从数学哲学到数学教育——数学观的现代演变及其教育含义，本文主要内容关键词为：数学论文,含义论文,哲学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
就数学哲学对于数学教育的影响而言，人们常常会首先想到教学法的问题，但教学法的问题并非数学哲学影响数学教育的唯一途径。另外，数学哲学现代发展的一个重要特征，是表现出了它与其他哲学分支特别是科学哲学的密切联系与相互渗透。以下就围绕“数学活动论”“数学的文化观念”与“数学哲学的实践转向”具体指明数学哲学现代发展的教育含义，尽管以下的论述主要集中于数学教育，但在很大程度上也适用于一般教育。
一、“静态数学观”与“动态数学观”
就数学哲学的现代研究而言，应当说经历了多次重要的转变，或者说经历了多个不同的发展阶段。如果我们主要着眼于数学哲学在20世纪下半期的发展，那么，第一次较为重要的转变是由20世纪上半叶主要集中于数学理论静态的结构分析转变到了更加重视对实际数学活动的动态研究。这种由静态的结构分析向动态研究的转变也可被看成科学哲学在20世纪60～70年代所经历的主要变化，这从科学哲学中历史主义学派的兴起及其与逻辑主义的对立和斗争就可看出。以下就是历史主义学派的基本立场：科学哲学不应是一种规范性的研究，而应如实反映实际科学活动的真实面貌。
上述的变化具有重要的教育含义。美国著名数学教育家龙伯格(T.Romberg)曾有以下论述：“两千多年来，数学一直被认为是与人类的活动和价值观念无关的无可怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其他知识一样都是人类创造性的产物。……这种动态的数学观具有重要的教育含义。”[1]
事实上，即使静态的数学观对于数学教育也具有十分重要的影响。例如，数学中的结构主义观点就是促成20世纪60年代风靡全球的“新数运动”①的一个主要因素。“新数运动”的基本立场是主张用现代数学思想对传统的数学教育作出改造，突出强调现代数学思想向中小学数学的渗透，因此，“结构”的概念在这一改革运动中自然就占据了核心的地位。值得指出的是，结构主义的影响已超出数学教育形成了一个普遍性的课程范式。如结构主义课程范式的主要倡导者布鲁纳指出：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”[2]由此可看到静态数学观对于数学教育乃至一般教育的重要影响。
与此相对照，动态数学观则主张，我们在教学中不仅应高度重视作为数学活动最终产物的具体知识，也应高度关注相应的数学活动。这也是20世纪90年代以来在世界各国先后开展的新一轮数学课程改革的一个共同特征，即对于“过程”的突出强调。
从这一角度去分析，我们就可更好地理解我国在2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》何以在传统的“知识技能目标”之外又专门引入了“过程性目标”——不仅使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等描述知识技能的目标动词，而且使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等描述数学活动水平的过程性目标动词。另外，对于动手实践与主动探究等学习方法的突出强调显然也可被看成上述立场的一个直接体现：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”[3]
应当强调的是，除去上述的含义以外，我们还应从其他一些角度更为深入地揭示动态数学观的内涵及其教育含义。
例如，所谓的“数学活动论”就可被看成从动态角度考察数学的一个重要成果：数学不应被等同于各个具体结论的简单汇集，而应被看成由“问题”“语言”“方法”“命题”等多种成分所组成的一个复合体，这就为我们究竟应当如何理解“数学活动”提供了启示。以下则是“数学活动论”的一些教育含义：第一，由于“问题”可以被看成数学活动的直接出发点，所以，数学教学不仅应当十分重视提高学生解决问题的能力，还应注意培养学生提出问题的能力，即应当帮助学生养成良好的“问题意识”。第二，由于“语言”也是数学活动的一个重要组成成分，所以，从这一角度去分析，数学学习也可被看成一种语言学习，特别是，我们应帮助学生学会“数学地谈论”与“数学地写作”。第三，正如每个数学分支都具有自己的基本问题，它们往往也具有自己的特殊方法，特别是，某新的数学分支的创立更依赖于新的研究方法的创建。因而，在数学的教学与学习中我们应给予“方法”足够的重视。
