——对数学符号含义的解读能力的培养
◆ 方佳龙 浙江省诸暨市浣纱初级中学 311800
自主学习的一个必备基本功就是你的阅读能力，没有好的阅读理解能力，自主学习就会困难重重。阅读是人类社会生活的一项重要活动，是人类汲取知识的重要手段和认知世界的重要途径，是从书面材料中获取信息并影响读者的过程，是培养学生独立自主地选择、获取、运用知识和发展能力的有效方式。《教育大辞典》中认为阅读是一种从书面材料（文字、符号、公式、图表）获得意义的心理过程，也是一种基本的智力技能，是取得学习成功的先决条件，它是由一系列的过程和行为构成的总和。
数学阅读是一种从书面数学语言中获得意义的心理活动过程，是包含感知、理解、记忆等一系列心理活动以及分析、综合、推理、判断、归纳、演绎等一系列思维活动的总和。《数学课程标准》强调：要注重学生各种能力的培养，其中包括数学阅读能力、数学应用能力和数学探究能力。作为一线教师，针对数学学科的特点，我认为要提高数学阅读能力，应主要从文字、符号、图形这三个方面来训练，本文主要从数学符号方面来论述。
数学的一个重要特点是所用数学符号抽象、简约、含义丰富，准确理解、解读，进而善于使用这些符号，不仅对于学好数学这门学科具有重要意义，而且对于数学学科的发展也具有至关重要的作用，因而大家都极为重视使用数学符号。这提示我们：在学习与研究数学问题时要首先学会解读符号含义，然后熟练运用符号。
例如，对于表示函数的符号f（x）含义的理解，至少包含以下两个层次：
第一层次：从定义上用映射来理解函数。映射与函数之间的关系是：映射是比函数的外延更大的概念。如果映射中的集合A，B都是非空数集，则该映射就称为函数，记为f（x）。其中，x表示自变量，其取值范围就是定义域；f表示对应法则，以抽象符号形式呈现，是整个函数的关键也是含义最丰富的部分，其含义至少有二：一是对于任一自变量的取值α，符号f（α）表示一个函数值，当x取遍整个定义域时，所得函数值的集合就是值域，即｛f（α）│α∈D｝（D为定义域）；二是f（x）彰显了函数的两条最本质属性：定义域（通过x的集合来体现）和对应法则（即构成规律，通过符号f来体现），这也是判别甲函数不同于乙函数的标准。
第二层次：从复合函数含义角度来理解：如在符号f（x-1）中，自变量究竟是x还是x-1呢？许多同学搞不清楚。我们不急于回答这一问题，先看下例：
设f（x）=2x2+1，则 f（x-1）=2（x-1）2+1=2x2-4x+3。
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观察上述函数解析式，若问：上式右边的函数中，自变量是x还是x-1呢？很明显，大家都知道是x了！
从复合函数的角度来看，f（x-1）有两个复合层次：外层函数是y=f（u），内层函数是u=x-1，其“对应法则”可以简述为：减1再f。
下面这个例子，可以很好地考查你对函数符号的理解达到什么层次。
例：（1）已知函数f（x）=2x2-5，求f（1），f（2）；（2）已知函数f（x）= ，求f（-1），f（f（2））；（3）已知f（x）是一次函数，且f（f（f（x）））=8x-7，求f（x）；（4）已知函数f（x）= ，若f（f（a））=1，求a；（5）已知函数f（x）=2x+1，设f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），一般地，fn+1（x）=f（fn（x）），试求f2（x），f3（x）,并猜想fn（x）的表达式（不证明）；（6）已知函数f（x）满足对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+1且f（1）=2，求f（0），f（3），f（ ），f（ ）；（7）设f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f（f（x）-ex）=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）=_____。
分析：先不要看答案，求函数值是函数问题的最基本题型，有些同学认为非常简单，不就是代入求值吗？这样你对求函数值问题的理解就太肤浅了，这7个小题的难度是逐步提升的。第（1）题最简单，代入求值即可。第（2）题换成了分段函数，且f（f（2））是嵌套的。第（3）题涉及三层的函数值，且是反过来求函数解析式，要用到待定系数法。第（4）题是反向求值，就已知函数值求自变量的值，且由于涉及分段函数，必须讨论，稍不留神就会出错。第（5）题涉及递推公式和归纳猜想，要找出一般规律。第（6）题是抽象函数，只知道函数满足的条件，没有给出具体的解析式，该题难度比较大，技巧性也很强。第（7）题看上去与前面几题差不多，但其思维和知识含量却提高了若干个等级，要灵活运用函数的单调性等性质才能解决，在这些问题中，其难度也是最大的。
解析：（1）f（-1）=-3，f（2）=3；（2）f（-1）=-5，f（f（2））=-5；（3）f（x）=2x-1；（4）a=- 或-或3或 ；（5）猜想fn（x）=2nx+2n-1;（6）f（0）=-1，f（3）=8，f（ ）= ，f（ ）=0；（7）f（ln2）=eln2+1=3。
做完这套题目，现在问你个问题：“求函数值，你真的会了吗？”你会怎样回答？
体现新课标理念的新教材对学生的理解能力、逻辑推理能力与探究能力的要求明显提高。
罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑”。 如果说“数学是思维的体操”，那么数学符号的组合则谱成了“体操进行曲”。准确理解、解读进而善于使用数学符号，对于学好数学这门学科具有重要意义。
论文作者:方佳龙
论文发表刊物:《教育学文摘》2018年4月总第261期
论文发表时间:2018/4/18
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