指数化投资中复制方法的比较分析，本文主要内容关键词为：指数论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、指数投资方法的比较
指数投资的组合构建方法大致可划分为四类：完全复制法、分层抽样法、优化选样法和其他方法。
1．优化选样法(Optimization)。
优化选样法是通过对选定的标的指数中各成份证券的历史数据和相关指标进行分析和优化，从中选择适当数量的证券组成跟踪组合，以期拟合标的指数。优化选样法只需较少数量的证券组合就可以达到指数投资的目的。优化选样法在某种程度上讲是一种妥协，是一种折中。实际中使用得不多。
2．完全复制法(Full Replication)。
完全复制法即完全复制标的指数中所有成份证券，整体作为一个跟踪组合，并按标的指数编制中的权重作为跟踪组合中每个证券的相应权重。
完全复制法的优点在于：首先，这种方法比较简单明了，易于管理和操作。其次，这种方法透明而可预期，容易被市场接受。第三，排除交易成本，这种方法能够最好的拟合标的指数，使得跟踪误差最小。
完全复制法的缺点在于：首先，如果标的指数成份证券过多，全样本维持或跟踪标的指数会带来较大的交易成本，积累下来也会导致较大的跟踪误差。其次，在买卖交易过程中，可能有个别证券存在流动性困难，或者导致不能完全复制该类证券，或者导致一些碎券的逐渐累积。另外一点则在于，标的指数中个别证券可能存在诸如财务风险、司法诉讼、受人操纵等现象(譬如国内的“银广夏”)，如果完全复制标的指数，则无法剔除这些不利个案的影响。
所以，除非标的指数所含证券相对不是很多，否则采用完全复制跟踪的方法有可能导致较高的交易成本，有可能抵消直接复制带来的高拟合度。
3．分层抽样法(Stratified Sampling)。
分层抽样法与优化选样法的本质区别在于它对市场的结构作了进一步的考虑。分层抽样法将标的指数所有成分证券按某种标准分为若干层，每一层为总体中的一个子集，各子集所包含的个体互不重叠，且至少拥有一种共同的特性。然后，再按一定的抽样方式在各层中抽出若干样本，各层抽出的样本，统一组成一个足够多的总样本。
如果没有交易成本或者偶然意外，完全复制法显然优于分层抽样法。而交易成本、偶然意外、流动性等因素的存在使得分层抽样法在一些情况下，可能优于完全复制法。
分层抽样法的优点在于：首先，降低交易成本和费用。其次，可以避免或剔除一些非正常个券的影响，譬如流动性困难、财务风险、法律处分、市场操纵等。在指数失真、编制失当或者因为个别证券停牌、被操纵等情况下，分层抽样法反而可能给出一个更准确的拟合与估计。
分层抽样法的缺点在于：首先，更复杂，更难管理和操作，并需要持续地对跟踪误差进行评估和判断。其次，分层抽样的标准、方式和方法没有一定之规，可能没有那么客观和透明，容易引起做资产配置的机构的疑虑，或可能给人以主观操纵之口实。
是否有或者能否找到合适的标准对标的指数全部成分证券进行分层，使得各层的样本至少有一个与其他各层不同的属性，是能否使用分层抽样法的一个关键。分层抽样的标准或方法可以有多种。
一种经常采用的方式是以行业分类和资产规模(或市值)作为一个二维分类标准。将行业和资产规模(或市值)作为两个坐标轴，根据坐标轴的数值，将指数成份证券划分到坐标系的不同区域中。按每个区域所含证券总数或总权数分配各区域抽样比例，在每个区域按简单随机或其他指定方法抽样。所选证券的权重可以根据BARRA因素分析或按照如下方式进行：每个行业的权重可以按照指数权重进行确定，每一证券的权重可以根据其在行业中的权重进行确定。
分层抽样的步骤如下：
①将总体分为L层
4．其他办法——近似完全复制法或拟合复制法。
在欠成熟的资本市场，无论完全复制法还是分层抽样法，都可能有一些欠缺。譬如在中国，从目前市场的交易特征来说，市场的集中度还远低于发达资本市场，稳定且流动性足够的大市值股票还没有占到市场的大多数。可以预见，在未来会有更多的大蓝筹股票上市，这势必造成市场格局持续剧烈变化，从而造成指数成份股市值结构的巨大变化，加大指数跟踪的难度。其次，从目前市场的交易情况来说，流动性依然是指数基金会经常面临的重要问题。另外，中国资本市场正处于一个“新兴+转轨”的时期，还面临着大量的制度建设及制度完善的任务。在以后较长的一段时间内，制度层面的变革还将持续发生，造成更多资本市场的“偶发事件”(如股权分置改革)，从而对指数跟踪造成重大影响。