由此可见，如果将“数学活动”等同于“动手实践”就过于简单了。另外，如果我们始终未能具体地指明数学家究竟是如何进行研究活动的，那么，将“数学活动”归结为“主动探究”显然也过于笼统，更容易导致误解或理解上的片面性。
最后，在充分肯定动态数学观对于数学教育深入发展的积极作用的同时，我们又不应因此而完全否定静态的逻辑分析的意义。这事实上也正是数学教育的现代发展，特别是相关的改革运动给予我们的一个重要启示或教训。例如，对于动态数学观的突出强调正是20世纪80年代在美国和其他一些国家开展的“问题解决”这一改革运动的主要特征，但就相关的教学实践而言，却又明显地暴露出了这样的弊病：在很多情况下无论学生还是教师都只是满足于用某种方法（包括观察、实验和猜测）求得了问题的解答，却没有能作出进一步的思考和研究，甚至都未能清楚地认识到应对所获得结果的正确性和完整性等作出必要的检验或证明。另外，在教学中我们可经常看到“为探究而进行探究”的现象，认为“重要的并非具体的结论，而是要让学生体会发现的过程”——这事实上就是由一个极端走向了另一个极端。正因如此，国际数学教育界对“问题解决”这一改革运动进行了认真总结与反思并获得了一个主要结论：数学教学应当“过程与结果并重”。[4]显然，这是对唯一强调结果和唯一强调过程这两种片面性立场的同时纠正。
综上可见，促进我国新一轮数学课程改革深入发展的关键之一，是应对“学生的数学活动”作出清楚界定，并应依据学生的认识发展水平对相关的教学活动作出合理定位。
二、数学的文化研究与数学教育的“三维目标”
美国著名数学教育家基尔帕特里克(J.Kilpatrick)1992年在对数学教育的理论研究进行总结时指出：“研究者现在开始认真看待数学教育的社会和文化方面了。”[5]
科学哲学现代研究的一个重要成果是清楚地指明了观念和信念对于科学活动的重要影响。著名科学哲学家库恩(T.Kuhn)提出，“范式”这一概念的一个主要内涵，是指共同体成员共有的观念和信念；无论自觉与否，科学家都是在一定范式指导下从事自己的研究活动的。
库恩的研究可以被看成科学哲学历史发展中的一个里程碑，对数学教育产生了重要的影响。例如，“数学课堂文化”是数学教育现代研究的一个热点，其主要特征就是以“数学教学共同体”作为直接的考察对象，并主要集中于教师与学生的共有观念和信念。尼克森(M.Nickson)指出：“由于文化的主要特征涉及了看不见的信念和价值观，因此，数学教室的文化在很大程度上也就取决于教师和学生们所具有的与学科有关的隐蔽的观念”，“通过采取文化的观点，我们就可更为清楚地认识教学和学习的情景中所包含的这些‘看不见的成分’对数学教学的成功或失败有着怎样的影响”。[6]这事实上就是将库恩的科学哲学理论推广并用到了数学教育领域。
就当前的新一轮数学课程改革而言，我们应特别提及数学教育的“三维目标”，因为，只有很好地理解了究竟什么是“数学文化”，关于数学教育应当帮助学生养成一定的情感、态度和价值观的主张才能真正得到落实。这也就从又一角度表明了数学的文化研究对数学教育的重要影响。
由于比较正是文化研究的一个主要手段，所以，我们在此也可通过与语文教学的对照较为深入地认识“数学的文化价值”的具体内涵，包括我们在数学教学中如何才能很好地发挥数学的文化价值。如果说语文教学所涉及的主要是人类的一些基本感情：人世间的爱恨和冷暖，生命的短暂和崇高，社会历史进程中的神奇和悲欢……语文教学可以被看成一种“情知教学”，即以情感来带动相关知识的学习；那么，数学教学就并非“以情引知”，而是“以知怡情”，这也就是指，我们所希望的是通过数学教学帮助学生养成“一种新的精神：它并非与生俱来，而是一种后天形成的理性精神；一种新的认识方式：客观的研究；一种新的追求：超越现象以认识隐藏于背后的本质；一种不同的美感：数学美（罗素形容为‘冷而严肃的美’）；一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感：超越世俗的平和；一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持。……”
语文教学的一个有效手段是通过朗读创设出好的学习氛围，即要求学生“带着感情去读，读出感情来”。与此不同，搞好数学教学的关键则在于如何能够创设出恰当的“问题情境”，这也就是指，在数学教学中我们应当善于提出既有一定的挑战性又适合学生的认知水平并具有一定启发意义的问题，从而能不断激发学生的好奇心、上进心，使学生积极主动地学习，不仅能够学到一定的数学知识，而且能逐步学会数学地思维，并养成一定的情感、态度与价值观。
