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数学应用对数学发展的作用，指的是数学在人的实践或在其他科学中的应用对数学自身发展所起的作用。从另一个角度来讲，指的也就是人的实践和其他科学发展的需要对数学发展的促进作用。从理论上来说，人的实践发展的需要当然是一切科学包括数学发展的最根本的动力，由实践发展所推动的其他科学尤其是自然科学发展的需要则是数学发展的极其重要的动力。如果要进一步问：人的实践发展的需要以及其他科学发展的需要究竟是怎样促进数学发展的呢？那就不能不步及到作为主体的人的思维在实践和科学需要数学时的具体变化情况。本文试图从数学应用对人的思维过程的起点，人对数学的价值评价以及社会对数学的可接受性的影响来探讨数学应用对数学发展的作用。
应用为思维活动创设问题情境
数学的发展对于发展它的人来说是一个思维过程，而“任何思维过程按其内部结构都是指向完成一定任务的活动行为或动作。这个任务就包括着适应于任务的条件的个人思维活动的目的……问题情境一般是思维活动的最初因素。当人产生了认识的需要时，他就开始了思维。思维通常是从问题、从好奇、从困惑、从矛盾开始的”。〔（1）〕
问题情境产生于主体指向某种对象的活动遇到了某种困难、某种障碍的时候。例如，当为了满足主体的某种需要而对主体所指向的对象的知识不充分时，主体就可能处于问题情境之中。问题情境由三方面构成：活动的主体，主体的活动所指向的对象和实现主体活动目的的障碍（困难）。障碍可表现为不同的形式，可以是知识及其应用手段或方法上的缺陷或不一致，也可以是为达到目的必须在几种对象中进行选择等等。
不过实现主体活动目的的困难和障碍只是产生问题情境的必要条件，还不是使主体真正“进入”问题情境的充分条件。要进入问题情境必须使主体认识、注意到这种障碍并且想排除它。
因此，问题情境的产生不仅仅是主体活动中遇到了困难和障碍，而且是主体认识到了这些困难，并且努力于寻找克服它们的方法。可见问题情境对人们的思维过程的意义首先就在于只有进入问题情境后主体才开始了为实现特定目的的积极的思维活动。主体试图克服障碍的努力使他能够仔细地分析问题情境，揭示它所有的组成部分及各部分间的关系和联系，揭示障碍的性质和特点。主体用语言把这种分析的结果固定下来，就得到用某种语言对问题情境的表述，就是问题。问题可以看作是问题情境的模型。二者的主要差别在于，主体本身也是问题情境的一个组成因素，因此无法把问题情境“传递”给另一个主体；而问题则是由语言构成的，能够在主体间传递的对象。〔（2）〕
从科学方法论的角度看，科学研究是从“问题”开始的，只有引出了问题，才能说开始了研究。〔（3）〕而问题是由问题情境产生出来的，所以创设问题情境对科学研究有“起点”的重要意义。
数学应用就具有为数学研究创设问题情境的重要作用，也就是具有为数学思维活动即数学科学研究提供“起点”的重要作用。由问题情境得出有关的数学问题，使人们进入数学研究，促进了数学的发展。
例1 微积分的产生
人们普遍认为，微积分的创立，首先是为了处理17世纪主要的科学问题的，即在数学应用中实现的。
当时的主要科学问题有四种类型。〔（4）〕以第一类为例来分析：已知物体的运动距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数公式，求距离和速度。这类问题是力学中研究运动时直接出现的（它们与人的实践有重要的联系）。
从伽里略时代起，人们不仅利用数学来研究其他科学，尤其是力学和物理学，而且创立了数学和实验结合的科学方法论，〔（5）〕数学成为科学特别是自然科学研究的首选方法，从这以后，科学发展的需要，数学在科学中的应用的需要就不断地推动着数学的发展。从伽里略时代起，人们就应用数学来解决有关运动的问题。因此，在遇到这一类问题时，人们自然地用数学方法来探讨它。此时遇到了困难：17世纪所涉及到的速度和加速度每时每刻都在变化。计算瞬时速度，不能用早先计算平均速度的数学方法——用运动的时间除运动的距离，因为在给定的瞬间，移动的距离和所用的时间都是0，而0/0是无意义的，但是，按力学，每一运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，这是无疑的。已知速度公式求移动距离的问题，也遇到同样的困难，因为速度每时每刻都在变化，所以不能用运动的时间乘任意时刻的速度，来得到移动的距离。因此，遇到的是一种缺少有效的数学工具——概念、理论和方法的困难。
