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无痕教育，是指“把教育意图与目的隐蔽起来，通过间接、暗示或迂回的方式，给学生以教育的一种教育方式”（见卢克谦《无痕教育：具有美学韵味的教育方式》）。无痕教育的提出，虽来源于德育领域，但其所彰显出来的人性化和科学性光辉足可以指导一切学科教学行为。苏霍姆林斯基曾说过：“造成教育青少年困难的最重要原因，在于把教育目的在学生面前以赤裸裸的形式进行”，“把教育意图隐蔽起来，是教育艺术十分重要的因素之一”。杜威在论述什么是教育时指出：“一切教育都是通过个人参与人类的社会意识而进行的。这个过程几乎是在出生时就在无意识中开始了……由于这种不知不觉的教育，个人便渐渐分享人类曾经积累下来的智慧和道德的财富。”
数学是研究客观世界中数量关系和空间形式的一门科学，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性三大特点。小学数学属于初等数学的范畴，讲授现实世界中最简单的数量关系和几何形体等知识，小学数学课程在内容上呈现由浅入深、由易到难、循序渐进和螺旋上升的特性，这为数学教学中实施无痕教育提供了可能性。那么，在小学数学教学中如何实施无痕教育？
一、“不知不觉中开始”——数学教学内容的整体把握
让学生在不知不觉中开始学习，是无痕教育追寻的基本境界。实施无痕教育的前提是教师对所教内容的整体把握。因为小学数学学科的教学内容具有整体性和系统性，每册教材、每个教学单元、每一节课时、每一个知识点的内容之间都有内在联系。优秀的教师总是能够瞻前顾后，把握所教内容与以前学习过的内容以及将来要学习的内容之间的实质性联系，为学生选准合适的认知起点，让学生在不知不觉中开始新知学习。
【案例1】苏教版二年级《认识乘法》引入新知片段
师：今天我们到动物学校去参观，大家开心吗？
生：开心！
师：在这块场地上（如图1），你发现有几种动物？
图1
生：有两种动物，是鸡和兔。
师：这些鸡和兔是怎样排列的？
生：它们是分散排列的。
生：它们是一堆一堆的。
生：我发现兔总是2只靠在一起的。
生：我发现鸡总是3只围在一起的。
师：大家观察真仔细！我们想知道有几只兔，有几只鸡，该怎么办呢？
生：我数一数，1、2、3、4、5、6，有6只兔。
生：我这样数，2、4、6，有6只兔。
师：你为什么可以这样数呀？
生：因为兔子是2只2只在一起的。
师：是啊1 2只2只地数，还可以这样数——1个2，2个2，3个2。
生：我还可以算出来呢！2+2+2=6。
师：是啊！在这道连加算式里，我们也可以2个2个地数。（引导学生看算式数3个2。）
生：数鸡的时候，我会3只3只地数，1个3，2个3，3个3，4个3。
上述教学片段中，教师通过一幅情景图，让学生不知不觉中再现了已有旧知（同数相加），激活了生活经验（每份同样多），并在不知不觉中引出新知（求几个相同加数还可以用乘法算），直指新知的数学本质（乘法的本质是几个几）。
从教育心理学角度看，教学的起始阶段应明确学生“现在在哪里”，确定合适的学习起点。有了对教学内容的整体把握，就有了对学生原有认知与学习状态的准确了解，就有了对学生生活经验与思维体验的适度理解。有了这样的教学前提，就能够进一步明确将要把学生“带向哪里”以及“如何走向那里”，从而无痕地将学生引向新知，让学生对新知学习的需求油然而生。
二、“不露痕迹中理解”——儿童学习心理的深度洞察
有效的数学学习必然建立在对儿童学习心理准确把握的基础之上。小学阶段儿童的认知属于具体运算思维阶段，其最大特点是思维离不开具体事物的支持，这也导致儿童的感知、观察和记忆均处于初步发展水平，其学习数学的动机和兴趣很不稳定。在这样的前提之下，儿童学习数学的过程需要充分借助形象直观的教学手段，充分利用新旧知识的相互作用，顺应儿童的学习心理，让儿童在不露痕迹的学习中获得新知。
【案例2】苏教版二年级下册《一位数乘两位数》新知教学片段
教师首先出示情景图——2只猴子摘桃，每只猴子都摘了14个，引导学生提出问题“一共摘了多少个桃”，并列出乘法算式2×14。接着，教师让学生独立思考，自主探索计算方法。有的学生看图知道了得数，有的学生用加法算出得数，有的学生用小棒操作摆出了得数，也有少数学生用乘法算出了得数……
