考查全面，稳中有变，能力立意，内涵丰富——2012年上海高考数学试卷评析及复习建议，本文主要内容关键词为：立意论文,上海论文,内涵论文,能力论文,数学试卷论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、试卷总体评价
本着“有利于高校选拔新生、有利于中学推进素质教育、有利于学生创新精神和实践能力的培养”的思想，2012年高考上海数学试卷（理工农医类、文史类）坚持以《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》（以下简称为《课程标准》）为指导，严格按照《2012年普通高等学校招生全国统一考试上海数学考试大纲（考试手册）》（以下简称为《考试手册》）中数学科的考试目标及知识内容范围进行命制，试卷在结构、题型及分值比例设置上均与上一年基本保持一致.命题以科学理论为指导，兼顾学科特点与考生实际情况，注意知识点的合理分布、注意试题难度的控制、注意保证一定的区分度，使得试卷能公平、有效地反映考生的数学能力，为高校选拔新生提供依据，也为上海二期课改的推进起到相应的作用.
基于上述命题理念，2012年上海高考数学试卷具有以下特点.
1.考查全面，突出主干
2012年上海高考数学试卷对知识点的覆盖面广，而且比例恰当.试卷涵盖了数与运算、方程与代数、数据整理与概率统计、图形与几何各个内容领域，知识点遍及包括新课程新增内容及文、理科拓展内容在内的几乎每一篇章，其中代数74分，占49.3%，三角11分，占7.4%，立体几何20分，占13.3%，解析几何24分，占16%，其他21分，占14%，各部分所占分值跟上一年比较接近.对高中数学中的一些主干知识重点考查，如数列（理6、理18、理23，共27分）、函数（理3、理7、理9、理13、理20、理21，共44分）、解析几何（理4、理10、理22，共24分）、立体几何（理8、理14、理19，共20分）.根据《课程标准》中的课时安排，不同内容领域的分值也有所侧重，例如，代数与几何的课时比率为51.26%和28.74%，与整卷中代数与几何的分值比率49.3%和29.3%基本保持一致.
2.稳中有变，变中有新
2012年总体立足基础，强化主干，文理难度差距比去年小，坚持能力立意，重视对数学思想的考查.这份试卷上很多题源于教材，在学生熟悉的问题中改变条件设计成一个新问题，来达到考查学生掌握知识的情况，如文1、文2、文3、文8、文11、文15、文16，理1、理2、理3、理4、理5、理8、理11、理15等，学生在平时的训练中都做过类似的题目.在有一定难度的考题上有所创新，如文13与理13将高等数学中的区域面积初等考查，文18与理18将三角函数的周期性与数列综合起来，具有一定的新意.这些考题也给我们以后的教学一个启示：加强基本知识的教学，能确保基本题的得分.平时学生注重一定量数学试题的训练和平时多思考的习惯，就能成功解决这些难题.
3.能力立意，突出思维
这份试卷以能力立意为核心，坚持多角度、多层次地考查数学能力，特别是思维能力、空间想象能力、阅读理解能力、应用意识和创新意识.理科卷上的试题侧重考查学生数学思维的发散性、严谨性、深刻性和创造性，如理22证明题考查了学生解析几何中的严谨证明.文科题侧重考查了观察、联想、类比、猜想等直觉思维能力，如文18题从题目感受数列的周期性，文14题从题目易知可以研究数列的周期性.这份试卷里面的很多题对考查数学思维很有力度，有一定的能力要求.如文12、文14、文18、文23题，理12、理13、理14、理18、理23题，这就需要学生仔细读题，寻找切入口.尤其是后面几道题有较强的能力要求，学生没有一定的阅读理解能力和问题的分析能力，不一定能够直接上手.整张试卷体现了明显的难易梯度，有较好的区分度，很好地考查了学生的能力及思维.
4.入手容易，内涵丰富
（A）25 （B）50 （C）75 （D）100
本题属于创新性综合试题，是新定义函数数列的前n项和的正负值讨论问题，试题考查周期摆动数列的求和与三角函数周期的综合应用，考生会很容易上手，利用三角函数的诱导公式处理Sn，但是命题者在系数上设置了障碍，需要考生利用放缩的方法将系数统一，给人美感，内涵丰富，思想深刻.
二、考试的总体分析
1.试卷结构
2012年上海高考数学试卷结构与去年一致，有三道大题，共23道试题，见表1.
2.文理科试题比较及试题考查知识与分值分布表
2012年上海高考数学文理科试题比较见表2.
