从方程教学的争论谈起，本文主要内容关键词为：方程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
苏教版数学新教材一推出，即令人感受到了扑面而来的时代生活气息，体现了“数学有用”和“数学好玩”的理念，但也引出了一些值得争议的焦点问题。本文想通过新旧教材的对比，来分析方程教学中的“四则关系”与“等式性质”两种处理方法的利与弊，并就优化方程的教法、学法问题与同行进行交流。
一、追本溯源——小学方程教学的目的何在？
方程是什么？它是刻画现实世界数量关系的一种最基本的数学模型。“标准”强调要从“数学建模”的角度来开展方程的教学，学习方程的首要目标应该基于让学生充分体验“现实问题→抽象成数学（方程）模型→解决现实问题”这样一个基本的数学化过程，从这一点出发，在方程教学中，教师应该让学生在亲身探究的数学活动中，感受已知与未知之间的内在联系，体验把日常生活中的数学关系抽象成数学语言（数量关系式），然后建立数量之间的相等关系，进而抽象成符号语言（方程式）的全过程。通过这样的活动，让学生逐步感受到方程与实际问题的联系，领悟到数学建模的思想和基本过程，进而提高学生解决实际问题的能力和信心。
（原刊编者语：小学数学中的方程概念或方程内容与“数学建模”中的模型概念有诸多的不同，遵循着不一样的教学或学习规律。人们可能对此并未认真研究。“数学建模”是针对实际问题的，而方程则是含有未知数的等式，虽说是源于实际，但在对小学生的教学中，又不能完全依靠从实际具体问题中抽象出方程模型来，更需要的是从由常量到变量，由已知量来获得未知量的特征性规律来引出方程，是一种范例式的概念引入，不是问题解决式的引入。这是不能忽视的基本区别。另外，“数学建模”的途径、算法往往不惟一，这种状况不能无条件的引入到对一般数学知识的学习中，初学数学还是要强调确定性、惟一性以及等价性的。不能喜欢怎样就怎样。）
二、教学比较——新旧教法各有何利弊？
明确了方程教学的目的，我们再来分析一下最有代表性的新旧两种教法的优势和不足。
1.传统教法：利用四则运算关系
因为小学生在低、中年级的学习过程中，对四则关系的感性知识积累比较充分，所以，在新课标之前的教学大纲中，小学阶段解方程的依据是加减乘除四则运算各部分之间的关系。在解方程时，学生是按照以下步骤进行的：
(1)看清是加减乘除四则运算中的哪一种运算；
(2)明确未知数（或含有未知数的式子）在方程中所处的位置相当于四则运算中的哪一种数（是被减数还是减数，是被除数还是除数，是加数，还是因数）；
(3)根据相应的关系式求出未知数的解。如：
例1解方程35-2x=17。
解法1 2x=35-17（减数＝被减数－差）
2x=18
x=18÷2（一个因数＝积÷另一个因数）
x=9
教师在这种教法中，重点要引导学生关注的是35、2x、17这三个数（式）涉及的运算以及它们之间的关系，这充分体现了以知识传授为目的的课堂教学的优势，因为它更符合数学知识的内在逻辑性和延续性，学生只要能熟记熟背四则运算的关系，就能对照题型找出相应的解法，正确率相当高。尤其是当减数或除数为未知数时，尽管学生对“减数＝被减数－差”和“除数＝被除数÷商”理解并不一定透彻，可背出这两条关系式后，求方程的解还是游刃有余的。
但是，这种教法的弊病也越来越为广大的教师所公认：一是“死”。解题的依据过于程式化，学生解题时容易死记硬背，生搬硬套，是一个将凝固的知识加以应用的过程，并不利于培养学生的灵活解题能力。二是“僵”。它将小学阶段的解方程方法与初中阶段乃至后续的方程学习割裂开来，不利于学生的后续学习。如果结合前面所述的方程教学的目的来看，则更是存在较大的偏差。
