数学核心素养引领下的教学设计
——以“二项式系数的性质”为例
200052 复旦中学 陈 雁
摘 要： 在数学核心素养的引领下，如何在提高课堂效率的同时培养学生的核心素养，需要每个教师在教学实践中进行总结并寻找方法．教学设计是整个课堂教学过程的“剧本”，是课堂教学的前期准备，教学设计的好坏直接影响教学质量及效率．笔者以“二项式系数的性质”的教学设计为例，探索在数学核心素养引领下的数学课堂教学设计，通过案例分析，总结在课堂教学中渗透和培养学生数学素养的心得与体会，梳理教学设计时的可操作方法及注意点．
关键词： 核心素养；教学设计；案例分析；有效策略
课堂是教育教学的主阵地，也是渗透和培养学生数学核心素养的载体，教育的主体是学生．虽然教无定法，但在课堂教学中通过启发式教学的方式，引发学生思考，帮助学生积累活动经验，让学生会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界，是数学教育的终极目标，也是制定数学核心素养的依据．笔者以“二项式系数的性质”的教学设计为例，探索如何渗透并培养学生的核心素养．
一、核心素养引领下的教材分析
从知识层面来看，本节课内容比较简单，根据二项式系数所构成的数表探究二项式系数具有的性质．本节课主要解决二项式系数的三个基本性质：对称性、单调性及二项式系数的和．从数学核心素养的角度来看，本节课是在学生学习了组合数的公式及二项式定理之后学习的内容，且学生已经学习过数列，对基本数表问题的研究方法有了一定的了解．在二项式定理中重点研究二项式系数的性质，考查学生的数学抽象核心素养；从具体的前几行数据推导归纳出一般规律，并进行严密的证明，考查学生的逻辑推理核心素养；在发现规律及得到结论的过程中，考查学生的数学运算核心素养．教师在教学设计时，要尽量搭建平台，给学生提供更多探索交流的空间．
在支护图中可以看到指示喷混凝土厚度的斜线，喷混凝土的厚度随着Q值的减小和洞室尺度的增大而增加。线与线之间的位置，可以进行插值确定。如果有变形发生，比如有高应力引起，加筋混凝土应当应用于所有的支护类别。
二、核心素养引领下的教学流程
（一）复习引入
师：如果需要研究二项式系数具有什么样的性质，应该怎么办？
生1：先单独研究二项式系数，然后从具体入手，寻找二项式系数具有什么样的性质，再想办法证明这个性质是否对一般情况也成立．
师：这样的表述就比较规范了．那么这个性质听起来像我们学过的什么性质呢？有没有办法证明一下？
（二）探究及证明1
类比并探究二项式系数表中二项式系数的性质．
学生以小组为单位，自由探究二项式系数表（如图1所示），观察并找出该数表中二项式系数的各种性质．
图1
展示交流：各小组对发现的规律进行展示，其他小组补充交流，教师引导并规范学生的表述方式．
生2：二项式系数的左右两边是对称的，且两头都是1．
师：很好，那你能用更一般的数学语言来表达这个性质吗？
生2：可以，Crn＝Cn－rn．
生3：这个数表奇数行的时候中间有两项一样的，偶数行的时候中间只有一项，而且是最大的，其他的两边都是减小的．
（1）教师适时总结探究二项式系数用到的基本数学思想方法和研究方法，即从特殊到一般、归纳—猜想—论证、从一般到特殊、赋值法．
归根结底你还只能找他。我今天——你看，我主持会，一会县里赵书记还来，暂时不能陪你老。我把孙村长喊来好吧。镇长只想快点脱身。
生3：就是它的每一行都是先增加，达到最大以后又开始减小，然后奇数行有两个最大值，偶数行只有一个最大值．
师生共同完成，学生口述，教师板书．
设计意图：通过教师的引导，学生掌握数学抽象是研究数表中数据的性质、数列的性质等问题的基本方法．在解题时，需要抛开背景和其他干扰因素，直接得到需要研究的数学对象，然后利用从特殊到一般的方法进行研究．
生3：像函数的单调性和函数的最大值．
生4：可以从数列单调性的角度证明，利用an＋1和an的关系进行判断，但这里都是组合数，展开以后都是连乘的形式，所以可以用作商法．
师：但是这里函数的定义域是n∈N＊，更像数列，大家一起想想如何证明？
学生小组讨论交流．
3.谈判技术。谈判是指有关组织或个人以口头语言为载体，对涉及自身利益的分歧和冲突进行反复磋商，寻求解决途径和谋求达成协议的过程，它是知识、信息、口才、修养等诸方面的较量和角逐。［3］人类社会诞生至今就无时无刻不充斥着利益冲突，在这个意义上，人类的历史就是一部谈判的历史。
为进一步研究暴雨过程MCS的发生发展,利用中尺度模式WRF3.5对其进行数值模拟。模拟取3层(D01、D02、D03)双向嵌套,中心位于(115°E,32°N),水平分辨率分别为27 km、9 km和3 km,格点数分别为192×192、303×303和442×442。3层嵌套均采用WSM3微物理、Goddard长波和短波辐射、YSU边界层和Noah陆面参数化方案。D01和D02采用Kain-Fritcsh积云对流参数化方案,D03未采用对流参数化方案。选用NCEP的1°×1°FNL资料作为模式的初始场和侧边界条件,积分时间为25日18时—27日18时。
动物们不愿意待在有很多很多人的地方，爸爸也是一样。他喜欢住在动物们不会感到害怕的地方，喜欢看小鹿和鹿妈妈们从树荫之间好奇地打量着他，喜欢看懒惰的大胖熊在田地里吃野草莓。
Maya Angelou is a versatile and extraordinary black woman,always concerning about those people who have the same situation and encounters with her.Her works have encouraged many black girlsfromgeneration togeneration.