从表2可以看出，试卷在试题内容、编排顺序、难度要求等方面体现了文、理科考生在考查内容、要求以及认知能力上的区别.尽管题目背景一样，但在设问要求上明显体现了对文、理科考生不同的能力要求.理科考题相对侧重于抽象思维能力的考查，而文科考题相对侧重于直观理解能力的考查.文科试题起点较理科低，但文科的压轴题接近理科压轴题的思维难度，这有利于区分文科数学尖子生.
2012年上海高考数学文理科试卷考查知识与分值分布情况见表3、表4.
由表3、表4可以看出2012年上海高考数学文、理科在具体知识领域的考查比例上保持一致，差异在具体考查点上的难异程度，我们将此与上一年进行比较，见表5.
由表5可知，2012年上海高考数学试卷在各具体考查领域及难度控制上与上一年基本保持一致，个别地方做了微型调整.
3.考试结果的描述性统计分析
2012年上海高考考生总数5.5万人左右，全市文科平均分90.70，难度系数0.60，全市理科平均分99.35，难度系数为0.66.文理科的难度较适中，较好地体现了《考试手册》中三个“有利于”的思想.
三、文理科部分试题及学生答题中的主要错误分析
1.关于填空题
填空题文理科均有14道题目，前7道题基本上以容易题为主，主要考查基础知识、基本概念与基本运算能力等，学生答题中的主要错误是公式定理记错、运算法则用错、概念理解不清，如文理科第1题主要考查复数的基本运算，文理科第2题主要考查简单的一元一次不等式、绝对值不等式及集合的交集运算，文理科第3题主要考查二阶行列式的对角线计算法则及三角函数的基本性质（周期性、值域），文理科第4题主要考查直线的方向向量、法向量、倾斜角、斜率之间的关系问题，这一点学生在理解上有点困难，文8（理6）主要考查二项式定理的通项公式，
的二项展开式的通项即第r+1项为
，须使用准确才能避免出错.文理科填空题中后5题的得分率较低，对学生解题能力有一定要求，如理科第9题（文科第9题类似）主要考查函数的奇偶性，本题属于中档题，函数
是奇函数，则
，这一点必须很准确.文理科第11题主要考查排列组合概率问题、古典概型，要分清基本事件数和基本事件总数，本题属于中档题，特别是题目中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的理解至关重要.理科第12题（文科第12题类似）主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律，属于中档题，学生解题中关键是条件“
”与结论“
”的联系没有弄清，特别是点M、N具体位置的确定，这一点可以利用平面几何中三角形相似成比例知识或者建立坐标系，利用坐标化的思想解决，相比之下坐标系的做法更简捷一些.理科第13题（文科第13题类似）主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大，当然本题使用定积分对于大多数没有学过定积分知识的学生来说不可取，利用二次函数的对称性巧妙地将不规则图形转化为规则图形解决才是可取的做法，学生如果不能发现这样一个规律很难解决.文科第14题依托分式函数和正项数列的交会，构思巧妙，使得该题目背景底蕴深厚，比如融入了函数不动点、黄金分割比和斐波那契数列等数学文化知识，考查一元二次方程求解、归纳递推、分类处理问题的技巧，试题反映新课程新题型更趋近于与多个知识点相结合去考查知识思维体系，给平时的课堂教学起到很好的导向作用，是一个难得的可供研究性学习的好素材.通过特殊到一般的思想，借助计算器，探寻到数列中奇数项和偶数项的规律后，轻松解决问题，但需要在极短的时间里找到题目的切入点，对学生的能力要求较高.因此，学生在解答第14题时知道去研究数列的规律，但一时很难找到其规律，甚至有的学生计算错误导致更加不易找出规律.理科第14题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大，属于中高档试题.学生往往不知道条件“AB+BD=AC+CD=2a”如何使用，或者这个条件蕴含此四面体的什么性质，难倒了很多学生，因此本题的得分率相当低，但也有部分学生通过考虑特殊的四面体算出体积，不免有运气之嫌，因此从专业知识角度权衡，本题不利于选拔.
2.关于选择题
选择题共4道题，难度上以中等及偏下题目为主，主要考查基本概念与基本性质.如文理科第15题考查实系数一元二次方程的根的问题，当判别式△≥0时有两个实根，当判别式△＜0时有两个共轭复根，且均满足根与系数的关系，这些知识学生必须牢记，并使用准确.理科第18题（文科第18题类似）属于创新性综合试题，是新定义函数数列的前n项和的正负值讨论问题，试题考查周期摆动数列的求和与三角函数周期的综合应用，考生会很容易上手，利用三角函数的诱导公式处理，但是命题者在系数上设置了障碍，需要考生利用放缩的方法讲系数统一，给人美感，内涵丰富，思想深刻.
