案例分析：继续暴露数学解题的思维过程——谈2005年高中数学联赛加试“平面几何”题的思路探求，本文主要内容关键词为：平面几何论文,案例分析论文,联赛论文,加试论文,思路论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、案例的呈现
2005年高中数学联赛加试第一题是：
题目 如图1，△ABC中，设AB>AC，过A作△ABC的外接圆的切线l，又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E、F。
附图
图1
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心和一个旁心。
由文[1]可以看到这道题目的标准答案及学生的几种解法。下面的反思分析将重在思路的探求、解法的发现，从中可以看到通过圆中有关角的等量传递就可以得出结论，四点共圆等知识的使用反而走了弯路。
为了节省篇幅而又方便阅读，我们仅摘录标准答案中证明内心的部分作为案例的呈现。
附图
图2
证明：如图2，连结DE、 DC，作∠BAC的平分线分别交 DE于点I、交DC于点G，连结IC，则由AD=AC，得AG⊥DC,ID=IC. …………10分
又点D、C、E在⊙A上，
（注：更标准一点，应有连结EC的交代）
附图
∴A、I、C、E四点共圆，
∴∠CIE=∠CAE=∠ABC，
而∠CIE=2∠ICD，
附图
∴I为△ABC的内心。…………30分
（注：更标准一点，还应由I在DE上，下结论：DE通过△ABC的内心）
二、解法的分析
理解上述标准答案的思路，可以将其归结为：通过辅助线显化内心I应有的位置后，证明IC是∠ACB的平分线。为此，分三步来实现，表现为三个给分段。下面，我们将就每一步做了什么。有何作用来展开反思分析，并随时报告分析的一些短期成果。
1.第1步的分析
(1)第1步是作完辅助线后，得出AG⊥DC,ID=IC。
其中位置关系AG⊥DC，主要是得出∠IGC= 90°，从而为第3步得
附图
而数量关系ID=IC是得到等腰△ICD，从而为第2步用∠CIE=2∠ICD推出
附图
那么，当从图中看出∠ICD=∠IDC
时，为什么不直截了当地抓住更实质的∠ACI以及更明显的等价形式∠ACI=∠ADI
呢？这时，通过等腰△ADE作传递，立即有∠ACI=∠ADE=∠AED（等腰三角形性质定理）
附图
更别说由①的传递早就可以得出这个结果。
可见，仅局限于每一步骤的分析，就步步都有可加改进或删除的地方，再作信息交合，本题的证明应是简捷而多样的。让我们从头开始。
三、思路的探求
由①式可见，本题中条件与结论之间的关系不算隐蔽，那么，为什么很多学生或者没有思路，或者思路甚为曲折呢？我们认为，原因很可能是多样的并且因人而异，但最普遍而深层的原因应该回到解题的起点去找，即弄清了问题的条件和结论没有？
1.条件是什么？由条件立即能看出什么？
(1)整理题目的条件我们可以得出4点（如图3）：
①△ABC和它的外接圆；
②外接圆上过点A的切线EF；
③⊙A及其4条半径AC、AD、AE、AF；
④⊙A上的两条弦DE、DF。
条件较多，先用哪个后用哪个？哪个与哪个作配合？是学生不知从何下手的一个现实困难。
附图
图3
(2)对图形的直接感知即可看到，已知信息更集中在⊙A上，稍作联想应至少有
①∠CAE=∠ABC，∠DAF=∠ACB（外接圆中用弦切角定理）；
附图
这实际上是在没有添加任何辅助线前提下获得的信息，暂时我们还不知道哪些对解题是有用的，哪些是无关的。但我们可以下手了，思维的齿轮开始转动了。
2.结论是什么？由结论立即能看出需要什么？
(1)结论有两点：DE、DF一个通过△ABC的内心，一个通过△ABC的一个旁心，其实质都是证三线共点，不理解这个实质，不知道如何构思一个“三线共点”的证明思路，是学生不知向何方前进的又一个现实困难。
图3能帮助我们明确
①应是DE通过△ABC的内心；（内心在△ABC内）
②应是DF通过△ABC的一个旁心。
(2)暂时放下旁心，立即联想“内心”的定义，这导致我们作△ABC的内角平分线（如图4），由于点B的信息量最少，因而我们优先考虑∠A、∠C的平分线，这就出现辅助线：∠A的平分线AI，和连结IC。问题转化为证IC是∠C的平分线，即
附图
附图
图4
3.沟通条件与结论的联系
题目的条件预示可知并启发解题手段，题目的结论预告须知并诱导解题方向。抓住条件与结论（最平凡而又最重要的解题知识），“从何处入手，向何方前进”就有了一个简单、明确的回答和总能做点什么的实践起点。
(1)由②式的需要促使我们搜索，条件及其简单联想中何处能提供
∠ACB，经检索，有
附图
问题又转化为证∠ACI=∠ADE，∠ACI=∠AED，∠ACI=∠DAF
其中之一。
(2)由于AC=AD，AI公共，∠CAI=∠DAI，故△ACI≌△ADI(SAS)， ③
所以，∠ACI=∠ADI是可以实现的，思路已沟通。
(3)由上面的探索可以看到
①沟通∠ACI与∠ADE的联系是本思路产生实质性进展的一个关键（用了全等法③式）。
②而∠ACI的出现源于证“三点共线”的一个构思：先让两条线相交（这导致了辅助线∠A的平分线出现），然后证第三条线过交点（这导致了辅助线IC的出现）。
③辅助线的连接源于证明的需要，而不是反过来，瞎碰乱撞或妙手偶得产生证明。
四、解法的改进
至此，我们对标准答案的改进已经成竹在胸。
1.综合几何的证明