由于处理这一类关于运动的问题是力学研究以及解决与之有关的实践问题（机械、武器设计等）的急切的需要，这种急切的需要，促使人们把克服上述困难——寻找、创立新的数学工具，作为自己的任务，于是人们就进入了问题情境，从而对这类问题进行了深入的研究，提出了计算一个变量对另一个变量的变化率的问题及其逆问题。这就是提出了数学问题。人们进入了数学研究过程。在这一研究过程及由其他三类科学问题（光线通过透镜的折射和反射问题；求炮弹的最大射程、得到最大射程的最优发射角问题，行星的近日点、远日点问题；求重心、体积、面积等问题）促使人们提出的数学问题（求切线的问题；求函数的极值问题；求曲线长的问题）的研究过程中人们创立了微积分学。
例2 统计数学的建立
人们认为，统计思想产生于以下三方面的实践中，即在这三方面活动的数学应用中产生了统计数学：
1.人口调查；2.随机游戏（如赌博）；3.科学方法论。〔（6）〕
在这三方面活动中，人们必须应用数学工具，也都遇到了原来的数学工具——数学理论和数学方法不够用的困难。例如调查的可靠性问题、抽样方法问题、误差的问题、人口分布的问题；赌博的分点问题等各种具有不确定性的随机问题；科学方法论中科学实验数据的处理问题，观察误差的分析问题等。由于这三方面都涉及到人们直接的功利，所以具有克服困难解决这些问题的急切的需要，于是人们进入问题情境，提出相应的数学问题，进行研究，统计数学就产生了。
通过这两个例子可以看出，数学应用为数学思维过程提供问题情境就在于数学应用能使人们认识到在哪一方面存在着什么样的困难，并且由于应用的需要使人们把克服这些困难当做自己的目标，从而进入问题情境，提出数学问题，进行新的数学研究。
应用提高了数学理论的价值评价
数学的应用提高了人们对数学理论的价值评价，指的是由于数学的应用，尤其是在应用中获得的成功，使人们对数学的价值评价有所提高，因而有更多的人来学习数学，并且使人们乐于深入地研究数学，从而促进了数学教育以至于数学的发展。当代著名数学家M.阿蒂亚（Atiyah）就指出：“数学具有广泛的应用，它为所有的物理科学提供了必不可少的语言与框架。归根到底，这是研究数学最初的也是最基本的正当理由；为什么数学不只是少数神秘人物的职业，而是教育与社会领域中的基本组成部分，道理也在于此。”〔（7）〕
什么叫价值？价值就是客体与主体需要之间的一种特定的关系。外部世界作为人的生存和发展的客观条件，具有满足人的文化需要和物质需要的属性；而人把外部世界作为自己的生存环境，在于他能在外部世界中，或者说能利用外部世界来满足自己生存和发展的需要。外部世界同人的主体需要的关系，就叫价值关系。所谓价值关系，就是外在的物对主体的需要的肯定或否定关系，主要表现为利害关系或功利关系。
价值评价则是价值，即客体与主体的需要的关系在主体的意识中的反映，是人对价值的主观判断、情感体验和意志保证以及它们的综合。
价值评价与科学认识是不同的，但它们又有着密切的关系。科学认识的对象是客体的本质和规律，价值评价的对象则是客体与主体需要的关系。它们的关系则在于，首先，人们要研究哪门科学、要探讨什么科学课题是由人们对其价值评价决定的，人们首先研究的是那些得到较高价值评价的科学及科学课题，因为人们认为，这样的科学及科学课题同人们的利益和需要息息相关，对人有较大的社会意义。一般地说，价值评价是科学认识的目的和动力；科学认识是价值评价的基础和前提。人们为什么要进行科学认识呢？就是为了改造世界，创造价值，满足人类生存和发展的需要，而这些将以认识、情感、意志等意识形式，即以价值评价的形式指导和促进科学认识的进行。科学研究是在一定的目的和动力支配之下进行的，而这个目的和动力，就是科学研究或科学认识的社会意义（理论意义和现实意义），即价值。这就是说，在我们进行科学研究时，就先有一种价值评价在起推动作用了。当然，这时存在的还只是初步的价值评价，在科学研究、科学认识的基础上，人们将作出更明确的价值评价，进一步促进科学认识的发展。一般地说，实践是科学认识的目的，实践的目的是什么？是满足人的需要，实现价值。没有任何价值观念和价值评价，人类根本不会给自己提出认识世界的任务，也不会有对科学真理的追求。因此，价值评价，在人类的实践和科学认识中，始终是一个能动的因素，是目的性和动力性因素。〔（8）〕
数学的价值当然具有客观性，但是对数学的价值评价则是人们的主观行为。不可否认，数学有其高度的精神价值，例如知识价值和审美价值，但这种价值只是在具有高度数学素养的人群中才能得到较高的价值评价，这种评价自然成为研究数学的动力，促进数学的发展。这是数学发展史上所反复证明了的。例如在复数理论的建立、非欧几何的创建、许多纯数学分支的发展等过程中，这种价值评价都起过极其重要的作用。对于更多的人来说，例如对于工程技术人员、测量人员等，则更多地注意到数学的经济价值，即对数学的价值评价具有直接功利的倾向。例如前举例2，无论是人口调查、赌博还是科学方法论中的数学应用，都有直接的功利目的；人口调查是为了税收、生产等目的的；赌博是为了赢钱；在科学方法论中则是为了解决科学实验的问题。利用数学将节省时间和费用，而且作为一种独特的科学方法，数学还有其他科学方法不可取代的优点：用它可以对一些无法实验的过程进行研究并获得成功。纳皮尔之所以发明对数，也完全出于一种非常实用和功利主义的目的——简化计算以节省时间。〔（9）〕后来对数竟成为数学中不可或缺的东西，不能不说是这种功利主义的价值评价对数学发展的贡献。