3.关于解答题
理科第19题（文科第19题类似）主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于上海教育出版社《高级中学课本·数学（高中三年级第一学期）》立体几何章节复习题.复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题.学生容易出错的地方有：记错三棱锥的体积公式，将V=
Sh写成V=Sh；不能正确找到与算出三棱锥的高；不能正确找到异面直线所成的角；对异面直线所成角的范围搞不清楚，如计算出两条直线所成的角的余弦为-
，则指出异面直线所成的角为
π.关于以上这些问题应在教学中注意强调，比如异面直线所成角的问题，一般应先找出或指出这个角，然后计算，当然理科学生可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量加以解决，但必须对异面直线所成角的概念有深入的理解，这是避免出错的根本.理科第20题（同文科第20题）主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识.考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题.第（1）小题学生常常因为忽略对数函数的定义域而出错；第（2）小题将函数的周期性、奇偶性与反函数结合起来，能力上要求较高，学生应牢记定义，并学会研究，如奇偶函数或周期函数，给出一段的表达式，会求另一段的表达式等，搞不清这些关系容易出错.
理科第21题（同文科第21题）主要是有关二次函数、反三角函数表示、函数最值及化归思想的函数类应用题.首先认真读题、审题并正确理解题意是解题的前提，再次要学会用数学的语言表达题意，这是应用数学知识解决实际问题的关键，如“两船恰好会合”是什么意思？何为追上失事船？如何用数学式子表达？学生解决此题出现的错误大多是因为不能正确理解题意或错误理解题意所致，另外就是不能用数学语言正确表达题意.鉴于此，教师需在平时的教学中有针对性地进行专题性训练，了解常见应用题的数学背景与知识.
理科第22题（文科第22题类似）主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为
，它的渐近线为y=±x，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题.关于直线与圆锥曲线相交是这类题目常考问题，有固定模式与套路，便于掌握.另外，解析几何用坐标化的思想解决问题就是要能正确地将问题坐标化，如题目中OP⊥OQ即
.学生解决此类问题的错误主要是搞不清圆锥曲线的基本概念及不同曲线间的联系，不能正确将所求问题坐标化并加以解决，此外解析几何题目的运算量一般比较大，且大多带有很多字母，因此运算能力差导致运算出错常常会有很大影响.针对以上问题及分析，教师在平时的教学中首先应重视圆锥曲线基本概念及基本知识的教学，其次指导学生用坐标化的思想研究解析几何问题，最后就是通过运算，提高学生的计算能力，并要有足够的耐心与毅力.
文科第23题是关于数列的学习型问题，这是目前上海高考数学试卷的特色.第（1）小题只需正确理解“控制数列”的含义便能轻松解答；第（2）小题将数列的项数提高到m项（m为参数），其实质是研究这类数列的一个性质；第（3）小题给出一个具体的较复杂的数列
，正确领悟第（2）小题的意思是解决此小题的关键.本题也能看出这种学习型题目螺旋上升，问题难度有梯度的特点.学生解决此题的错误主要是对新定义的理解问题，多数学生是因为看不懂题意而出现空白答题的现象.因此，教师在平时应多弄一些新题与研究性题目让学生阅读与学习，提高处理新问题的能力.
理科第23题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力.综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视.
四、两点想法
1.关于试题“难”的原因分析
很多考生反映2012年上海高考数学试题较难，原因之一是试卷起点低，能力要求高，有些问题需要找到合适的切入点才能迎刃而解，如文理科第13题，学生根据函数的解析式和函数图象，利用割补法就可以得到答案.文科第14题考查了数列与函数的内容，通过特殊到一般的思想，借助计算器，探寻到数列中奇数项和偶数项的规律后，轻松解决问题.这些题目学生入手容易，但需要在极短的时间内找到题目的切入点，对学生的能力要求较高.原因之二是与以往比较，这次试卷的五个解答题中，考查数学基础知识和基本技能的基础上，更注重数学思想方法和数学本质的考查.即低档题量少了，但是中档题多了，压轴题翘得更高了，整套卷子的区分度更加明显.如文理科第19题是立体几何题，学生做过很多类似的题目，能顺利解决基本能得满分.文理科第20题，一道题目涵盖了函数的大部分知识点，只要一个环节遗忘就不能完美解决，减慢了学生的解题速度.文理科第21题是应用题，阅读能力的高低直接影响了学生的解题能力.文理科第22题是一个圆锥曲线问题，前两小题的难度适中，学生也容易上手拿分，第3小题，假如直线方程设得巧，计算难度并不高，起到了“多考些想，少考些算”的主旨，但是一旦学生没有选择常规方法设直线，那么这个运算量会变大.理科第23题，以集合为呈现工具，考查了学习能力和综合解决问题的能力，如果学生这方面能力欠缺的话，这又无疑成为学生心中的难题.而且第（1）小题就很抽象，题目的梯度设计不够合理，得分率太低，失去了考查的价值.