的增减情况由
决定，
时，二项式系数逐渐增大．由对称性可知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项
取得最大值；当n是奇数时，中间两项
取得最大值．
众生：数列的和．
（三）探究及证明2
师：同学们可以不拘泥于一行，从整体探究二项式系数的性质，是否可以从多角度研究二项式系数的其他性质？
学生继续讨论．
生5：我们组从上下两行来看，发现下面一行的数可以由上面一行的两个数加起来得到．
师：下面一行每个数都可以吗？另外它是由上面一行的哪两个数加起来的？
(1)当频率小于大约270 Hz时，车轮与同质量的一个刚体的行为无异，其在角频率为Ω时的垂向动柔度可按-1/(Ω2mW)进行计算，不管是否在旋转；
生6：我来补充，不是所有的数都是的，应该是除了1以外的所有数都是由它上面的两个数加起来的，用数学语言来说就是
全州建立测报员+技术员、技术员+片区烟农的二级预警平台，结合该病发生历史以及当年气象指标变化情况，精准预测该病发生的时间段，并逐级及时发布该病预测预报信息，及早组织烟农和烟农专业合作社做好预防准备。
师：很好，这个性质我们已经在组合数的公式与性质中证明过了，而且刚刚生6对n、r的范围要求写得非常规范，值得大家学习．还有其他性质吗？
学生表示没有头绪．
师：刚刚有同学觉得这个二项式系数的研究方法可以类比数列问题的研究，除了研究数列的通项、单调性和最值外，还可以研究数列的什么？
设计意图：设计两张图表，有助于学生实现从特殊到一般的归纳过程．课堂教学活动以小组为单位进行自由探究，培养学生自主研究和数学表达交流的能力．在全班交流时，教师适时对学生的表述进行规范，培养学生的数学语言表达能力，对于单调性和最值性质的证明，引导学生以化归的方式，转化为函数、数列的单调性完成证明．严格的证明论证能有效地培养学生的逻辑推理核心素养．
师：好，请大家继续研究．
生7：我们组把每一行的和都加起来了，发现每一行的和都是2的次幂，用数学语言来说就是C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n，证明方法没有想到．
师：非常好！这个猜想的证明确实有点难度，其他同学有什么好的建议吗？比如从命题本身出发？
生8：这是个关于n的命题，从数列的角度不妨用数学归纳法证明．
师生共同用数学归纳法进行证明．
师：刚刚大家用数学归纳法完成了证明，请大家思考一下，这些数被称为二项式系数，因为它们是从二项式定理中抽象出来的，能否结合二项式定理的公式
，思考如何求
生9：看公式的右边有点像，只要让a，b都取1就好了．
师：就是这样．令a＝1，b＝1，则2n＝
＋
＋
＋…＋
＋…＋
．在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．∵在展开式（a＋b）n＝
＋
b＋…＋
＋…＋
）中，令a＝1，b＝－1，则（1－1）n＝
－
＋
－
＋…＋（－1）n
，即0＝（
＋
＋…）－
＋
＋…），∴
＋
＋…＝
＋
＋…，即在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由2n＝C0n＋
＋
＋…＋
知
＋＋…＝＋
＋…＝2n－1．
经统计，校园足球研究的第一作者101人，来自47个单位，90%为高等学校，其中体育院校有10所．发文3篇以上的有11个单位（见表5），共发表文献50篇，占发文总量的40.32%．其中上海体院学院发文最多，发表论文11篇，其次为沈阳体育学院，发表论文7篇．由表5可以看出，校园足球的研究主要集中在体育院校和师范大学、综合性大学的体育院系．
设计意图：这一部分是对二项式系数的进一步探究．教师继续规范学生的数学语言表达，同时提升学生的数学抽象能力，体现了数学的严谨性．当学生在研究中遇到困难时，教师采用引导的方法和化归的策略，引导学生思考可以从哪些角度探究．二项式系数和的证明，教材上用的是赋值法，虽然赋值法是一个比较重要的方法，但学生的认知无法及时跟进，于是教师采用了多角度证明论证的方法，既开拓了学生的思维宽度，又提升了学生的思维高度．对于学习过程中的困难点和易错点，教师能够根据学生的最近发展区，设置适当的“脚手架”，通过阶梯式和螺旋式上升的教学方式突破．
（四）适时小结