综上所述，对某些指数来说，完全复制法将没有任何积极管理的成分在里面，而市场的特征、标的指数的编制及其更新、成分证券的质量等因素都可能有较大的欠缺，客观上要求基金管理人应指数的调整、甚至个别成分证券的变故，做出一定的灵活变通。这种灵活变通，既可能是个券选择或组合构建上的，也可能是时机或者流动性管理上的。100％的完全复制、完全消极被动，需要一个高度发达、有效的资本市场。
这样，对某些指数基金，总的来说，是基本上复制标的指数；但对某些个券、个别特殊情况卞，对标的指数的复制可能会有一些灵活的办法，譬如用其他个券代替某个成分证券，甚至直接剔除某些“坏”的个券，或者在指数正式调整之前，提前调整仓位和持股比例，等等。
我们把这种基本上复制指数，但又不是100％完全复制，而是有适当的替代方案或变通的指数复制方法，称为近似完全复制法，或者拟合复制法，或者优化复制法。这种方法其实是完全复制法的一种变种，一种改进，但又不是分层抽样法。拟合复制法的选券个数可能与标的指数所含成分证券个数有偏差，或多或少。拟合复制法所选个券数量与完全复制法差别不大，如果差别较大，则应归类为抽样复制法。所以，拟合复制法是介于完全复制法与抽样复制法之间的过渡状态。
5．评价指数投资的标准：最小化跟踪误差。
指数投资的目标是尽量获得与指数收益相同的投资收益。衡量指数投资目标是否实现的指标有两个：跟踪误差和跟踪偏离度(也称为“累计超额收益”)。前者是收益偏差的标准差，后者是一定时间内收益偏差的累积效应，有时也可用收益偏差的均值来衡量。一般来说，人们普遍关注的是跟踪误差。
某种意义上讲，指数投资的管理过程，主要就是跟踪误差的管理过程，关键在于构造并维持一个能尽量拟合指数收益的跟踪组合，并尽量减少跟踪误差。
无论采取完全复制法(拟合复制法)还是采用分层抽样法，核心都是要减少跟踪误差，判断的一个主要标准就是跟踪误差的最小化。
一般的看法是，如果标的指数所含成分证券数目不多，则宜采用完全复制法；如果诸如保险公司等机构投资者希望选择一种特色鲜明的品种做资产配置，则宜采用完全复制法；如果标的指数所含成分证券数目不是太多，而流动性又好的话，则可采用完全复制法。如果标的指数所含成分证券数目较多，则不妨采用分层抽样法；如果成分证券个数不是较少，而交易成本又偏高，则宜采用分层抽样法。如果标的指数所含成分证券个数不多不少，或者成分证券因为某些事件(如股权分置试点改革)而导致指数失真，或者个券存在流动性困难等因素时，也不妨采取拟合复制法。
国内现有的开放式指数基金，其指数投资采用不同的方法，汇总如表1所示。对增强指数型来说，由于其积极管理的需要，基本上不存在完全复制一说。目前，只有华安上证180ETF采用抽样复制法①，其余多是完全复制法或者近似完全复制法。
表1 国内现有开放式指数基金的分类(截止2006年3月31日)
资料来源：各基金公司网站
二、跟踪误差的来源及其处理方法
无论采取完全复制法(拟合复制法)还是分层抽样法，跟踪误差总是难免的。跟踪误差(Tracking Errors)是一定期间内两个组合/指数收益率差值的标准差。一般所指的跟踪误差即指实际构建的指数投资组合与其标的指数之间的跟踪误差。
计算跟踪误差的公式为：
其中收益率差值e[,t]，其均值②为
。
跟踪误差的平均值或可接受水平取决于组合的规模大小或其构成，以及组合所投资的市场。在美国，有些指数基金的跟踪误差只有几个基点，而在一些新兴市场，可能是几百个基点。
跟踪误差的来源③主要有：
1．实际组合构建偏离和现金管理的需要。
指数计算时，在数字上的精确可能是实际投资操作中做不到的。证券交易中对最低买卖的规模或者实际交易报价的要求，使得指数计算所用的价格或者份额数在实际投资中无法取得或者不能适用，譬如交易所对最低交易手数可能有规定，对最低报价变动幅度也可能有规定。——一个好的指数应保证其所用到的价格等可以被投资者复制。
另外，为了应付日常的申购赎回，指数基金一般都会保留一定比例的现金。现金流管理和或取得组合的现金平衡之需要，使得整个组合与指数存在偏差。如果一个指数基金100％投资，基金经理们可以利用指数衍生工具(期权/期货)来管理现金流。
2．指数构成的变化。
