例析函数图象的渐近线，本文主要内容关键词为：渐近线论文,图象论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中学数学中的许多函数图象和曲线，都与渐近线密切相关，可以说渐近线是图象和曲线的领舞者，但由于受高考考点的“怠慢”，一直以来它很少得到人们的关注，甚至被遗忘。事实上，反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数、双勾函数、分式函数及几类简单的超越函数等的图象都与渐近线有着千丝万缕的联系，但在教科书中第一次提出“渐近线”这个概念，还是在高二（上）教材中的“双曲线的简单几何性质”这一节，它的核心词是：曲线从某个方向向外延伸时，与直线逐渐地、无限地接近（永远不与其相交），结论证明过程中渗透了极限的思想。学生学习的难点在于难以体会曲线渐进的方向与方式，在学习过程中如果能领会“渐近线”的内涵，对迅速、准确认识某些函数的形状、位置、大小必会有极大的帮助，真正体会“一叶而知秋”的感觉，从而获得学习数学的乐趣。故笔者呼吁：让渐近线走进我们的数学教学！下面就几类常见函数图象的渐近线予以剖析、归纳，以此唤起师生的广泛关注与高度重视。
一、反比例函数
，（k∈R，且k≠0）
这是初中学生都熟知的函数，直线x=0，y=0均为其图象（双曲线）的渐近线，渐近线准确、形象地衬托了函数的定义域、值域及单调性、图象变化趋势。
了图象的位置，再加之单调性辅助，运用其解决一类分式函数的值域、最值问题极为方便，可巧妙避开运用不等式性质进行的繁琐变形，准确率较高，此类函数极具“工具”功能。
图1
二、指数、对数函数
图2
图3
图4
图5
图7
这一点较容易理解，课本上在此处未提及渐近线概念，但适当引用，可加深对其定义域和对称中心的理解。如归纳：正切曲线的对称中心要么是函数值为0的点，要么是渐近线与x轴的交点；正切曲线的两条相邻渐近线之间的图象恰好是一个单调区间的图象等等。余切曲线也有类似的性质，学生就更容易记忆。
图8
其图象由三支组成，它们对称分布在渐近线的各个方向，很美观、很精彩，学生平时很少接触此类图象，若要求学生独立完成此图象的绘制，不少学生肯定首先是茫然不知所措，逐步分析其各个性质后才能慢慢进入角色，直至最后豁然开朗。
它的图象如图9。
图9
图10
x→+∞时f(x)→0，直线y=0为渐近线；
其图象如图10所示（附图10），相比图10中的图象，它虽然不具备对称性，但图象的三支同样分布在渐近线的各个方向，渐近线的定位作用可谓举足轻重。有了它，定义域、值域、单调性才一目了然。对这类稍微复杂的函数，若能熟悉它的图象，领会它的各种性质，则在综合处理应用问题时得心应手，游刃有余。如问题：方程g(x)=m有两个不等实根时，求实数m的取值范围，通过图象易得m的取值范围为
。（当然本题还有另外思路：方程g(x)=m有两个不等实根
一元二次方程
有两个不等实根，只需△＞0即可）
七、超越函数类
图11
当x→+∞时y→0。直线y=0为其渐近线。图象如图11所示。
易知它的定义域为｛x｜x≠1｝，值域R却难以求出，正是由于它的两条渐近线x=1和y=0，再加之单调性、极值点的辅助，才让我们顺利求出其值域，而用其他初等方法是难以想象的，渐近线在掌控图象的位置时起着决定性的作用。若再将问题发散：求当方程
有零解、一解、两解、三解时，实数m的取值范围。上述问题6。仍可用初等方法求解，但本题只能通过数形结合来获得问题的答案，没有准确的图象，就无法用初等的方法完成对此类超越函数的超越！
说明：作图时取e≈2.72
鉴于以上分析，在学习函数的过程中，老师若能经常性地引导学生根据函数的各种性质（特别是渐近线）描画函数的草图，对迅速找到解决问题的入口，形成解决函数问题的大局观、层次感和养成良好的思维习惯大有裨益，函数、导数与方程、不等式的综合应用能力的提高就水到渠成了，
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