师：很好！生3注意到研究这个数表的时候不能只看单独一行，而应从整体上看这个数表的奇数行和偶数行之间的关系，但是数学表述还不够准确．能否用更准确的语言表述“是最大的，其他的两边都是减小的？”
（2）教师介绍“杨辉三角”，渗透数学文化．
（五）拓展延伸，学以致用
三项式定理
冠心病发病与年龄密切相关，老年人冠心病的患病率和死亡率均居高不下。同时，我国人口老龄化趋势明显。根据2010年第6次全国人口普查数据[1]，65岁以上的老年人有约1.19亿人，占全国总人口的8.92%。参照中国MONICA方案[2]的结果，估测近年来每年约有53万人发生急性冠脉事件。75岁以上人群既属于心血管事件高危人群，也是治疗后并发症高发人群。
三项式系数表：
根据二项式系数和的性质类比探究三项式系数和的性质．用赋值法：令a＝1，b＝1，C＝1，能否再继续推广？
设计意图：完成了教材要求的四个性质之后，学生可以对二项式系数进行进一步探究．通过对四个性质的探究，培养和渗透学生数学素养的目的已经基本达成，进一步探究有利于提升学生的思维深度．笔者设计了探究三项式系数的和的问题，学生可以在类比的基础上完成，进一步思考能否推广到更一般的情况，既是对二项式系数性质的巩固，也是对学生运用二项式系数性质能力的提升．
三、教学及实践反思
本节课的教学中，学生在探究二项式系数的性质时，对性质的归纳猜想问题不大，但在用数学语言表述自己的猜想时就遇到了问题．在教师多次重复的要求下，学生的数学语言表达能力有了很大的进步．在性质的论证过程中，教师采用师生合作探究、教师升华点拨的形式，培养了学生的数学逻辑推理能力．
窦常忠提到：新课程的主要目的就是要把课堂还给学生，让学生做课堂的主人，把学生从“装知识的容器”中解脱出来，变“学会”为“会学”，开启学生的心智．教师要把课堂这个教学主阵地用好，让学生在学会知识的过程中，掌握基本技能，渗透核心素养．核心素养的培养不是一朝一夕形成的，需要在潜移默化中内化．
备课环节：备课环节犹如中医看病，由表及里，既要通过望闻问切找到问题，也要制定合适的治疗方案，既能治疗表面症状，也能慢慢根治．例如“二项式系数的性质”这一节课的教学中，要在课堂中渗透和培养学生的核心素养，必须在备课时分析本节课涉及的核心概念、核心方法以及体现的核心素养，如图2．
猪传染性胸膜肺炎具有显著的季节性特点，常发于春秋两季，年龄段在6周-6个月的生猪为发病的主要群体，以3个月的仔猪为高发群体。该疾病的发病特征主要分为最急性型、急性型、亚急性型和慢性型等几类，发病率与致死率超过50%，最高可达100%。
教学环节：教学环节犹如吃药治病，吃药的是病人而不是医生，医生需要在一旁观察药效是否与预期一致，如果药效不一致，需要及时调整药方，从而保证病人能够得到有效的治疗．因此，在具体的教学过程中，教师必须明确学生是教学的主体，教师的作用是引导、点拨、指导，切不可越俎代庖．在教学过程中，教师要对课堂生成资源进行合理把握和利用，切不可为了完成教学进度而轻视甚至无视生成资源．在整个教学环节中，教师将核心问题具化为各个知识和技能层面的问题链，引导学生加以解决．具体的教学呈现方式是多样的，如通过小组探究的方式让学生自主归纳猜想，培养学生的抽象思维；让学生在各类数学语言之间转换，培养学生的数学表达能力；让学生在归纳猜想之后严格推理证明，体会数学的理性精神，等等．在教学以后，可能会出现新的问题，教师通过不断积累和反思总结，就能解决疑难问题，课后反思是教师自身发展的催化剂和促进剂．
2.3 两组孕妇血脂水平比较 观察组孕妇血脂指标FPG、TG显著低于对照组，差异有统计学意义(均P<0.05)；两组孕妇TC、HDL-C、LDL-C水平比较，差异无统计学意义(均P>0.05)。见表3。
总之，培养学生的数学核心素养，关键在于教学设计，教师要选择合适的切入点和切入方式，让学生自主小结和反思，提升数学核心素养．
我回来，对别呦呦说，我见着边兀了，我从没见他笑过。别呦呦说，他没笑过，那是他想老婆孩子了吧？他来这八年，已有八年没见着老婆孩子了。我愤愤地说，什么老婆孩子？这种人，就该断子绝孙！
图2
参考文献
［1］ 陈敏，吴宝莹．数学核心素养的培养：从教学过程的维度［J］．教育研究与评论（中学教育教学），2015（4）：44－49．
［2］ 史宁中．数学的抽象［J］．东北师大学报（哲学社会科学版），2008（5）：169－181．
［3］ 史宁中．漫谈数学的基本思想［J］．数学教育学报，2011（4）：8．