以下再让我们将视线转向更为宏观的方面，因为，由东西方文化的比较我们可更为清楚地认识充分发挥数学的文化价值的重要性。具体地说，这正是东西方文化的一个重要差异：数学在西方文明的形成和发展过程中发挥了特别重要的作用，特别是，西方普遍推崇的“理性精神”在很大程度上就可被看成一种“数学理性”，进而，西方的传统文化主要地就可被看成一种“数学文化”；与此相对照，由于东方文化主要地应被归结为“儒家文化”，所以，数学在古代中国就一直处于较为次要的地位，即仅仅被看成一种实用工具，其文化功能始终未能得到很好的发挥，这不仅直接影响到了真正意义上的科学在中国的发展，也使得“有机的自然观”这样一种素朴观念在中国长期占据了主导地位而一直未能受到真正的批判与冲击。
正如齐民友先生指出的：“历史已经证明，而且将继续证明，一个没有相当发达的数学的文化是注定要衰落的，一个不掌握数学作为一种文化的民族也是注定要衰落的。”[7]中国数学教育工作者应自觉承担一种社会责任，这就是充分发挥数学的文化价值。
应当强调的是，只有以数学哲学为背景去进行思考，特别是很好发挥哲学的批判性与反思性，我们才可能在上述方面具有更大的自觉性，并切实避免各种可能的片面性与做法上的简单化。
具体地说，在明确肯定充分发挥数学的文化价值的重要性的同时，我们应清楚地看到，除去已提及的各个积极方面以外（可称为“数学的善”），数学对于一般民众在思维方式与情感、态度、价值观等方面也具有一定的消极影响，这也就是所谓的“数学的恶”。例如，著名哲学家怀特海(A.Whitehead)在其代表性论文《数学与善》中论述道：我们既应明确肯定数学作为“模式的科学”对于人们认识活动的积极意义——“模式是我们理解经验的一个因素”，同时也应清楚地看到其可能的消极影响——“讨论善与恶可能要求对经验的理解具有一定的深度，而一个单薄的模式可能阻挠预想的实现。于是，有一种微不足道的恶——一幅写生画竟能取代一幅完全的图画”，“引起强烈经验的两个模式可以彼此冲突。于是，就有一种由主动的对抗所产生的强烈的恶。”[8]另外，著名数学家施瓦茨(J.Schwartz)和柔塔(G.C.Rota)也曾通过数学思维特征的具体分析——单一性、简单性、文本性——集中论述了数学对于自然科学与哲学的“邪恶影响”。[9][10]
显然，上面的论述为我们不断改进数学教育提出了更高的要求。正如前文关于“过程”与“结果”辩证性质的论述，我们在此也应注意加强思维的辩证性。特别是，就当前而言，我们不仅应当突出强调由单纯的知识学习转变到更加关注人的发展，积极地倡导“数学文化教育”，而且应注意防止数学教育的“泛化”——将数学教育演变成一般意义上的“文化教育”，从而很好地发挥数学教育在这方面的特殊作用，并将“数学思维的学习”与“一定情感、态度与价值观的养成”渗透于具体数学知识的教学与学习之中。
三、数学哲学的“实践转向”与教学工作的新定位
从20世纪90年代开始，数学哲学与科学哲学经历了一次新的“革命”，这就是“实践转向”。
通过与“数学活动论”的比较我们可大致理解这里所说的“实践转向”的主要含义：数学主要地应被看成一种实践活动，这一观念的主要特征则是对于“理论优位”②这样一种传统立场的自觉批判。例如，“理论优位”的一个重要表现是将实践活动定位于“理论指导下的自觉实践”。与此相对照，在“实践转向”的倡导者们看来，我们不但应当对这一立场作出深入的批判，而且应更为自觉地倡导“反思性实践”这样一种关于实践工作的新定位。
以下就从“反思性实践”角度具体地指明“实践转向”对于数学教学乃至一般教学工作的启示。
第一，“反思性实践”不应被理解成完全否定了理论对于实际教学工作的指导意义或促进作用。其实，它正是更加突出了这样一个事实：由于教学对象与情境的复杂性和不确定性，教学工作不可能被完全纳入任何一个固定的模式，我们也不可能通过简单搬用任何一种现成的理论就能有效地去进行教学；恰恰相反，与片面强调理论对于实际教学工作的指导作用相对照，我们应当更加强调切实立足实际的教学活动，并能通过及时的总结与反思不断取得新的进步。
的确，这些年在数学教育领域中我们所接触到的理论难道还少吗？如建构主义、大众数学、问题解决，等等，但这些理论是否又都很管用呢？另外，数学教育现代发展的一个总体特征是每隔10年左右就有一个新的口号或改革运动，包括20世纪60年代的“新数运动”、70年代的“回到基础”、80年代的“问题解决”以及90年代以后的“建构主义”“大众数学”等等，但所有这些显然又都不能说取得了很大成功，对于数学教育现状的不满仍是最为普遍的一种情绪。我们难道不应当对造成上述现象的主要原因进行深入总结与反思吗？
