通达的任何点都为假（分别地，真）。
在图1所示的框架中，没有任何真值指派能同时满足明信片序列的赋值模式而不导致矛盾。这是因为若语句（3－0）在为真，则语句（3－1）在为真，由此得到语句（3－0）在为假，矛盾；同理，由语句（3－0）在为假可推得语句（3－0）在v[,1]为真，亦导致矛盾。类似地，可验证明信片序列在框架、中的真值指派也都必然导致矛盾。
可以看到，明信片序列在某些框架中一旦被指派真值就必然导致矛盾。仿照定义2的说法，可称明信片序列在这些框架中是矛盾的。从这一点来看，明信片序列与说谎者语句是类似的，其矛盾不是无条件的，也具有一定的相对性。所不同的是，明信片序列出现矛盾的场合与说谎者语句出现矛盾的场合不尽相同：例如，在框架中，明信片序列是矛盾的，但说谎者语句却不矛盾。
这样的对照表明同为悖论，说谎者语句与明信片序列不但都具有相对矛盾性，而且它们矛盾的相对性不尽相同。由此，可以更清楚地看到说谎者语句的刻画框架类对于其相对矛盾性的判定作用。事实上，不单是说谎者悖论，包括明信片悖论在内的其它悖论也都有相应的刻画框架类来判定其相对矛盾性。在这个意义上，不论是什么悖论，它之为悖论的特征就表现为它所特有的那种相对矛盾性。判定每个悖论自己的相对矛盾性是悖论研究必须面对的新任务。
五、结论
关于说谎者悖论上文已经给出了一种分析，它完全不同于传统的那种“解决”掉其中矛盾的诊治法，而恰恰是以其中矛盾出现的情况来判定其悖论的本性。借用赫兹伯格的一句话，本文对悖论的处理是“按照它们（悖论）自身的内在原则来揭示其本质”（Herzberger,1982,p.482）。这里所说的“内在原则”正是悖论中矛盾出现的规律性。就说谎者悖论而言，这种规律性表现为它出现矛盾的场合恰好是借以谈论其真值的可能世界可形成奇循环的那种场合。这正是本文证明的主要结论。
这一结论揭示的是说谎者语句作为一个悖论语句，其悖论本性在于它的相对矛盾性。具体地说，它会出现矛盾，但矛盾的这种出现又不是绝对的，而是依赖于一定的条件，即特定的循环性条件。说谎者悖论与循环性的关联因而得到了澄清。
在方法论上，本文对悖论采取了比较“友善”的态度，它不同于惯有的那种对悖论进行“破坏”的“敌意”。在技术细节的背后，本文所要达成的是这样的一种“建设性”的态度：悖论含有无法容忍的矛盾，但这不是我们对它们进行“拒斥”甚至予以“消除”的理由，而是我们对它们的本性进行测度的标尺——唯有把握它们的矛盾的相对性，才有可能真正认识它们的悖论特性之所在。在这个意义上，对悖论的分析实质上就是对矛盾的相对性进行研究。这是本文分析说谎者悖论最终要传达的理念。最后，本文以维特根斯坦的一句话作为结束：
事实上，眼下我甚至可以预言一个时代的到来，到那时将会出现关于‘含矛盾’的演算这种数学研究，人们将会为从一致性的桎梏中解放出来而感到欣慰。（Wittgenstein,p.322）