指数成分股的变动，也是造成跟踪误差的一个重要原因。通过提前买卖成分证券是指数投资谋利的一大方法，这是基于对指数编制规则的理解和对市场的监控以预测哪些证券会被加入或被剔除。
3．费用和交易成本。
费用和成本的扣除与计提，会使得组合市值不断变化(并可能影响现金头寸的比例)，造成跟踪误差。交易成本的存在，也影响证券成交价格与指数计算价格的拟合度。
关键是确保费用/成本被计提后那些能够减少跟踪误差的交易。由于中国目前缺乏衍生工具，并且暂时还不允许通过为卖空者融券获取收益来弥补费用/成本，因此在现阶段，把握交易时点、价位，是基金经理显示才能、体现差异之处。不过，显而易见的是，这加大了基金经理管理的难度。
4．增发、配股、分红造成的冲击成本。
增发(follow-on offering)和配股(right offering)都需要卖出组合部分证券而腾出资金，然后再用腾出的资金去购买增发或配售的新股。为了能够保持对指数的跟踪，分红(cash dividend)获得的金额应该尽可能快地按目标比例买入股票，使得分红前后组合中各股票权重不发生变化(目前国内还有一些指数基金的跟踪标的指数是收益指数，而非价格指数)。这里的卖出证券和买入证券都既有交易成本，又有冲击成本④，从而造成跟踪误差。
大多数跟踪误差都无法避免，所以，一些基金经理利用衍生工具或者融资渠道，采取套利(arbitrage)或者借出股票(stock lending)等方法来尝试取得额外收益以抵消跟踪误差损失。不过，这些方法都有风险，需小心使用。在中国，相应的工具或渠道可能并不存在。在缺乏衍生工具的情形下，关键是尽早预测指数的变化和尽量精细地管理投资组合的现金流。
三、实证分析
下面以上证50指数和沪深300指数为例，验证和比较完全复制法(拟合复制法)与分层抽样法的跟踪误差大小。
上证50ETF的标的指数是上证50指数，采用完全复制法。这是因为其标的指数所含的成分证券数目少，而且指数编制过程就充分考虑了流动性，所以，采用完全复制法是理所当然的。
上证50ETF自2005年2月23日公布净值，截止2006年3月28日，经历了成分股调整、股权分置改革和宝钢增发等重大事项，成功地控制了跟踪偏离度和跟踪误差，期内的累积跟踪偏离度为2.16％，日均跟踪误差仅为0.105％，年化跟踪误差为1.66％。所以，从实际运作来看，上证50ETF采用完全复制法与我们前面的定性判断是一致的。
但是，对沪深300指数⑤来说，其成分股有300只，对其采用完全复制法(拟合复制法)还是分层抽样法就有争论。嘉实沪深300指数基金(LOF)⑥采用的是完全复制法，而大成沪深300指数基金⑦则曾讨论过是否使用分层抽样法。从直觉看，大家觉得沪深300指数所含成分证券个数(300)太多，似应采用分层抽样法。
我们拟通过实证分析来考察完全复制法(拟合复制法)与分层抽样法对沪深300指数跟踪的效果。
我们选取2004年4月30日到2005年12月31日作为模拟分析的考察期。该区间包含三次样本股调整(2004年6月30日、2005年1月1日和2005年7月1日)、总共324次股票分红、5次股票配股、14次股票增发(在启动了股权分置改革之后，再融资实际已经停止)。我们以发行20亿份的规模进行跟踪误差的测算。跟踪组合的构造分别以2004年4月30日、2004年6月30日、2004年12月31日以及2005年6月30日的沪深300指数的成份股权重为标准。
分为四种情形：完全复制、从中选取270只股票模拟、从中选取240只股票模拟、抽取60只股票模拟。
从中选取270股票或240只股票，采用大权重选样方法，即选取指数样本股中权重最大的前270只和240只股票作为跟踪组合的样本股票。而分层抽样法选取的60只股票，是以标准指数权重为基础，采用行业一市值分类方法来选取的⑧。
如前所述，造成跟踪误差的根源包括：组合构成差异、分红、配股、增发、成分股调整、费用计提等因素。暂时不考虑交易成本的影响，我们假定前述各种不同类型的跟踪误差彼此之间相互独立，不存在相关性。经过计算，各种年化跟踪误差如下表所示。
表2 不同方法跟踪误差来源分析
(对沪深300指数，不考虑交易成本)
拟合复制法 拟合/抽样复制法 抽样复制法
跟踪误差来源 完全复制法
(270只股票)
(240只股票)
(60只股票)
组合构成误差 1．13570％1．30859％1．51231％1．49750％
成份股调整误差 0．21830％0．19934％0．18238％0．31770％