教师组织学生交流、汇报计算方法，在分别肯定与评价的同时，结合学生的汇报，边讲解边用教具、学具演示计算过程，并板书如下：
最后，教师引导学生观察初始竖式（如图2），通过讲解让学生掌握简化竖式的写法（如图3），再让学生运用简化竖式进行计算练习。
上述案例中，在教具演示、学具操作、图片对照等直观刺激下，学生通过数形结合的方式，清晰地理解了算理。但是，当学生还流连于直观形象的算理时，教师要求他们马上面对十分抽象的算法，直接运用抽象的简化算法进行计算。笔者认为，教师应让学生在充分体验中逐步完成动作思维→形象思维→抽象思维的发展过程，在不露痕迹中理解算理，形成算法，即在形成了初始竖式后，不应过早抽象出一般算法，而应该让学生运用这种初始模式再计算几道题，并组织学生在交流中实现从直观到抽象的无痕提升。如，某教师在学生理解了14×2的初始竖式后，组织完成如下计算：
师：我们来看黑板上的竖式，它们有什么共同的地方？
生：它们都是两位数和一位数相乘。
生：第一次乘下来都得一位数，第二次乘下来都得两位数。
生：我发现第二次乘下来都得整十的数。
生：我发现得数个位上的数就是第一次乘得的数，得数十位上的数就是第二次乘得的数。
师：大家观察得都很仔细。那么你觉得像这样写怎么样？
生：比较清楚。
生：清楚是清楚，不过有点繁琐，有些好像不用写两次。
师：是啊，要是能简单些就好了。
生：其实这个竖式中积十位上的数字可以移动到个位数字的左边来，其余可以擦去。
师：哦，你的想法挺好的，我们一起来看屏幕——（屏幕上动画演示竖式由繁到简的过程。）你们看——这样写比原来是否简单多了？
生：是！
师：我们以后列乘法竖式时，可以选择简单的方法来写。
师：刚才写的三道竖式，你们能不能把它们改成简单的写法？（学生将初始写法改成简单写法。）
以上教学过程中，教师没有立即让学生用所谓简化竖式计算，而是在实际计算中使学生进一步理解一位数乘两位数的算理，同时通过观察、比较，找出这些初始竖式的共同点，进而产生简化竖式的需要，在此基础上自然引出简化后的竖式。这样的学习过程，学生在理解算理的过程中自己发现了计算规律，产生了简化的需要，探索出了简化竖式的写法，在不露痕迹中充分体验由直观到抽象的过渡和演变过程，从而达到对算理的深层理解和对算法的切实把握。
对儿童学习心理规律的深度洞察是实施无痕教育的关键所在。在儿童数学学习的过程中，尤其在新知理解阶段，在学科元素中融入儿童基点，能够使新知学习更适合儿童的认知发展，为学生深度理解知识、发展技能和形成能力打下坚实的基础。
三、“潜移默化中掌握”——学生学习过程的精心组织
学生学习数学的过程，既是在教师引导下的意义建构过程，也是在自身需求发展中的自主建构过程。无痕教育视野下的数学学习过程，主要体现为教师精心设计学生的学习进程。从某种意义上说，要使学习过程更贴近学生，更自然，就需要掌握“进”与“退”的艺术。适当的“退”和必要的“进”，能使得学习过程成为学生潜移默化掌握知识和技能的过程。从某种意义上说，“退”是“进”的准备和基础，“进”是“退”的发展与提升。在课堂上，“进”“退”之间体现的是一种行云流水般的从容节奏，是一种水乳交融般的无痕状态。
数学教学中“退”的策略主要有三方面：首先，退到学生的生活经验。数学知识常常来源于现实生活。在教学过程中，教师如果能充分利用学生身边的生活现象引入新知，让数学教学符合生活实际，充满生活气息，就会使学生对数学产生亲近感，并激起探求新知的强烈愿望。其次，退到学生的已有旧知。教师可引导学生将已学过的旧知和与之相联系的新知相比较，使学生通过复习旧知识更快地学会新知识。美国心理学家奥苏贝尔曾说过，影响学生新知学习最重要的是“学生已经知道了什么”。可见，安排适当的旧知复习，能再现学生认知结构中的相关知识经验，激活新旧知识之间的联结点，为新课学习做好铺垫。第三，退到学生的思维起点。数学教学是数学思维活动的教学，小学生的数学思维发展遵循着从形象思维到抽象思维过渡的规律。为使学生的思维得到有效发展，教师在引导学生学习新知之初就应该为学生的思维发展寻找合适的起点。教师应根据不同年级的学生年龄特征寻找合宜的思维方式：低年级，可以多一些操作和活动，引发动作性思维；中年级，可以充分利用表象的作用，引发形象性思维；高年级，可以不断引导学生归纳和概括，逐步发展抽象性思维。