数学应用到广泛的领域并获得重大的成功，极大地提高了对数学的经济价值或工具价值的评价，促使所涉及的各领域的工作者研究数学，从而有效地推动了数学的发展。例如历史上促进分析数学发展的几乎全是物理学家和天文学家；爱因斯坦在其相对论研究中应用并极大地推动了微分几何学的发展，他引用的“和式约定”对微分几何的影响是令人震动的。〔（10）〕数学在密码学研究中的应用促进了人们对大数的因数分解的研究并推动了这一领域的发展〔（11）〕。当代高技术甚至可因数学的应用与否决定竞争的胜负，例如在美日高清晰度电视技术的竞争中，因为美国在应用数学（如小波分析）方面的优势使美国在信息压缩技术方面超过其他国家，进而使美国在高清晰度电视以及网络传输方面已领先于日本，成为世界上技术最先进的国家〔（12）〕。此事无疑更提高了对数学的经济价值的评价。
由于对数学有高度的经济价值或工具价值评价，所以人们在自己的工作领域中遇到难题时往往首先采用数学方法，如果找不到现成的数学工具，一般地就要努力创建新的数学工具，这是数学应用中发展数学的基本方式，整个运筹学都是这样发展起来的，现代的模糊数学及突变理论等新分支的理论也是这样发展起来的。
应用为数学提供一种可接受性基础
从科学社会学的角度来看，任何一种科学理论都有一个社会承认的问题，就是社会的可接受性问题。一般来讲，社会对科学的接受情况是：科学与非科学之间有一个“分界标准”；在社会可接受的与不可接受的之间，有一个“可接受性标准”。〔（13）〕两种标准有所交叉，一方面，有些科学理论可能长时间不被人们接受，如非欧几何；另一方面，在社会可接受的解释和发现中总可能有非科学的成分存在，如关于“皮尔唐人”、“活质学论”、“获得性遗传”等理论都曾被社会承认，属于可接受的理论。
数学的可接受性标准是什么？主要就是逻辑证明。从古希腊开始，这个标准就存在了，越是发展其要求也越严格。现在一般是要求在形式公理体系和集合论基础上的严格证明。但数学应用在使数学理论得到社会的接受方面也起着重大的作用，虽然不能说应用是可接受性的标准，但在很多情况下，数学应用，尤其是成功的数学应用为数学的可接受性提供了某种基础，这种基础增强了人们对数学正确性的信念，加强了对数学的研究，从而取得更多的数学成果，推动数学科学的发展。
这方面，分析数学的发展是一个典型的例子。如例1所述，微积分可以说产生于数学应用之中。在其产生当时，并没有完全建立起逻辑基础来，甚至相反，在它的基本方法中还含有逻辑矛盾，这个矛盾成为产生所谓“第二次数学‘危机’”的一个直接的原因。从数学理论逻辑证明的可接受性标准来说，微积分在当时是不可接受的。那么什么原因促使了17、18世纪分析数学的大发展呢？就是数学应用。分析数学在当时的力学、天文学以及物理学的应用中获得巨大的成功，在近代人们的科学以及与之有关的技术和生产的前所未有的大发展中起了重要作用，这为社会承认分析数学（即分析数学的可接受性）奠定了基础。分析数学的逻辑基础，则直到19世纪中叶才基本确立。人们接受分析数学的过程充分说明数学应用对数学发展的这一意义：应用的成功使人们接受数学理论，使人们产生对这一理论正确性的信念，使人们重视它、应用它，并在理论上发展它。
甚至整个数学的发展在许多情况下对应用所提供的可接受性基础也要有所借重。如20世纪初，集合论悖论的发现，使得作为整个数学基础的集合论本身的逻辑严格性就成了问题，但这并没有妨碍集合论仍然成为几乎所有的数学分支的基础——一个十分重要的原因就是在集合论基础上建构起来的数学在十分广泛的应用中取得了重大的成功，人们接受了以集合论为基础的各门数学理论。在数学发展过程中，不是先确立完善的基础之后再发展分支科学，而是数学分支科学和数学基础同时发展的原因之一正在于数学的应用：应用使人们对数学理论广泛的接受，并加以积极的研究，因而产生更多的成果，获得更大的发展。
至于说到把数学理论作为真理来接受的问题就更离不开数学的应用了。现在一般认为，数学理论的真理性仍然是以人的实践为检验标准的，而数学的应用则是使之得以通过实践检验的桥梁。〔（14）〕
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