分红误差0．00090％0．00093％0．00097％0．00100％
配股误差0．00160％0，00164％0．00169% 0．00240％
增发误差0．00040％0．00041％0．00042％0．00030％
费用计提误差 0．00030％0．00030％0．00030％0．00030％
总跟踪误差
1．35720％1．51121％1．69807％1．81920％
数据来源：大成基金根据相关数据模拟计算得到。
由表2可见，4种方法都较好的把跟踪误差控制在了2％以内，复制成分证券个数差别越小，跟踪误差越小。跟踪误差主要来源于两个方面：(1)跟踪组合与标准指数组合的构成差别；(2)成分股调整误差。其他因素引致的跟踪误差都比较小，抽样方法差异带来的影响也很小，基本可以忽略。
不考虑交易成本和其他异常因素(如股权分置改革试点)等因素，单纯从上表来看，完全复制法的跟踪误差最小，其次是近似完全复制法或拟合复制法，样本数量最小的抽样复制法最大。
可见，与直觉不同，抽样复制法在实证中效果并不佳，而且其难度更大、透明度差，所以，需要更谨慎地使用这种方法。正如华夏基金(2004)所说，“抽样复制策略的实施需要有非常成熟和有效的跟踪误差评估系统配合……但是从目前我国证券市场的情况来看，还没有非常有效的风险模型能够得到市场的普遍认同。因此采用抽样复制策略需要特别小心。”
采用抽样复制法的理由主要是交易成本或其他特殊情况上的考虑。譬如，华安上证180ETF采用抽样复制法的一个理由就是在当前的股权分置改革试点的大环境下，抽样复制法相对完全复制法可以减少跟踪误差(陈伟忠，2005)。
对某些指数来说，完全复制法可能也未必合适，除非是像上证50指数ETF的情形。一方面，大多数基金经理都喜欢有一定的主动性，以规避那些问题个券，或给自己留一些积极操作的空间。另一方面，当标的指数所含成分证券数目太多，而资本市场又欠成熟有效时，面对潜在的“地雷”或者大量偶发事件(如股权分置改革试点)，一定的灵活性和主动性是必须的。这样，拟合复制法或者近似完全复制法就是一种很好的替代性选择，正如大成沪深300指数基金等许多基金所实际采用的一样。
注释：
①苏圻涵(2005)，陈伟忠(2005)：上证180ETF的开发采取抽样复制的方法，将所有成份股按流动性高低排序，取流动性高的前120只或150只股票构造指数追踪组合。
②前面所称的累计超额收益可以用或者T来衡量。
③参考新华富时指数公司(Xinhua/FTSE)2002年对华夏基金关于指数投资的咨询意见之电子邮件回复。
④所谓冲击成本就是一笔买入(或卖出)导致的市场均衡价格较买入(或卖出)前的偏离。对冲击成本的计算可以采用公式：
其中P是前成交价，P′是买一/二/三(或卖一/二/三)报价。
提云涛(2003)对上证180指数成份股在2002年12月底调换18只成分股的冲击成本进行了实证分析，结果显示，该冲击成本较低，基本可以忽略。
⑤沪深300指数是由上海证券交易所和深圳证券交易所共同开发的中国A股市场指数，它是中国第一支由沪
深交易所联合编制、发布的全市场统一指数，流动性高，可投资性强，综合反映了中国证券市场最具市场影响力的一批优质大盘企业的整体状况，其中包括的上市公司对中国经济的发展具有举足轻重的作用。沪深300指数以2004年12月31日为基日，基点为1000点，在此之前有试运行和发布。
⑥系嘉实基金管理公司管理的以沪深300指数为标的指数基金，场内采取LOF(Listed Open-end Fund)交易模式。
⑦系大成基金管理公司管理的以沪深300指数为标的指数基金，场内采取“上证基金通”交易模式。
⑧具体分层抽样的方法是：(1)将成份股按照行业类(共m类)，然后在行业类再按市值大小进行分类(共n类)。也就说将成份股分成m×n类；(2)对每类中的股票选取股票的标准如下：a．选取的股票组合收益率与本范围全体股票收益率相关系数较高；b．选取的股票组合预期波动率与本范围全体组合波动率相关系数较高；c．选取股票组合市值能够覆盖本范围股票组合大部分市值。(3)将选出股票，利用最优化方法配置组合中个股权重(使用Barra Aegis的优化器)形成最终组合。
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