数学教学中“进”的策略主要有三方面：首先，进到学生的认知结构。数学教学的本质是学生在教师的引导下能动地组建认知结构并使自己得到全面发展的过程。知识一旦形成结构，就具有稳定性和系统性。单一的知识只是散落的珍珠，而结构化的知识如同美丽的珍珠项链。由于认知结构是以一定的思维方式为指导构建起来的，故其本身蕴涵着思维方法。在教学数学知识时，教师不能只停留在表面，而要提示知识所蕴涵的方法和思想，提高学生的分析、比较、归纳、概括、推理等能力。其次，进到学生的思维深处启迪学生思维，发展学生智力，培养学生能力，建立良好的智能结构，是课堂教学的重要目标。这就要求教师精心设计教学的问题情境，引导学生积极观察、思考、发现、探究、创造，使思维得到有效发展。在引导学生进行课堂学习时，教师应做到层层递进，步步深入、求变、求活，鼓励学生创新求异，并及时肯定学生的新发现、新观点、新见解，帮助学生突破思维定式，促使学生思维向纵深发展。第三，进到学生的实际应用。数学应用于实际，才会变得有血有肉、富有生气，才能真正让学生体验到学习数学的意义和价值。数学教师要避免从概念到概念、从书本到书本，应该善于变“机械练习”为“生活应用”，通过实际应用，引导学生用数学眼光观察、分析、解决生活中的问题，在生活中应用数学知识，增强对数学知识价值的体验，强化应用数学的意识。
“进”与“退”的过程，是学生潜移默化地掌握知识技能的过程，是学生不露痕迹地发展思维能力的过程，是学生淡墨无痕地发展数学思想的过程。从这个意义上说，数学教学的智慧就在于教师能在“进”与“退”之间游刃有余。
小学数学教学的过程应该是遵循儿童学习数学的思维规律和小学数学学科课程的基本特性，通过教师的智慧，把作为科学的数学转化为作为学科的数学，把作为文本的数学转化为作为过程的数学，从而把“学术形态的数学”转化为“教育形态的数学”，引导学生在无痕中学习数学，发展能力，获得丰富的情智体验。
无痕教育，是建立在数学教育的心理学、美学和哲学内涵基础上的教育境界，实施数学无痕教育，具有独特的实践价值和理论价值。在数学教学中实施无痕教育的价值主要表现为以下四个方面：
第一，能使学生更有效地获得知识技能。根据认知学习理论，数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。实施无痕教育，能让学生不露痕迹地利用原有的认知经验，通过主动建构获得数学知识，并通过循序渐进的巩固和由易到难的练习逐步形成数学技能。
第二，能使学生更有序地发展思维能力。根据儿童思维发展的特点，其学习数学过程中的思维能力可以分为感知动作思维、具体形象思维、抽象逻辑思维和辩证逻辑思维四种。从思维发展的特点可以看出，这四种思维方式之间并没有明确的界限，而且学生在学习数学的过程中常常是多种思维协同作用的。实施无痕教育，一方面能潜移默化地培养学生的各种数学思维能力，另一方面也能有序发展学生的多种思维能力。
第三，能使学生更有机地提升数学思想。数学思想是数学的灵魂，是数学内容和方法的结晶。小学生学的数学尽管很初等、很简单，但是蕴涵了丰富的数学思想。依据张景中院士的观点，小学数学思想主要有三个方面，即函数思想、数形结合思想、寓理于算的思想。数学思想是无法直接传输给学生的，只能在学习数学的过程中逐步感悟。因此，实施数学无痕教育，可以在学生学习数学的过程中潜移默化地渗透和提升。
第四，能使学生更好地受到情感教育。在无痕教育理念的指导下，数学教学的内容与学生的生活实际紧密联系。数学学习的过程符合学生的认知规律和思维特征，可以在潜移默化中引发学生的学习动机，激发学生的学习兴趣，丰富学生的积极情感，培养学生的学习意志和学习态度。在学生学习数学的始终，情感教育都在无痕地渗透，这将促使学生成为具有综合素养的全面发展的人。
无痕，是一种教育的自然和谐。无痕数学教育，是一种理想的教育，是一种智慧的教育。无痕教育，无声无息，无缝无形；无痕教育，有情有理，有法有度。它不仅是一种教育方式，更是一种教育思想，是一种教育心理学的规律和原则，是一种教育的美学和哲学境界，是一种对教育本原的追寻。
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