正是基于以上的认识，新教材推出了利用等式的性质来学习方程的举措。那么，实际的效果又如何呢？
2.新教材的教法：利用等式的性质
教材上学习的等式的性质有两条：(1)等式的两边同时加上（或减去）同一个数，等式仍然成立；(2)等式的两边同时乘（或除以）同一个数（除数不能为0），等式仍然成立。根据这两条性质，我们可以在解方程的过程中不断地消去不需要的数，直到求出未知数的值。如：
例2解方程x+24=90。
解x+24-24=90-24（等式两边同时减去24，消去等式左边的24）
x=66
在这种解法中，我们不需要关注未知数x在什么位置，与其他数有怎样的关系，只要把精力集中在消去与x处在等号同一侧的数字（题中的24）上。加上例题中天平环节的引入，学生能更好地理解方程所体现的等量关系，感受方程“在变中保持不变”的本质。所以，这种教法更能使学生感受到知识的生成过程，从长远角度来评价，与后续知识的衔接较好，对学生能力的发展有较大帮助。
但是，这种教法也存在一个“缺陷”——利用等式的性质解方程在小学阶段有一个无法解决的问题，那就是无法顺利解决减数、除数含有未知数的方程！比如本文前面提到的例1，让我们来试用等式的性质解答：
解法2 35-2x-35=17-35。（等式两边同减去35）
通常，学生做到这一步就会停下来，不知所措。因为他们在左边得到了一个数(-2x)，而对负数的运算能力，小学生还不具备。所以无法再继续下去。
当然，这道题我们也可以换个角度思考：
解法3 35-2x+2x=17+2x（等式两边同加上2x，消去等式左边的2x）
35=17+2x
17+2x=35（左右交换，可用天平解释）
17+2x-17=35-17（等式两边同减去17，消去等式左边的17）
2x=18
2x÷2=18÷2（等式两边同除以2，消去等式左边的2）
x=9
这样处理，就巧妙地将减数中的未知数转化成了加数中的未知数，但是，等式的性质只是涉及了加、减同一个数（且是自然数），在方程的两边同时加上一个代数式2x，似乎对小学生来说理解和接受有一定困难，在实际操作中，我发现相当一部分学生根本不会产生这种思路，所以即使教师讲授之后，在应用时还是会不断地出现失误。
可见，解形如“a-x=b”和“a÷x=b”的方程这个问题，是新教材的一个“软肋”。新教材对这个问题虽然刻意回避，但是，在教学中，作为一线教师，我们感到它是无法回避的，也是没有必要回避的。比如以下两题：
例3 蓝鲸是世界上最大的动物。一头蓝鲸重165吨，大约是一头非洲象的33倍。这头非洲象大约重多少吨？（教材9页）
例4钢琴的白键有52个，比黑键多16个，黑键有多少个？（据教材11页第6题改编）
从方程的等量关系的可变换性出发，我们知道，当列出形如“a-x=b”和“a÷x=b”的方程时，我们总能根据其数量关系改写成形如“b+x=a”和“bx=a”的方程，但从学生的思维角度出发，他们在实际中又是怎样思考的呢？下面是他们的思考方式：
对例3，学生在解决这个问题时，根据已有经验，分别列出了两种数量关系：非洲象的体重×33＝蓝鲸的体重，蓝鲸的体重÷非洲象的体重＝33。这两种关系式都是正确的。根据前一种思路解题的学生，很容易就解决了问题，可是根据后一种思路解题的学生，就出现了困难。于是，我顺势引导学生比较这两种关系式，讨论后一致发现解答这道题用第一种顺向的思路去列方程解答比较方便，充分体现了列方程解决问题化逆向思维为顺向思维的优势。
对例4，学生首先列出的数量关系式是“白键个数－黑键个数＝16”，据此列出的方程是“52-x=16”，如果把关系式改写成“黑键个数+16＝白键个数”的话虽然也能理解，解答也方便，但大多数学生却选择了“白键个数－黑键个数＝16”的关系式，这是不是可以说明根据“白键比黑键多16个”，“白键个数－黑键个数＝16”的数量关系式才是顺向的，也更符合小学生审题时的思维习惯呢？