2.切实把握试卷对教学的导向作用
认真研究历年的高考试题，从中找到命题者的一丝足迹，给下一年的高三教学指明方向无疑是研究高考试题的关键所在.2012年的上海高考数学试卷，无疑给2013届的高三师生很多启示：（1）历年来解答题第一道题（即第19题）大多考查三角与三角形、复数，且大多以一个小题为主，2012年出现了变化，即解答题第一道题考查立体几何，且有两个小题；（2）三角知识占高中教学约
的时间，试卷只有个别小题涉及；（3）试题继续弱化对计算器的依赖作用；（4）解答题中综合考查立体几何、解析几何、函数、数列等知识为主的做法趋于稳定；（5）关于解题教学与题海战术.命题者在重基础、抓能力上可谓煞费苦心，特别是在涉及一定难度的考题上力求创新，目的是反对题海战术，即高三学生不能光靠做题提高成绩，而是必须在做一定量的数学试题与提高数学能力上寻找一个平衡点.因为针对高三目前大量的解题教学与试卷讲评课，教师不要光顾着归纳提醒、板书（讲解）过程，更应该从思维与能力的角度上进行解题教学；（6）关于逻辑推理与代数证明是最近几年上海高考数学试题中出现的一类新题型，比如理科第22题、第23题都有很多证明，应予以重视.
五、对高三数学教学的建议
1.夯实基础，落实双基
虽然高考中有一定量的难题，但80%的题目还是“跳一跳就能够得上”，而考生在答题中暴露出的基本知识与基本技能不够扎实的一面却不容忽视：犯各种各样的计算错误；忘记公式或用错公式；不能将数学思想方法运用于解题实践；审题错误或题意理解错误；书写不规范，等等.正如万丈高楼平地起，基本知识与基本技能是发展科学能力的基础，教学中不只是教师重视“教”这些“基础”，还要关心学生是否获得了这些“基础”，为学生的继续学习、终身发展做好铺垫.
2.通法为主，特技为辅
高三一年要做大量的题目，课堂教学的主要形式就是讲评试卷，因此上好试卷讲评课至关重要.个人感觉教师在平时讲评题目时应强调解题的通性通法，而对于个别题目的特技应少讲，特别是在第一轮复习中.
3.回归课本，跳出题海
高三的第一轮复习应注意回归课本，因为每年的高考题中都有些题目或多或少涉及课本的内容，有时就是考查课本的原题或改编课本的题目.高三一年要做的题目很多，题海无边，高三学生一定要能跳出题海，多归纳总结，提高“做一道题会做一类题”的能力.
4.落实订正，考后满分
进入高三以后，大大小小的考试很多，每次考试后要认真分析错误原因，并把错题订正，对客观题要尽量写出解答过程，便于复习与参考，减少类似题的重复错误，而且最好能写出解题后的反思，比如题目考查哪些知识点，哪些解法，易错点有哪些等.如果学生能重视这项工作，经常总结后就会感到自己上升了一个台阶.
5.培养习惯，减少失分
经常有学生考试后抱怨题目算错了，还有的学生题目的解答写得满满的，但分数却很不好，这主要是一个数学习惯与书写的问题.关于计算错误，高三的学生要多多练习计算，提高运算能力，而不能过分依赖于计算器；关于书写问题，建议学生多看看题目的参考解答，揣摩题目的得分点，学会书写关键步骤，提高得分率.
6.瞻前顾后，适当提高
高三的第一轮复习主要是课本知识与基础知识的地毯式复习，期间学生要做熟基础题，并在此基础上复习基本概念、掌握相关定义、归纳基础知识、活用公式定理.同时，每周或每月会做一些综合卷，前期可以简单一些，主要用于复习、巩固知识点，等到第一轮复习结束后可以适当增加难度，这样螺旋式上升，不断回头看，有利于知识和技能的整合，提高学生解决问题的能力.