新证1 如图5，作∠BAC的平分线交DE于I，交DF于
，连接IC、
由AC=AD，（已知）AI=AI，（公共）∠CAI=∠DAI，（作法）有 △ACI≌△ADI，(SAS)得 ∠ACI=∠ADI。
进而由已知条件有∠ACI=∠ADI（上证）=∠AED（等腰△的性质）
附图
附图
图5
可见，点I为G35Q5.JPGABC中∠A、∠C两平分线的交点，按定义，I是△ABC的内心，从而DE通过△ABC的内心。
作AC的延长线CQ，同理
附图
进而由已知条件有
附图
故
是∠ACB的外角平分线，按定义，为△ABC的一个旁心，从而DF通过△ABC的一个旁心。
评析 在这个解法中，两个结论的证明是类似的，都有两步：
(1)证内心时抓住内角的半角∠ACI来找等角，证旁心时抓住补角的半角
来找等角；
(2)通过全等三角形作桥梁，然后是等角的传递。
从这个意义上说，本例的两个结论证明是：形式稍变、思维踏步（变式练习而已），两者有类似的几何结构。将它们用两种不同的方式来处理是没有看透。
新证2 作∠BAC的平分线交DE于I，交DF于，连接IC、。由
△ACI≌△ADI(SAS)，有∠ACI=∠ADI。
进而由已知条件有∠ACI=∠ADI（上证）
附图
但上面已证IC为∠ACB的平分线，故是∠ACB的外角平分线，按定义，是△ABC的一个旁心，得DF通过△ABC的一个旁心。
评析 这个证明揭示了：当DE与∠ACB的平分线相交于内心I时，DE的垂线(DF)与IC的垂线（）又相交于旁心。
大同小异的更多解法（如同一法，延长BA交⊙A于P等），不赘述。
2.坐标法的证明
许多学生都作了坐标法证明本题的尝试，但成功率极低，即使成功了也不简便。下面给出一个解法供教学参考。
新证3 以切线为x轴、A为原点建立直角坐标系，记AE为单位长度，将已知条件坐标化，有A(0,0),E(1,0),F(-1,0)。
再由弦切角定理知点C、D的坐标分别为
(cosB,-sinB)、(-cosC,-sinC)。
这就可以得出直线AC、AD、DE、DF的方程为AC:xsinB+ycosB=0,AD:xsinC-ycosC=0,
附图
这就是直线AI的方程，故AI、CI、DE三线共点于I，即DE通过△ABC的内心I。
同理，由DF、的方程相加也得
附图
五、两点体会
1.弄清问题是首要的
很明显，新解法用到的知识浅了，连接的辅助线少了，解题的长度短了，思维也平坦了，但思考方向与标准答案是相同的，即证∠ACI=∠ACB。只是对已知条件的关注有区别，标准答案更关注△ABC的外接圆及其切线（图2），而新解法则整体关注所给的全部条件，并明确画出了⊙A。测试表明，不画⊙A时学生找∠ADE（或∠AED）与∠DAF的关系有困难，而画出⊙A时，很快有学生激活圆周角定理、弦切角定理。因而标准答案不画⊙A，给学生（也给自己）增加了解题难度。这使我们想到波利亚的“怎样解题”表，它的一开头就是“未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？……”。波利亚还强调指出：“回答一个你尚未弄清的问题是愚蠢的”，“最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图。一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未做出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的”（见文[2]）。具体到本例，弄清条件有几个？结论证什么？先用、后用哪个（些）条件？构思一个什么途径来证“三线共点”等问题，具有决定性的意义。
2.解题学习需要“第二过程”的暴露
对本案例的分析，我们经历了思路探求和解法发现的过程。这是一种解题学习。我们认为解题学习有三个层面，这种学习属于第三层面。
第一层面的学习是：简单模仿、变式练习。这是大家都已经做到的。（属于初级学习）
第二层面的学习是：领悟思路的探求、解法的发现。在课堂上教师们常常采用的方法是：“暴露数学解题的思维过程”，我们称为“第一过程”的暴露。这一做法是很好的，但存在认识上的封闭，即认为思路一旦打通，解法初步得出，解题活动就结束了，此时呈现的已经是解题思维的全过程或最后结果了。这就使得思维的暴露与理解总是徘徊在中前期工作和中表层段面上，总是囿于探索看探索，不能跳出探索、居高临下地看探索。因此，还需要数学解题思维过程的继续暴露，我们称为“第二过程”的暴露，解题学习进入第三层面：自觉分析。（属于高级学习）
自觉分析是在简单模仿、变式练习、自发领悟的基础上，继续进行解题思维过程的专业分析。通过听讲、阅读或自我探索得到的初步认识与初步解法，不是解题学习的结束，而是获得更深层理解的一个中间过程。上面通过对标准答案的分析我们不是有机会获得认识的深化和解题能力的提高吗？（如从众多条件中突出⊙A，理解结论抓“三线共点”，两个结论有类似的几何结构，通过等角的传递完成证明等）
第一过程的暴露主要反映了把题作为对象，把解作为目标的认识活动，它实现了有序信息向大脑的线性输入，而第二过程的暴露不仅要把题作为对象、把解作为目标，而且更要把包括“题与解”在内的解题活动作为对象，把学会数学地思维，促进人的发展作为目标；是把历时性的线性材料再组织为一个共时性的立体结构，是在更高层面上的再认识活动。
其实，我们对本例的分析依然是暴露数学思维的一个中间过程，我们期待更深层、更本质的暴露，并对我们的认识提出批评。