看来，并不是改写成形如“b+x=a”和“bx=a”的方程就能成为顺向思维的，我们必须尊重小学生的思维习惯，正视形如“a-x=b”和“a÷x=b”的方程的存在，只有解决了这个问题，才能使“利用等式的性质”解方程的方法更有说服力，也更能促进学生思维能力的发展。
三、实践探索——如何寻找新旧教法的结合点？
1.将新旧教法有机地揉合
在分析了两种教法的优势和不足后，我的感觉是：新教材的改革方向是正确的，在新的时代，我们不能再固守传统，沿用旧方法把学生教“死”教“僵”了。但是，如何才能避免新教法中的新问题呢？我认为，在教学改革中首先要遵循小学生的认知规律，顺应小学生的思维习惯；其次要善于撷取传统教学和现代教学中的精华，进行有机地糅合，以弥补和克服两者各自的不足，这样才有可能达到最佳的教学效果。
我在自己的教学中进行了一些探索和尝试。首先，我按照新教材的教学思路，从天平引入等式，进而让学生理解等式的性质，为将来方程的后续学习搭好桥梁铺好路；经过一段时间的练习，学生能比较熟练地运用等式的性质解答教材上较简单的方程了（因为书上没有出现减数、除数是未知数的题型），于是，我引导学生一起研究前面所述的蓝鲸与非洲象的问题，学生出现了我意料之中的问题，根据他们列出的方程：33x=165和165÷x=33。我因势利导，让学生讨论：除数是未知数时，怎样解答？
先引导学生分析得出：被除数÷除数＝商。
再利用等式的性质，我们可以将其变形。
因为被除数÷除数＝商，
所以被除数÷除数×除数＝商×除数，
所以被除数＝商×除数。
又因为被除数÷商＝商×除数÷商，
所以被除数÷商＝除数，
即除数＝被除数÷商。
同法，在研究“白键比黑键多16个”一题时，也可同样由等式的性质推得：减数＝被减数－差。这样，我们就能用等式的性质来解释四则运算各部分之间的关系，由于在这个关系式的推导过程中不出现任何未知数，且结合了等式的性质来讨论，学生反而易于理解。在讨论中，学生还通过自己的推导过程研究得到：不管未知数出现在哪个位置，都能用等式的性质进行转化。
实践表明，这种结合等式性质理解四则运算关系的方法，既利用学生以前的知识结构，降低了思维难度，又为学生的后续学习减轻了阻力。虽然我花了相当一部分的时间来帮助学生理解掌握这种方法，但是取得的效果还是不错的，作业反馈显示错误率大为减少。在这个教学过程中，我的感受是：传统的教学方法虽然包含了一些“过时”的观念和方法，但是如果我们能善于利用其中的精华，并且选择合适的教学方法，将两者有机地结合在一起，未尝不能取得更好的效果。
2.做好方程教学的必要铺垫
在方程教学的实践中，第二点真切感受是：方程教学由于是“数”与“式”的混合运算，因而较之普通的四则运算，又有其特殊性，因此，做好方程教学的必要铺垫是非常必要的。这些铺垫主要表现在以下方面：数与式的运算、乘法分配律、数量关系训练等。如：
(1)化简下面算式：2x+4x；16+x-14；2x+3.6+x；3.2x÷3.2。
(2)将a(b+c)与ab+ac互换形式（乘法分配律的可逆转换）：5(8-x)；32+4y；ax+a。
(3)数量关系式：单价×数量＝总价，速度×时间＝路程等。
这些知识的铺垫，对提高学生的解方程能力有着极大的帮助。另外，负数的教学虽然在小学阶段暂时与解方程还没有挂上钩，但是我们如果考虑得更远些，作为初中“移项”的预备知识，还是要重视这部分教学中将数与符号看作“一个整体”的观念，这样可以及早渗透“合并同类项”和“消去”的思想。