毋庸讳言，理论研究与教学实际的严重脱离是造成上述现象的一个重要原因，特别是，有不少“理论”更可说是毫无意义的“概念游戏”或“学术作秀”。从“反思性实践”的角度分析，我们则应当更为深入地思考：在教育领域中是否真的存在普遍适用的理论？或者说，我们究竟应当如何去认识与处理理论与实践之间的关系？
第二，“反思性实践”的又一主要特征是特别重视实践活动的总结与反思。与单纯强调理论的指导作用相对照，我们应当更加重视“实践性智慧”。
具体地说，对于“实践性智慧”我们可描述为“借助于案例进行思维”。作为“反思性实践”者，我们应当十分重视案例的分析与积累，并能通过案例的比较获得如何从事新的实践活动的重要启示。
显然，按照这样的分析，对于在教学研究中已经得到广泛应用的“案例分析”我们应作出新的认识：它不仅为一线教师正确理解与掌握相关的理论提供了重要途径，也直接关系到一线教师如何才能很好地实现专业成长，从而真正成为具有丰富实践性智慧的教学（育）专家。
再者，上述的分析也为一线教师究竟应当如何去看待各种教育或教学理论提供了直接的启示：与传统的由理论向实践的单向运动相对照，教学实践的一个基本功能是对于理论的必要检验与修正，就实践与理论的关系而言，我们应当始终坚持“尝试—检验—调整、补救甚至是打破”这样一种立场。
由此可见，在数学教育中我们不应片面地强调任何一个理论，而应更加重视理论的多样化，并应善于对不同理论作出比较，包括必要的整合。另外，在教学实践中我们应主要关注的也并非“是否与相关的理论相符合”，而应坚持“情境中的需要高于规则、模式甚至标准价值观的规定”。[11]
第三，与单纯依靠外界和专家相对立，我们应当更加强调自身工作的创造性质，并应坚持自己的独立思考。我们应积极地展望所谓的“后课标时代”，而不是被动地去等待修订后的数学课程标准能够早日发表并能真正做到“尽善尽美”。
“反思性实践”的又一重要特征是对于教学与研究工作高度一致性的明确肯定，特别是，注重总结与反思的教学实践同样应当被看成一种研究活动。这与传统的关于理论与实践以及教师与专家的严格二分构成了鲜明对照。
当然，“反思性实践”意义上的教学研究（可称为“实践性研究”）与传统意义上的理论研究相比有自己的特点：(1)如果说传统意义上的理论研究特别重视相关结论的事实性并因此而特别强调“定量分析”的话，那么，对于反思的高度重视并更加重视案例的积累与应用就是实践性研究的主要特征；(2)如果说传统意义上的理论研究往往以理论的建构作为最终的目标，乃至在很大程度上形成了“只有上升到了理论才能被看成真正的研究工作”这样一种认识，那么，实践性研究的主要目标就是促进相应的实际工作。当然，后者又不应被理解成“就事论事”，恰恰相反，我们在此也应十分重视研究工作的普遍意义，但这主要是通过案例研究得到体现的，即“小中见大”。
值得指出的是，实践性研究的上述特点在很大程度上也是与数学教育理论研究的现代发展趋势相一致的。[12]另外，这为我们如何认识“中国数学教学传统”提供了直接的启示。“理论优位”认为，尽管中国数学教学传统有很多优秀的内容，如启发式教学、双基教学、精讲多练等，但这些又都只是一些实践性的经验，而非真正的理论，也正因如此，一到改革之时人们往往就会不自觉地转向国外，其结果则不仅改革未能取得真正的成功，而且往往将自己的优良传统完全丢掉了。在实践中我们应注意另外一种错误的倾向，即将“反思性实践”等同于“纯粹经验型的实践”。恰恰相反，我们在此所倡导的应是一种“螺旋式的上升”，即由“经验型实践”上升到“理论指导下的自觉实践”，再上升到“反思性实践”。应当强调，这里所说的“三个阶段”也可被看成为我们具体判定教师的专业成长究竟达到了什么样的水准提供了必要的参照。
由于反思性（和批判性）正是数学哲学乃至一般哲学的主要特征，所以，这也就从又一角度表明了数学哲学对于数学教育的重要意义。
注释：
①《国际展望：90年代的数学教育》这一由数学教育国际委员会(ICME)组织编写的指导性著作中的以下论述为“新数运动”包括这一运动与数学中结构主义观点的关系提供了最为简要的注释：“60年代改革的主要目标是加强‘中小学数学’和‘高等数学’之间的联系。不少人曾经希望有一种严格‘结构化’的学校课程。……这里，一个主要的前提就是要像20世纪的数学家所理解的那样，去逐步揭示数学结构，从而使学生们进一步领会、应用和爱好数学。但这做起来可并不那么简单，而且正如我们所看到的，这种尝试现在已经偃旗息鼓了。”（上海教育出版社1999年版，第104页）
②这是在科学研究的“实践转向”中作为对于传统研究立场的自觉批判提出的一个概念。从整体上说，无论是“理论优位”还是“实践优位”，都可被看成集中地表明了在理论与实践的关系问题上何者应当被看成具有更大的重要性，从而我们也就应当以此为中心去开展研究。